4.1.3幂函数（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

4.1.3 幂函数 课程标准 学习目标 （1）通过具体实例, 结合 的图象, 理解它们的变化规律, 了解幂函数。 （1）掌握幂函数的定义; （2）掌握幂函数的图象及其性质； （3） 掌握幂函数性质的应用.（难点) 知识点01 幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 注 (1)注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数； 【即学即练1】 下列是幂函数的是 ( ) A. B. C. D. 知识点02 幂函数图像及其性质 (1) 幂函数的图象． (2) 幂函数的性质 图象X|X|K] 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递增 在 上递增 在上递减 在上递减 特殊点 (3)性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸. Eg 图象上凸，图象下凹，在上是增函数． ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． Eg ， 【即学即练2】 已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且 【题型一：判断函数是否是幂函数】 例1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式1-1．下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 变式1-2．下列函数中，，，，是幂函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 1 幂函数的概念：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 2 注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数. 【题型二：求幂函数的值】 例2．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知幂函数的图象经过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 变式2-2．已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 变式2-3．若幂函数的图象过点，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 求幂函数的解析式，可利用待定系数法； 2 已给幂函数解析式形式求参数，注意幂函数的系数为. 【题型三：幂函数的定义域】 例3．已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 变式3-1．下列幂函数中，定义域为的是（　　） A． B． C． D． 变式3-2．幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 掌握常见幂函数的图象与性质； 2 求非常见幂函数的定义域，常把幂函数的解析式中幂的形式化为根式的形式更好理解； 3 所有的幂函数在都有定义，若幂函数中时定义域内不含，若幂函数(m,n为整数)中是偶数，则函数定义域不能取。 【题型四：幂函数的单调性】 例4．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 变式4-2．设函数，若，则（    ） A． B． C．2 D．6 变式4-3．已知，且函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．3 变式4-4．已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 变式4-5．已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在R上单调递增 D．函数在上单调递增 【方法技巧与总结】 1 幂函数，当时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸. 时，幂函数的图象在上是减函数． 2 利用幂函数的单调性，也比较数值大小、求解不等式、求函数值域等. 【题型五：幂函数的奇偶性】 例5．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 变式5-3．若幂函数过，则满足不等式的实数的取值范围是 . 【方法技巧与总结】 对于幂函数的奇偶性，主要是利用函数奇偶性的定义进行判定；在奇偶性与单调性的综合题中常用数形结合进行思考分析. 【题型六：幂函数图象的判断及应用】 例6．已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 变式6-1．若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   变式6-2．已知，则函数的图像不可能是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．定义在上的函数满足，且在单调递增，，，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 对幂函数图象的判断，主要是结合其单调性与奇偶性进行分析，若在选择题中也常用取特殊值的排除法. 【题型七：幂函数性质的综合应用】 例7．（多选）已知函数则以下说法正确的是（    ） A．若，则是上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 变式7-1．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 变式7-3．已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是 ． 变式7-4．已知，若，则（ ） A．－2 B．－1 C． D．2 变式7-5．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”； (3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值. 一、单选题 1．已知函数是幂函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 2.已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 3.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．2 B．－1 C．4 D．2或－1 5.若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（    ） A．在上为增函数 B．方程的实根为 C．的值域为 D．为偶函数 6.已知函数的图象经过点，则下列答案错误的是（    ） A．函数在定义域内为增函数 B．函数为偶函数 C．当时， D．当时， 7.在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（    ） A．    B．   C．    D．   8.已知定义在上的函数满足，若函数在上的值域与函数的值域相同，则（    ） A．2 B．1 C． D． 二、多选题 9．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 10.下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 11.已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．己知幂函数的图象经过点，求 ． 13.已知，若函数满足：当时，恒成立，则的取值为 ．（写出满足条件的所有取值） 14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ①； ②对于任意两个不同的正数，都有恒成立； ③对于任意两个不同的实数，都有． 四、解答题 15．已知幂函数经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若当，时，有，求实数的取值范围． 16. 已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 17.若函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数m的值； (2)若函数，且， ①判断函数的单调性，并证明； ②求使不等式成立的实数t的取值范围. 18.已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，是否存在实数，（），使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由． 19．若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数. (1)若函数为函数，请直接写出（不要过程）； (2)判断函数是否为函数，并说明理由； (3)是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1.3 幂函数 课程标准 学习目标 （1）通过具体实例, 结合 的图象, 理解它们的变化规律, 了解幂函数。 （1）掌握幂函数的定义; （2）掌握幂函数的图象及其性质； （3） 掌握幂函数性质的应用.（难点) 知识点01 幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 注 (1)注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数； 【即学即练1】 下列是幂函数的是 ( ) A. B. C. D. 解 的底数是常数，的系数不是，的底数不是，它们均不是幂函数，只有符合. 知识点02 幂函数图像及其性质 (1) 幂函数的图象． (2) 幂函数的性质 图象X|X|K] 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递增 在 上递增 在上递减 在上递减 特殊点 (3)性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸. Eg 图象上凸，图象下凹，在上是增函数． ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． Eg ， 【即学即练2】 已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且 【答案】D 【分析】从图象的奇偶性与在第一象限的单调性判断解析式的特征 【详解】因为函数的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数，即p为偶数， 又函数的定义域为， 且在上单调递减， 则有， 所以． 故选：D． 【题型一：判断函数是否是幂函数】 例1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【详解】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 变式1-1．下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义即可得解. 【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 变式1-2．下列函数中，，，，是幂函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，为常数， 故，为幂函数，，均不为幂函数. 故选：B 【方法技巧与总结】 1 幂函数的概念：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 2 注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数. 【题型二：求幂函数的值】 例2．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求解即可》 【详解】依题意可得, 所以, 又的图象经过点, 所以, 解得, 所以. 故选：D. 变式2-1．已知幂函数的图象经过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】运用待定系数法求幂函数解析式，再代入求值即可. 【详解】幂函数的图象经过点， 设幂函数，将点代入解析式得到，即，解得. 故.故. 故选：A. 变式2-2．已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出，得到解析式，代入求值即可. 【详解】因为是幂函数，所以，即， 所以，. 故选：A. 变式2-3．若幂函数的图象过点，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求出的值，再令，将用含的二次函数表示，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域. 【详解】由题意可得，可得，则， 令，可得，则， 令，其中，则， 当且仅当时，等号成立，故函数的值域为. 故选：A. 【方法技巧与总结】 1 求幂函数的解析式，可利用待定系数法； 2 已给幂函数解析式形式求参数，注意幂函数的系数为. 【题型三：幂函数的定义域】 例3．已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【详解】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C 变式3-1．下列幂函数中，定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合幂函数的图象与性质，分别求得其定义域，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，不符合题意； 对于A中，函数的定义域为，不符合题意； 对于A中，函数的定义域为，不符合题意； 对于A中，函数的定义域为，符合题意. 故选：D. 变式3-2．幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 【方法技巧与总结】 1 掌握常见幂函数的图象与性质； 2 求非常见幂函数的定义域，常把幂函数的解析式中幂的形式化为根式的形式更好理解； 3 所有的幂函数在都有定义，若幂函数中时定义域内不含，若幂函数(m,n为整数)中是偶数，则函数定义域不能取。 【题型四：幂函数的单调性】 例4．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数解析式知函数在上单调递减，建立不等关系解出即可. 【详解】因为函数在上单调，由在上不可能单调递增， 则函数在上不可能单调递增，故在R上单调递减， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：D. 变式4-1．若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得， 对于,解得或， 当时，满足，但时，不满足， 故， 故选：A 变式4-2．设函数，若，则（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】D 【分析】由题意可得出在和上为增函数，则，由可得出，即可得求出的值. 【详解】易得在和上为增函数， ，所以， 由得，解得或（舍去）， 则， 故选：D. 变式4-3．已知，且函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，解得， 又，所以. 故选：C 变式4-4．已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断. 【详解】由得或， 时，在上是增函数，不合题意， 时，，在上是减函数，满足题意， 所以， ，则，，是奇函数，因此， 所以，即， 故选：B. 变式4-5．已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在R上单调递增 D．函数在上单调递增 【答案】C 【分析】根据已知设，由二次函数的性质确定AB错误；由幂函数的性质判断C正确；由反比例函数的形式确定D错误. 【详解】因为是奇函数，且在区间上单调递增， 所以在上也为单调递增函数， 对于A：不妨令，， 所以在单调递减，在单调递增，故A错误； 对于B：不妨令，， 所以在单调递增，在单调递减，故B错误； 对于C：，其定义域为， 又，所以是奇函数， 取，则，，故 所以，则函数在为递增函数； 所以函数在也为递增函数，且当时，， 所以在R上单调递增，故C正确； 对于D：不妨令，， 由反比例函数的单调性可知在和上单调递减，故D错误； 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 幂函数，当时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸. 时，幂函数的图象在上是减函数． 2 利用幂函数的单调性，也比较数值大小、求解不等式、求函数值域等. 【题型五：幂函数的奇偶性】 例5．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过求出，然后确定函数单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】为定义在上的奇函数， 因为当时，， 所以，故 在上单调递增， 根据奇函数的性质可知在上单调递增， 因为，所以， 由不等式可得，，解得，， 故解集为. 故选：D. 变式5-1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解 【详解】对于A：的定义域为，且， 所以为偶函数，当时，由一次函数的性质可知， 在上单调递减， 即在上单调递减，故A错误； 对于B：的定义域为，且，所以为奇函数，故B错误； 对于C：的定义域为，且， 所以为偶函数，当时，， 由指数函数的性质可知，在上单调递增，故C正确； 对于D：的定义域为，且， 所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 故选：C. 变式5-2．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 故，定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为偶函数， 又因为，所以在区间上单调递减， 故选：B. 变式5-3．若幂函数过，则满足不等式的实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，根据题意可得，根据函数奇偶性和单调性解不等式. 【详解】设， 由题意可得：，解得，即， 可知为定义在上的偶函数，且在内单调递减，在内单调递增， 若，可得， 整理可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 对于幂函数的奇偶性，主要是利用函数奇偶性的定义进行判定；在奇偶性与单调性的综合题中常用数形结合进行思考分析. 【题型六：幂函数图象的判断及应用】 例6．已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【答案】D 【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数. 【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减， 所以0， 因为函数的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数，即p为偶数， 又p、q互质，所以q为奇数， 所以选项D正确， 故选：D. 变式6-1．若幂函数的图像经过点，则的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】函数，代入图像经过的点，求得的值，分析函数性质，选择函数图像. 【详解】设幂函数，因为图像经过点， 所以，解得，则此幂函数的表达式为． 幂函数，函数定义域为，在上单调递减， ，函数为偶函数，图像关于轴对称， 只有D选项符合. 故选：D 变式6-2．已知，则函数的图像不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像. 【详解】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现. 故选：A 变式6-3．定义在上的函数满足，且在单调递增，，，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析的对称性、单调性、零点，求得的对称性（奇偶性）、零点，结合的单调性、零点以及特殊点的函数值判断出函数的图象. 【详解】，所以的图象关于直线对称， 则的图象关于直线即轴对称，是偶函数， 为偶函数，图象关于轴对称， 所以是偶函数，图象关于轴对称，排除AD选项. ， 由于在上递增，在上递减， 所以有且仅有个零点：和，另外有， 所以有且仅有个零点：和， 有唯一零点：， 所以有且仅有个零点：、和. 当时，，， 从而排除C选项， 故B选项正确. 故选：B 【方法技巧与总结】 对幂函数图象的判断，主要是结合其单调性与奇偶性进行分析，若在选择题中也常用取特殊值的排除法. 【题型七：幂函数性质的综合应用】 例7．（多选）已知函数则以下说法正确的是（    ） A．若，则是上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 【答案】ABC 【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项. 【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确； 对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1, 故B正确； 对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确； 对于D，若，当时，； 当时，； 当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误. 故选：ABC 变式7-1．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，的值域，不符合题意， 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 变式7-2．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】先通过函数是幂函数以及单调性求出的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为对任意，且，满足， 即对任意，都有， 故函数是幂函数且在上单调递增， 所以， 所以， 则，明显为上的奇函数， 由得， 所以， 所以. 故选：A. 变式7-3．已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由奇函数的定义判断出为奇函数，结合时单调递减得出在上单调递减，结合已知求解即可． 【详解】当时，； 当时，，； 当时，，所以对任意的， 所以函数为奇函数， 又当时，单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以不等式， 解得， 由已知对任意的有恒成立， 所以,即， 故答案为：． 变式7-4．已知，若，则（ ） A．－2 B．－1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据指数的运算性质，结合幂函数的性质进行求解即可. 【详解】设，由 ， 当且时，即时，等式显然成立， 当时，则有，因为， 所以， 当时，则有，即， 因为函数是实数集上的增函数， 由，而与矛盾， 所以不成立， 当时，则有，即， 因为函数是实数集上的增函数， 由，而与矛盾， 所以不成立， 综上所述：， 故选：A 【点睛】关键点睛：利用幂函数的单调性是解题的关键. 变式7-5．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”； (3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据优美区间的定义来证明即可； （2）假设函数存在“优美区间”，结合已知导出矛盾即可得证； （3）原题条件等价于是方程（*）的两个同号且不等的实数根，结合判别式可得的范围，结合韦达定理可用表示，进一步即可求解. 【详解】（1）在区间上单调递增，又， 当时，， 根据“优美区间”的定义，是的一个“优美区间”； （2），设，可设或， 则函数在上单调递增. 若是的“优美区间”，则是方程的两个同号且不等的实数根. 方程无解. 函数不存在“优美区间”. （3），设. 有“优美区间”， 或， 在上单调递增. 若是函数的“优美区间”，则， 是方程，即（*）的两个同号且不等的实数根. ， 或， 由（*）式得. ， 或， 当时，取得最大值. . 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得出的范围以及关于的表达式，由此即可顺利得解. 一、单选题 1．已知函数是幂函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据是幂函数先求解出的值，然后代入于解析式可求结果. 【详解】由题知，解得， ， 故选：C. 2.已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据幂函数求解，再判断函数为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可. 【详解】由题意有，可得，其定义域为R， 且，则函数为奇函数， 所以. 故选：A. 3.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用定义判断函数的奇偶性可对A、C判断；利用函数奇偶性的判断并结合函数单调性可对B、D判断. 【详解】对A、C：由，定义域为，所以不是奇函数，故A错误； 定义域为，，所以是偶函数，故C错误； 对B、D：，定义域为，，所以为奇函数， 当时，，且在上单调递减，故B正确； ，定义域为，且，所以为奇函数，且在定义域上为增函数，故D错误； 故选：B. 4.已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．2 B．－1 C．4 D．2或－1 【答案】A 【分析】运用幂函数定义，结合单调性可解. 【详解】由幂函数定义知，解得或， 当时，，则在上为常数函数，不符合题意； 当时，，则，在上单调递减，符合题意.故. 故选：A. 5.若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（    ） A．在上为增函数 B．方程的实根为 C．的值域为 D．为偶函数 【答案】D 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为，所以在上为减函数，错误； 对于B：令，所以，解得，所以方程的实根为，错误； 对于C：因为，所以，所以，所以的值域为，错误； 对于D：因为的定义域为关于原点对称，且， 所以为偶函数，正确. 故选：D 6.已知函数的图象经过点，则下列答案错误的是（    ） A．函数在定义域内为增函数 B．函数为偶函数 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由可判断C，利用展开和0比即可判断D. 【详解】∵函数的图象经过点， ∴， ∴，解之得:. ∴，. 对于A.因为，所以函数在上为增函数.故A正确； 对于B.因为函数的定义域为，并不关于原点对称，所以函数不是偶函数.故B错误； 对于C.因为函数在上为增函数，所以当时,.故C正确； 对于D. 当若时， = =. 即成立，所以D正确. 故选：B . 7.在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（    ） A．    B．   C．    D．   【答案】D 【分析】分、，、四种情况及二次函数幂函数的性质，逐一判断即可得答案. 【详解】解：因为二次函数的对称轴为， 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递增， 对于C，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为直线，故不正确； 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递减， 对于D，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，满足题意，故正确； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递减， 对于B，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，不满足题意，故不正确； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递增， 对于A，由题意可得此时，得以，所以幂函数，当时，图象在直线下方，不满足题意，故不正确； 故选：D. 8.已知定义在上的函数满足，若函数在上的值域与函数的值域相同，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先构造函数方程组求出，再求出的值域，得的值域，得，即. 【详解】①， ②， 由①②得， ， ， 故函数的值域为，函数的值域也是， 因为，所以，即. 故选：B. 二、多选题 9．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的解析式，结合函数的性质，即可判断. 【详解】选项A不具有奇偶性；选项B是奇函数，在上单调递增； 选项C，记，则，函数在上不是单调递增函数； 选项D，函数是奇函数，在上单调递增. 故选：BD 10.下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】AB选项，根据幂函数的指数特征求出定义域和值域；C选项，利用函数奇偶性定义进行判断；D选项，解不等式，得到不等式解集. 【详解】A选项，的定义域为，A错误； B选项，，故值域为，B正确； C选项，定义域为，关于原点对称，又， 故为偶函数，C正确； D选项，不等式，故，解得或，D错误. 故选：BC 11.已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意由是定义在R上的奇函数得函数的周期为4，即可得出结果. 【详解】因为 为奇函数且满足 ， 故，故可知 的周期为4 ， 所以 ， ， 因为当 时， ，所以 ，即, 故选：ABD 三、填空题 12．己知幂函数的图象经过点，求 ． 【答案】 【分析】设幂函数为，根据题意求得，得到，代入即可求解. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即， 所以. 故答案为：. 13.已知，若函数满足：当时，恒成立，则的取值为 ．（写出满足条件的所有取值） 【答案】、、0或 【分析】根据幂函数的性质，结合题意，根据函数值的正负情况，一一判断的取值是否符合题意，可得答案. 【详解】因为，所以 ， 要使则在区间上应大于0， 所以时在区间可取到负值，不合题意； 当时，，在区间上恒有成立，符合题意； 当时，，当时，， 当时，， 即在区间上有成立，不合题意； 当时，，当时，为递增函数，，则； 当时，为递减函数，，则， 故在区间上有恒成立，符合题意； 当 时，，由，及， 知恒成立，符合题意； 当 时，，由及， 知恒成立，符合题意， 综上所述，的取值为、、0或， 故答案为：、、0或 14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ①； ②对于任意两个不同的正数，都有恒成立； ③对于任意两个不同的实数，都有． 【答案】（答案不唯一） 【分析】取，再逐一验证即可. 【详解】当时， 对于①，，故满足①； 对于②，由对于任意两个不同的正数，都有恒成立， 得函数在上单调递增， 而函数在上单调递增，故满足②； 对于③，任取， 则， 因为，所以， 即， 所以，故满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 15．已知幂函数经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若当，时，有，求实数的取值范围． 【答案】(1)；定义域为 (2) 【分析】（1）由题意，代入点计算即得函数解析式，化成根式易求得函数定义域； （2）根据幂函数在上的单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）由幂函数经过点可得，，可得，解得，故． 由可得，所以函数的定义域为． （2）由（1）可知，幂函数的定义域为，且在定义域上为减函数， 由，得可得． 即实数的取值范围为. 16. 已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出函数解析式，代入点的坐标，求出函数解析式； （2）写出函数，利用换元法求解函数的值域即可. 【详解】（1）设，，， 则， 解得， 则，； （2）由（1）知，， 令，，则， 记， 当时，， 当或1时，， 故在上的值域为. 17.若函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数m的值； (2)若函数，且， ①判断函数的单调性，并证明； ②求使不等式成立的实数t的取值范围. 【答案】(1)1 (2)①在区间上单调递增，证明见解析；② 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍； （2）①根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得； ②利用①的结论求解抽象不等式即得. 【详解】（1）由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为1. （2）①，在区间单调递增.证明如下： 任取，则 ， 由可得：，，则，即， 故在区间单调递增. ②由①知，在区间单调递增， 又由可得：，解得解得，所以实数t的取值范围是. 18.已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，是否存在实数，（），使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数求得参数p的值，结合单调性即可求得函数解析式； （2）假设存在实数，（），使函数在上的值域为，根据函数单调性可得相应关系式，推出，整理化简后可得，利用换元法结合二次函数性质即可求得n的范围，即可得出结论. 【详解】（1）由是幂函数， 可得，解得或； 当时，在上单调递减，不满足； 当时，在上单调递增，满足， 故． （2）由题意知，则在定义域上单调递减， 若实数，（），使函数在上的值域为， 则，两式相减，得， 故， 而，所以，即， 将该式代入， 得， 令，由，知，即， 故，所以， 由于在上单调递减，所以， 故存在实数，（），使函数在上的值域为， 此时实数的取值范围为. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第二问的探究问题，解答时要能根据函数的单调性得出之间的关系式，从而推出n关于的关系式，换元后转化为二次函数问题，即可得出结论. 19．若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数. (1)若函数为函数，请直接写出（不要过程）； (2)判断函数是否为函数，并说明理由； (3)是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）结合函数的定义列方程、不等式，由此求得的值. （2）结合函数的定义以及反证法进行判断. （3）结合函数的定义列方程、不等式，由此求得的值，从而确定正确答案. 【详解】（1）函数为二次函数，对称轴为，开口向上， 若函数为函数， 所以，即， 解得. （2）函数不是P函数，理由如下： 在上递增， 因为m，n为整数，由题意可知，即， 令，即，解得， 假设函数为P函数， 则，即，与已知矛盾，所以不存在这样的m，n， 所以函数不是P函数； （3）函数为二次函数，对称轴为，开口向上， 因为关于x的不等式的解集恰为 所以，即 将①代入③得，， 又m，n为整数，，所以，解得，此时，满足题意， 综上所述，存在实数使得函数为P函数. 【点睛】对于函数新定义的题目，解题的关键点在于将“新定义”的问题转化为所学过的知识进行求解.本题中，第（1）（3）两问是二次函数，函数图象有对称性；第（2）问是单调函数.这两种情况列式不一样，但也是围绕 “新定义”去列式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$