4.1.1&4.1.2有理数指数幂和无理数指数幂（3知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

4.1.1&4.1.2 有理数指数幂和无理数指数幂 课程标准 学习目标 （1）通过对有理数指数幂 , 且 为整数, 且 、实数指数幂 , 且 含义的认识, 了解指数幂的拓展过程, 掌握指数幂的运算性质。 。 （1）理解根式的概念，会根式的化简求值; （2）掌握根式与分数指数幂的互化； （3）理解无理数指数幂； （4）掌握实数指数幂的运算.（难点) 知识点01 根式 (1) 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， 【即学即练1】 求值， . 知识点02 分数指数幂 （1） 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) （2）正数的负分数指数幂的意义： （3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【即学即练2】 （多选）下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 无理数指数幂 （1）对任意的正数和两有理数，有；对任意的正数和两有理数，有； （2）无理数指数幂利用有理数指数幂进行逼近得到； （3）实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 【即学即练3】 化简： 【题型一：根式的化简求值】 例1． 当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 变式1-1．（多选）以下运算结果等于2的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（多选）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1-3．（多选）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 理解根式的性质 (1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， 2 根式里是多项式，注意完全平方公式运用. 【题型二：分式指数幂与根式的互化】 例2．下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．下列关于 的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 理解分数指数幂与根式的互化 （1） 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) （2）正数的负分数指数幂的意义： 2 若存在多重根式，就“从内到外”化简. 【题型三：具体指数幂数值的求值】 例3．分别计算下面两题 (1)化简： (2)化简求值. 变式3-1．计算：. 变式3-2．求值：； 变式3-3．（1）化简：（a＞0，b＞0）； （2）求值：. 【方法技巧与总结】 1 实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 2 对于具体指数幂数值的具体求值中，带分数可化为假分数，小数可化为分式，遇到平方数、立方数可化为幂的形式. 【题型四：指数幂的化简与求值】 例4．已知，则的值等于（    ） A． B．6 C． D．8 变式4-1．若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 变式4-2．已知，则的值是（    ） A．15 B．12 C．16 D．25 变式4-3．已知方程的两根为，（）. (1)求的值；(2)求的值. 【方法技巧与总结】 注意完全平方公式和立方和、立方差公式的运用. 【题型五：指数幂的运算法则的应用】 例5．已知函数，当时，. (1)求的值； (2)已知，求的解析式. 变式5-1．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 变式5-2．若，，且满足，，则的值为（    ）. A．1 B．2 C． D． 变式5-3．定义区间，其中，则满足的m的最大值为 . 变式5-4．已知函数 (1)当时， 证明: 为奇函数; (2)当时， 函数在上的值域为 求a的取值范围. 一、单选题 1． 化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2.集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 3.设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 4. 计算，结果是（    ） A．1 B． C． D． 5.已知，则的值(    ) A． B． C． D． 6.已知，则的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 7. 设实数a，b满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 8.若，x，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 二、多选题 9．已知，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10.已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（    ） A． B． C． D． 11.已知 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．化简： . 13.若，则 . 14.已知正数满足，则的最小值为 . 四、解答题 15．求下列各式的值；； 16.（1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 17.化简（其中）. 18.已知f（x）＝，a是大于0的常数． (1)求； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求＋＋+…＋的值． 19．已知函数 . (1)证明：； (2)若，不等式恒成立，求实数 的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1.1&4.1.2 有理数指数幂和无理数指数幂 课程标准 学习目标 （1）通过对有理数指数幂 , 且 为整数, 且 、实数指数幂 , 且 含义的认识, 了解指数幂的拓展过程, 掌握指数幂的运算性质。 。 （1）理解根式的概念，会根式的化简求值; （2）掌握根式与分数指数幂的互化； （3）理解无理数指数幂； （4）掌握实数指数幂的运算.（难点) 知识点01 根式 (1) 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， 【即学即练1】 求值， . 解 ， . 知识点02 分数指数幂 （1） 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) （2）正数的负分数指数幂的意义： （3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【即学即练2】 （多选）下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案； 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，时显然等式不成立，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABC. 知识点03 无理数指数幂 （1）对任意的正数和两有理数，有；对任意的正数和两有理数，有； （2）无理数指数幂利用有理数指数幂进行逼近得到； （3）实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 【即学即练3】 化简： 【答案】 【分析】 根据分数指数幂的运算法则计算可得 【详解】（1）； 【题型一：根式的化简求值】 例1． 当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义求得的范围，化简所求根式即可. 【详解】因为有意义，所以，则， 则 ， 故选：C. 变式1-1．（多选）以下运算结果等于2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据根式运算化简各项即可. 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，符合题意； 对于D，，符合题意. 故选：BCD 变式1-2．（多选）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【分析】根据得到，结合，得到且或，得到答案. 【详解】因为，又， 所以， 故， 又， 所以或， 故选：BD 变式1-3．（多选）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将分式方程化为整式方程，结合解一元二次不等式求得x的范围，根据根式的化简可得答案. 【详解】由题意知，即，即， 故或， 则 ， 故选：AC 【方法技巧与总结】 1 理解根式的性质 (1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， 2 根式里是多项式，注意完全平方公式或立方和差公式的运用. 【题型二：分式指数幂与根式的互化】 例2．下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 变式2-1．下列关于 的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂的运算法则，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由于，A正确，B，C错误； ，由于无意义，D错误， 故选：A 变式2-2．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可. 【详解】A中，（），故A错误； B中，，故B错误； C中，（），故C正确； D中，，故D错误. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 理解分数指数幂与根式的互化 （1） 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) （2）正数的负分数指数幂的意义： 2 若存在多重根式，就“从内到外”化简. 【题型三：具体指数幂数值的求值】 例3．分别计算下面两题 (1)化简： (2)化简求值. 【答案】(1) (2) 【分析】利用根式转化为分数指数幂，以及分数指数幂的运算方法，即可化简； 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 变式3-1．计算：. 【答案】 【分析】根据根式与指数幂的运算即可得到答案. 【详解】原式. 变式3-2．求值：； 【答案】3 【分析】利用指数运算性质化简求值即可； 【详解】 原式. 变式3-3．（1）化简：（a＞0，b＞0）； （2）求值：. 【答案】（1）；（2） 【分析】运用指数幂的性质计算即可. 【详解】（1） . （2） . 【方法技巧与总结】 1 实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 2 对于具体指数幂数值的具体求值中，带分数可化为假分数，小数可化为分式，遇到平方数、立方数可化为幂的形式. 【题型四：指数幂的化简与求值】 例4．已知，则的值等于（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】先根据展开求值，再根据求解，原等式代入求解即可. 【详解】，则， ， ， 则， 故选：C. 变式4-1．若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 变式4-2．已知，则的值是（    ） A．15 B．12 C．16 D．25 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 又由立方差公式，， 故选：A． 变式4-3．已知方程的两根为，（）. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）求出，再利用指数幂运算求值. 【详解】（1）依题意，， 由，得 . （2）由（1）知， . 【方法技巧与总结】 注意完全平方公式和立方和、立方差公式的运用. 【题型五：指数幂的运算法则的应用】 例5．已知函数，当时，. (1)求的值； (2)已知，求的解析式. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据，且代入求解即可 （2）利用，且，利用倒序相加法求解即可 【详解】（1）， 即 ， ， ，当且仅当，即取等号， 又，. （2）由， 得 ， 又当时， 所以两式相加可得 ， 所以 变式5-1．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】将根式表示为分数指数幂，得，利用基本不等式求的最小值. 【详解】，所以， 因为a，b为正数， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 变式5-2．若，，且满足，，则的值为（    ）. A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，解得，再代回已知等式求出，可得的值. 【详解】由，，得，即，解得， 把代入，得，即，两边平方得，由得， 则. 故选：C 变式5-3．定义区间，其中，则满足的m的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，依次求出，即可求出m的最大值. 【详解】依题意，，，则， ，而，，则， ，由，得，因此， ，而，于是， 即，，所以. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用根式的性质比较大小. 变式5-4．已知函数 (1)当时， 证明: 为奇函数; (2)当时， 函数在上的值域为 求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明； （2）先应用单调性得出相等关系，在结合值域的求法得出参数范围； 【详解】（1）因为，所以， 由，得函数的定义域为， 又， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）当时，，是单调增函数， 在上的值域为， 所以 则是的两个解，可得， 设， 在和单调递减，单调递增， 其中，在上值域， 在上值域且取该区间最大值， 综上，数形结合易得. 【点睛】方法点睛：应用函数对称中心定义证明函数中心对称，根据奇函数定义证明函数是奇函数. 一、单选题 1． 化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2.集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，可得，由此求出，进而可求出，再根据并集的定义即可得解. 【详解】因为，，， 所以，解得， 则，所以， 所以. 故选：A. 3.设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合根式与分数指数幂的互化，根据指数运算法则化简即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 4. 计算，结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答. 【详解】. 故选：B 5.已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质即可求得. 【详解】因为，所以 . 故选：D. 6.已知，则的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，再变换，代入数据得到答案. 【详解】，故，，故 . 故选：B 7. 设实数a，b满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用换元法，结合基本不等式进行求解即可, 【详解】令， 则有， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 故选：A 8.若，x，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】构造，变形，然后用基本不等式求出结果即可. 【详解】因为， 所以． 因为，所以． 所以，即． 当且仅当，，即，时等号成立， 所以的最小值为． 故选：C． 二、多选题 9．已知，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据指数的运算公式分别判断各选项. 【详解】A选项：由，得，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项正确； 故选：ABD. 10.已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先由等式，得出；对于选项A和B，分析的情形即可；对于选项C，分析的情形即可；对于选项D，分析的情形即可. 【详解】因为，所以． 对于选项A和B，当时，，只能，选项A不成立，选项B正确； 对于选项C，当时，，只能，选项C正确； 对于选项D，当时，且，只能，等式成立，选项D正确； 故选：BCD． 11.已知 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据完全平方公式，立方和公式逐一判断即可. 【详解】由可知：， ，因此选项B正确； ，因此选项A错误； ，因为， 所以，所以选项C正确； ，所以D错误． 故选：BC． 三、填空题 12．化简： . 【答案】 【分析】根据根式的定义求解． 【详解】. 故答案为：. 13.若，则 . 【答案】 【分析】化简已知与所求式子，再代入求值. 【详解】由题意，，所以， 又， 所以原式. 故答案为：. 14.已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】先根据指数运算求出，代入中，再利用基本不等式可得最小值. 【详解】，可得，又，所以， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为： 四、解答题 15．求下列各式的值；； 【答案】 【分析】利用 进行化简，求得答案. 【详解】由题意可得：= ． 16.（1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）112；（2）；（3）23 【分析】（1）利用指数幂和根式的运算法则化简求解； （2）利用指数幂的运算法则化简求解； （3）根据指数幂的运算法则，利用平方即可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）因为， 两边同时平方得，， 整理得，， 所以. 17.化简（其中）. 【答案】 【分析】分子分母同时乘以，利用平方差公式化简. 【详解】 由于，则， 故 18.已知f（x）＝，a是大于0的常数． (1)求； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求＋＋+…＋的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】(1) 直接代入求值即可； (2) 由f(x)＝，得f(1－x)＝，然后相加再化简可得定值； (3)结合（2）的结论求解即可. 【详解】（1）. （2）由f(x)＝，得f(1－x)＝， 所以 故有． （3）由（1）(2)知，＋＋+…＋ =++…＋＋＝1×1010+＝ 19．已知函数 . (1)证明：； (2)若，不等式恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用完全平方公式得到，从而得证； （2）先将变形为，令，构造函数 ，研究其性质即可. 【详解】（1）由于，左边； 右边； 右边右边，所以等式成立. （2），， 当且仅当时，即时等号成立， 由第（1）问可知，“不等式恒成立”等价于：“不等式恒成立”， 令，即对任意，恒成立， 构造函数 ， 当时，函数在区间上单调递增， 函数的最小值为，只需， 此时满足题意； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 函数的最小值为，只需， 此时满足题意； 总之，不等式恒成立，实数 的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$