精品解析：重庆市南开中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题

高2027级高一入学测试 数学学科试题 （时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在对应括号里． 1. 的绝对值是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【详解】的绝对值是2024． 故选：A． 2. 下面图形中，中心对称图形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断. 【详解】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义可知，前3个图形是中心对称图形. 故选：C. 3. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】把点代入反比例函数中，可直接求的值． 【详解】根据题意知，将点代入反比例函数中， 可得，化简可得. 故选：C 4. 已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”求解即可． 【详解】， ， 直线， ， 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点A与点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可. 【详解】∵与是位似图形，位似中心为点，点的对应点为， ∴与的相似比为1:2， ∵点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：A 6. 如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图找到图中三角形个数的规律，即可求得答案. 【详解】由图可知：第1个图中有个三角形， 第2个图中有个三角形，第3个图中有个三角形， 依此类推，可知第n个图中有个三角形， 故第674个图中三角形的个数是. 故选：B 7. 如图，估计的值所对应的点可能落在（ ） A. 点A处 B. 点B处 C. 点C处 D. 点D处 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，计算给定式子并估计即可判断得解. 【详解】依题意，，而，则，， 所以的值所对应的点可能落在点B处. 故选：B 8. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】如图：连接，作于点B， 因为，可知三角形是等边三角形， 则，可得， 则, 所以． 故选：C． 9. 如图，在中，，，将沿BD翻折后得到，将线段DC绕点D顺时针旋转得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，得出，再证明≌，得出，再根据三角形面积公式得出的面积. 【详解】过点作于点， 设，则 ∴， ∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴≌， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴的面积. 故选：A 10. 如图1，是等边三角形，点D在边AB上，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为，为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①；②当时，；③当时，函数值y的最小值为；④动点P沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④． 【详解】对于①：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， 因为是等边三角形，点在边上，， 则，可得， 所以，故①正确； 对于②：当时，则， 因为，可知是等边三角形， 则，即，故②正确； 对于③：当时，且时，最小， 因为，则，， 所以的最小值为，故③正确； 对于④：动点沿匀速运动时， 因为，则， 由，可知点在上，由①可得：； 由，可知点在上，由③可得：； 则，即，故④正确； 综上所述：正确结论的个数是4个. 故选：D． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 分析】根据次幂计算法则求解. 【详解】原式. 故答案为：. 12. 有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】写出两次取到的卡片总情况，再求得相同图案的卡片的情况，即可得出结果. 【详解】根据题意可得两次取到的卡片总情况由如下16种： （唐僧，唐僧）、（唐僧，孙悟空）、（唐僧，猪八戒）、（唐僧，沙悟净）； （孙悟空，唐僧）、（孙悟空，孙悟空）、（孙悟空，猪八戒）、（孙悟空，沙悟净）； （猪八戒，唐僧）、（猪八戒，孙悟空）、（猪八戒，猪八戒）、（猪八戒，沙悟净）、 （沙悟净，唐僧）、（沙悟净，孙悟空）、（沙悟净，猪八戒）、（沙悟净，沙悟净）、 其中相同图案的卡片共有4种，即（唐僧，唐僧）、（孙悟空，孙悟空）、（猪八戒，猪八戒）、（沙悟净，沙悟净）； 因此两次取到相同图案的卡片的概率为. 故答案为： 13. 如图，直线与交于与x轴交于，则不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】满足不等式组就是一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方且位于轴的上方部分的取值范围，据此求解. 【详解】∵直线与交于与x轴交于， ∴不等式组的解集为：. 故答案为：. 14. 如果关于x的分式方程的解为负数，且关于x的不等式组的解集为，那么符合条件的整数a的个数是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先解方程和解不等式组得到且，即可得到答案. 【详解】， 因为且，所以且. 因， 且的解集为， 所以，即. 所以且，又因为为整数，所以或. 符合条件的整数a的个数为2. 故答案为：2 15. 已知实数a，b满足，那么的值为__________． 【答案】1 【解析】 分析】把代入计算即可得解. 【详解】由，得，所以. 故答案为：1 16. 如图，中，，．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则BG的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点G作于H，可知为等腰直角三角形，又推出≌，可得对应线段相等，结合勾股定理求出AH的长，即可求得答案. 【详解】过点G作于H， 由中，，，即为等腰直角三角形， 可得，则等腰直角三角形，则， 四边形为正方形， 故， 所以≌，则，所以， 设， 因为正方形DEFG的边长为，即， 因为，所以， 解得（负值舍），即，所以， 又，故， 故答案为： 17. 数学兴趣小组对1…n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……若，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，从中，取两个数的和大于，根据规律可得. 【详解】由题意，当时，从中，取两个数的和大于， 这两个数分别是： ， ， ， ， ， 所以. 故答案为：. 18. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．若，，则AB的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点,过点作于点可证得进而根据题意可求,，进而可求AB. 【详解】如图所示，延长交于点,过点作于点 四边形是菱形, 是的中点, (ASA) , 在Rt中,, 由勾股定理得. 易知 , 在Rt中,由勾股定理得. 设,则 , 解得 . 19. 一个两位正整数，若满足各数位上的数字均不为，称为“公能数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的左边组成第一个四位数，把放在的右边组成第二个四位数，记．若，都是“公能数”，个位上的数字等于十位上的数字，且被除余，，则满足条件的所有的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意设个位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，可得，，根据可得或，再结合被除余可得. 【详解】由题意，设的十位上的数字为，个位上的数字为，则，， ，， 所以，其中，， 设个位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，取值分别为中的某个整数， 则，， 因为，所以， 故或， 当时，，因被除余，故， 当时，，因被除余，故， 故所有可能值为、，和为， 故答案为： 20. 如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点I在上，以为直径的圆交直线于点．若I为的中点，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形全等判定得出，结合I的位置及勾股定理得出，连接，利用正方形性质得出共线，从而判定直径及圆心的位置，结合平行线分线段成比例计算圆心到的距离，再由垂径定理计算弦长即可. 【详解】 由题意易知，则， 而I为DE的中点，所以， 因为，所以， 连接，易知， 所以共线，即直径， 假设圆心为O，分别过作直线的垂线，垂足依次为， 同上易证，可得， 所以，解之得，则. 故答案为： 三、解答题（本大题共7个小题，每小题各10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置． 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式、完全平方公式及多项式与单项式的除法法则计算即可； （2）根据多项式与多项式的除法法则计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 22. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息. a.教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98 b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）； 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 90.8 n 93 c.评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题： ①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______91（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______. 【答案】（1）①91；4；② （2）甲；92 【解析】 【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可； ②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案； （2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可. 【小问1详解】 ①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数； 45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故的值位于学生评委打分数据分组的第4组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为， 则， . 【小问2详解】 甲选手的平均数为， 乙选手的平均数为， 因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数， 因为5名专业评委给乙选手的打分为， 乙选手的方差， 5名专业评委给丙选手的打分为， 所以乙选手的方差小于丙选手的方差， 所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数， ， ， 为整数， 的值为92. 23. 为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元． （1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？ （2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加和．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加．求a的值． 【答案】（1）A，B两个品种去年平均亩产量分别为400kg，500kg； （2）10. 【解析】 【分析】（1）设A，B两个品种去年平均亩产量分别是千克和千克；根据题意列方程组即可得到结论； （2）根据题意列方程即可得到结论. 【小问1详解】 设A，B两个品种去年平均亩产量分别为，. 由题得， 得 所以A，B两个品种去年平均亩产量分别为，. 【小问2详解】 由题意知，A，B两个品种今年平均亩产量分别为， 且A，B两个品种今年的售价分别为元/kg，元/kg. 两品种全部售出后总收入较去年基础上增加， 所以可得关系式： 由上述关系式，解得. 所以的值为. 24. 如图1，在矩形ABCD中，，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H． （1）求证：； （2）如图2，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若，，，求PF的长度． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，过作交于，过作交于，由矩形ABCD，可得四边形均为平行四边形，则，又可得，则可得，则得，. （2）如图，过点作交的延长线于，过点作交于，由（1）知，可得，则，在中，由勾股定理可得，由，可得，由，即可求得. 【小问1详解】 如图，过作交于，过作交于， 因为四边形是矩形， ， 则，， 所以四边形均为平行四边形， ， ， ， ， ， 又， ， ， . 【小问2详解】 如图，过点作交的延长线于，过点作交于， 则，， 由折叠的性质得， 由（1）知，，又，，， 所以，则， 所以在中，，则， 由折叠的性质得，， 设，则， 所以在中，， ，解得， ， ， ， 又， ， ，则， ， ， ， ， 又， ， ，则， 解得. 25. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上．点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3． （1）如图1，点D是AB边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形OABC的面积； （2）如图2，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请求出P点坐标和的值． 【答案】（1）9 （2）, 【解析】 【分析】（1）易求得，代入可得反比例函数解析式为，再根据中点坐标公式可求得点坐标，得出平行四边形OABC的面积； （2）作辅助线并利用勾股定理求得，联立直线和反比例函数方程即可得出，可求出，即可求出. 【小问1详解】 根据题意因为点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3， 四边形OABC是平行四边形，可得， 由点C在反比例函数的图象上，可得，可得； 即反比例函数解析式为； 设点的坐标为， 所以， 因为四边形OABC是平行四边形，所以， 又点D是AB边的中点，点B的纵坐标为3， 所以点D的纵坐标为，又因为点D在反比例函数的图象上，即， 根据中点坐标公式可得， 所以，解得或（舍）， 即平行四边形OABC的面积. 【小问2详解】 将直线向上平移6个单位得到直线，可得； 设直线与轴交点为，则， 作于点，如下图所示： 因为于点N，所以， 在函数中，当时，，即； 所以， 在中，由勾股定理可得， 由三角形面积公式可得， 所以， 可得； 联立方程组，解得或， 即， 又点P为的中点，所以， 因此， 所以. 26. 已知在中，，，点D是边AC上一点，点E在直线BC上运动，将线段DE绕点D顺时针旋转得到线段DF，点F落在直线AB． （1）如图1，点E、F分别在边BC、AB上，若，连接EF，，，求BF的长度； （2）如图2，点E、F分别在边BC、AB上，作交AB于点G，请猜想线段AF、AB、FG之间的数量关系，并证明； （3）若，点E在直线BC上运动，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，结合可得四边形为平行四边形，即可借助含的直角三角形的边的性质及平行四边形计算得解； （2）作出相应辅助线，结合题意可得与相似，与相似，即可借助相似三角形的性质得到相应边的比例，计算即可得解； （3）由题意构造相应辅助线可得点在的角平分线上，再分点所处位置，结合等腰三角形分类讨论并逐项计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得，， 则， 由，故， 故有，故， 故四边形为平行四边形， 则， 则，故， 故； 【小问2详解】 ，理由如下： 延长、交于点，连接，取中点，连接， 由题意可得，，则， 又，则， 由，故，又， 故与相似，故有， 由，故， 又为中点，故，则， 故，又， 故与相似，故有，即， 即， 即，又，故， 即可得，即； 【小问3详解】 的值可能为或或，理由如下： ①连接，过点作于点， 由题意可得，， 则， 故当点在线段上且不与端点重合时，点在点左侧， 如下图： 若为等腰三角形，则有， ，又，， 故与全等，故，，故点在的角平分线上， 即有，则， ，， 此时； ②当点在点处时，由，且点在直线上， 故，故点在点处，如下图： 此时中有，符合要求， 则点，即； ③若点在点处时，由①可知，此时， 即为包含角的直角三角形，故舍去； ④若点在射线上且不在线段上时，如下图： 此时，，， 不可能为等腰三角形，故舍去； ⑤若点在射线上且不在线段上时， 连接，过点作于点，如下图： 由题意可得，， 则， ，又，， 故与全等，故，，故点在的角平分线上， 即有，若为等腰三角形，则有， 则， 则，， 此时； 综上所述：当为等腰三角形时，的值可能为或或. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问关键点在于构造相应辅助线，得到与相似，与相似. 27. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，且与y轴交于点，与x轴交于点，点是第一象限抛物线上一动点，过作轴，交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过点作于点，当的周长最大时，动点在直线上运动，动点在轴上运动，且轴，连接，求的最小值； （3）如图，点在第一象限内，连接，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，点在第二象限内直线上，连接，若，，，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先找到二次函数上的两个点，然后代入函数解析式建立方程求解即可； （2）先确定当最长时，周长最大，然后设 计算长度，然后计算出最大值时的，最后得到两点的坐标，然后画点，利用几何关系可知，求解即可； （3）先过点作轴垂线分别交轴和直线于点，然后证明，最后得到，设，利用角度关系，得到，即，计算出，最后计算需要的长度，证明，计算出，最后计算出，由（2）计算出，得出点坐标即可. 【小问1详解】 由题可知 所以抛物线解析式为 【小问2详解】 由题可知， 所以,得三角形为等腰直角三角形， 因为， 所以三角形为等腰直角三角形， 所以其周长为 所以周长最大，即最长， 因为， 所以 不妨设： 所以 所以显然当时，最长，此时的周长最大 故 如图，作点，连接, 显然平行且等于 所以四边形为平行四边形， 所以 显然轴为中垂线，所以 故 显然 所以的最小值为； 【小问3详解】 如图，过点作轴垂线分别交轴和直线于点， 所以 由题可知： 所以 故 所以 设, 所以 显然 所以 显然， 所以 因为 所以 所以 因为 所以 所以 解得 所以 所以 因为 所以 所以 所以 所以 又因为， 所以 所以 所以 由（2）可知 解得 所以当时 此时； 当时 ， 此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2027级高一入学测试 数学学科试题 （时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在对应括号里． 1. 绝对值是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下面图形中，中心对称图形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知点在反比例函数图象上，则的值为（ ） A B. 3 C. D. 6 4. 已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 7. 如图，估计的值所对应的点可能落在（ ） A. 点A处 B. 点B处 C. 点C处 D. 点D处 8. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，将沿BD翻折后得到，将线段DC绕点D顺时针旋转得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，是等边三角形，点D在边AB上，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为，为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①；②当时，；③当时，函数值y的最小值为；④动点P沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为__________． 13. 如图，直线与交于与x轴交于，则不等式组的解集为______． 14. 如果关于x的分式方程的解为负数，且关于x的不等式组的解集为，那么符合条件的整数a的个数是__________． 15. 已知实数a，b满足，那么的值为__________． 16. 如图，中，，．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则BG的长为______． 17. 数学兴趣小组对1…n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……若，则k的值为______． 18. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．若，，则AB的长为__________． 19. 一个两位正整数，若满足各数位上的数字均不为，称为“公能数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的左边组成第一个四位数，把放在的右边组成第二个四位数，记．若，都是“公能数”，个位上的数字等于十位上的数字，且被除余，，则满足条件的所有的和为__________． 20. 如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点I在上，以为直径的圆交直线于点．若I为的中点，，则__________． 三、解答题（本大题共7个小题，每小题各10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置． 21. 计算： （1）； （2）． 22. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息. a.教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98 b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）； 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 90.8 n 93 c.评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题： ①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______91（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______. 23. 为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元． （1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？ （2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加和．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加．求a的值． 24. 如图1，在矩形ABCD中，，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H． （1）求证：； （2）如图2，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若，，，求PF的长度． 25. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上．点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3． （1）如图1，点D是AB边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形OABC的面积； （2）如图2，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请求出P点坐标和的值． 26. 已知在中，，，点D是边AC上一点，点E在直线BC上运动，将线段DE绕点D顺时针旋转得到线段DF，点F落在直线AB． （1）如图1，点E、F分别在边BC、AB上，若，连接EF，，，求BF长度； （2）如图2，点E、F分别在边BC、AB上，作交AB于点G，请猜想线段AF、AB、FG之间的数量关系，并证明； （3）若，点E在直线BC上运动，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，且与y轴交于点，与x轴交于点，点是第一象限抛物线上一动点，过作轴，交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过点作于点，当的周长最大时，动点在直线上运动，动点在轴上运动，且轴，连接，求的最小值； （3）如图，点在第一象限内，连接，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，点在第二象限内直线上，连接，若，，，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$