精品解析：湖北省襄阳市宜城市第一中学2025届高三上学期9月月考数学试卷

2025届高三9月月考数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 设，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ）． A. B. C. D. 5. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）（参考数据：） A. 70天 B. 80天 C. 90天 D. 100天 6. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数定义域为，则的定义域为 B. 函数是奇函数 C. 已知函数存在两个零点，则 D. 函数在上为增函数 10. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 11. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点是函数的一个对称中心 C. 当时， D. 函数恰有6个零点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则的取值范围为______． 13. 记实数的最小数为，若，则函数的最大值为__________． 14. 已知函数，若对任意，且，都有，则________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）当时，求，； （2）记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合. 16. 已知函数，若曲线在处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求函数的单调区间和极值； （3）求函数在上的最大值、最小值. 17. 如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. （1）求实数的取值范围； （2）问点在何处时，最小，并求出该最小值. 18. 已知且，函数． （1）求的定义域及其零点； （2）讨论并证明函数在定义域上的单调性； （3）设，当时，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若函数存在正零点， （i）求的取值范围； （ii）记为的极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三9月月考数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 设，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】因为 =， 所以， 则曲线在点处的切线斜率为， 故选：A 2. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系 【详解】因为是幂函数且在上是减函数， 故，故， 故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【详解】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 4. 函数的部分图象大致为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，排除B、C，再由时，，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以B、C不符合题意； 又由当时，，所以， 所以A不符合题意，D符合题意. 故选：D. 5. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）（参考数据：） A. 70天 B. 80天 C. 90天 D. 100天 【答案】B 【解析】 【分析】先根据天后的“进步值”是“退步值”的5倍列方程，应用指对转化求值. 【详解】设天后的“进步值”是“退步值”的5倍，则，即，两边同时取对数得， 化简得， 所以． 故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天． 故选:B． 6. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解. 【详解】当时，则， 且，所以， 若函数的值域为，可知当时，则的值域包含， 若，则在内单调递减， 可得，不合题意； 若，则在内单调递增， 可得，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：B. 7. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较的大小，可得结论. 【详解】， 而，且． 所以，故． 故选：D. 8. 已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由当时，恒成立，则，先利用导数工具研究函数的单调性，从而求出函数的值域为，进而构造函数，求出函数的最小值即为，进而即可得解. 【详解】令，则， 所以当时，，单调递减；时，，单调递增， 所以，又，所以的值域为， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 又当时，恒成立，所以， 故实数a的取值范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：恒成立求参问题通常转化为最值问题，对“时，恒成立”可转化为“”，利用导数工具可求得函数的值域，从而函数的最小值即为，故只需求出函数的最小值即可得解. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数定义域为，则的定义域为 B. 函数是奇函数 C. 已知函数存在两个零点，则 D. 函数在上为增函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域求解法则判断A，根据奇函数定义判断B，根据零点定义建立方程，数形结合，判断C，根据对勾函数单调性判断D. 【详解】对于A，由函数定义域为，则， 因此在中，，解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，函数定义域为R， 且，所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，由函数存在两个零点，即为的两根， 则可得，令，， 结合函数图象可设，，则， 所以，所以，而k不一定为1，故C不正确； 对于D，函数为对勾函数，在区间单调递减，在单调递增，故D不正确. 故选：AB. , 10. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 11. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点是函数的一个对称中心 C. 当时， D. 函数恰有6个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得关于轴，对称，且，由函数的周期性即可判断A，由函数的对称性即可判断BC，结合函数的图像，即可判断D. 【详解】 由题意可知关于轴，对称， 当，则，且，故， 对于A,， ，故A正确； 对于B，对称中心为，故B错误； 对于C，函数在和上的图像关于点中心对称， 当时，， 故C正确； 对于D，由图像可知函数与函数有7个交点，故D错误. 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，然后分集合和进行分类讨论. 【详解】由题意知，， 由，可得， 若，则，符合题意． 当时，，要使， 则，解得，因此, 综上，的取值范围为． 故答案为：. 13. 记实数的最小数为，若，则函数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值． 【详解】 如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实红线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故答案为：． 14. 已知函数，若对任意，且，都有，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意可得在上单调递增，从而可得在上恒成立，从而可得在上恒成立，再证明在上恒成立，即可求解. 【详解】对任意且，都有， 不妨设，对任意且，都有， 对任意且，都有， 设，对任意且，都有， 在上单调递增， 在上恒成立， 在上恒成立， 显然时，在上不恒成立，， 在上恒成立， 在上恒成立， 又在上恒成立，证明如下: 设，， 当时，单调递减; 当时，单调递增， ，即， 在上恒成立， 故. 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造得在上单调递增，再利用导数和分离参数法并利用经典不等式即可得到答案. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）当时，求，； （2）记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出集合中方程的解，由中的元素根据交集、并集运算即可求解； （2）由题意得中的元素只有3个，由中的元素即可得到的取值. 【小问1详解】 当时，， ，即，解得或，， ，. 【小问2详解】 若集合的真子集有7个，则，可得， 即中的元素只有3个， 而，解得或，则， 由（1）知， 则当时，， 故所有实数的取值所构成的集合为. 16. 已知函数，若曲线在处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求函数的单调区间和极值； （3）求函数在上的最大值、最小值. 【答案】（1） （2）的单调递减区间为，的极大值为，的极小值为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，列式求解即可； （2）求导利用导数判断原函数的单调区间和极值. （3）利用导数判断原函数的单调区间和极值结合边界函数值判断即可. 【小问1详解】 由题意可知：，则 因为曲线在处的切线方程为， 则，即，解得. 【小问2详解】 因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. 【小问3详解】 函数在，上单调递增，在上单调递减， 且， 函数在上的最大值,最小值. 17. 如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. （1）求实数的取值范围； （2）问点在何处时，最小，并求出该最小值. 【答案】（1） （2）当点满足时，最小，最小值为亿元. 【解析】 【分析】（1）由直角三角形地块全部修建为面积至少和直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案. （2）由题意可得，由基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园， 所以，解得： 直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园， 所以，解得：, 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 依题意可得： ， 当且仅当，即时取等. 所以当点满足时，最小，最小值为亿元. 18. 已知且，函数． （1）求的定义域及其零点； （2）讨论并证明函数在定义域上的单调性； （3）设，当时，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由函数有意义的条件求函数定义域，通过解方程求零点； （2）定义法结合对数函数的单调性证明函数在定义域上的单调性； （3）问题等价于，分类讨论求函数最大值，解不等式求实数的取值范围． 【小问1详解】 函数的意义，则，解得， 所以函数的定义域为； 令可得，解得， 故函数的零点为：； 【小问2详解】 设，是内的任意两个不相等的实数，且， 则， ，，，， 当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增； 【小问3详解】 若对任意，存在，使得成立，只需， 由（2）知当时，在上单调递增，则， 当时，，成立； 当时，在上单调递增，， 由，可解得，； 当时，在上单调递减，， 由，可解得，； 综上，满足条件的的范围是. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若函数存在正零点， （i）求的取值范围； （ii）记为的极值点，证明：. 【答案】（1）单调递减区间是，无单调递增区间 （2）（i）； （ii）证明：由题意，，即， 从而，即， 由（ⅰ）知当时，，即，有， 又，故， 两边取对数，得， 于是，整理得． 【解析】 【分析】（1）借助导数的正负即可得函数的单调性； （2）（i）求导后借助导数分、及讨论函数的单调性，再结合零点的存在性定理计算即可得；（ii）利用零点定义与极值点定义可得，代入计算可得，再借助时，，即可得，再计算并化简即可得. 【小问1详解】 由已知可得的定义域为， 且， 因此当时，，从而， 所以的单减区间是，无单增区间； 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，， 令， 当时，单调递减． ①当时，可知在内单调递减， 又，故当时，，所以不存在正零点； ②当时，， 在单调递减，故当时，，函数不存在正零点； ③当时，，此时， 所以存在满足， 所以在内单调递增，在内单调递减． 令，则当时，， 故在内单调递增，在内单调递减， 从而当时，，即， 所以， 又因为，所以， 因此，此时存在正零点； 综上，实数的取值范围为； （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助，从而得到，即可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $