4.1.3幂函数（教学课件）数学湘教版必修第一册

4.1 实数指数幂和幂函数 4.1.3 幂函数 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 情境引入 大雾天，海陆空的交通运输都会受到影响. 雾是大量小水滴在空气中悬浮而形成的.小水滴为什么不掉下来呢？ 近似地把水滴看成小球，用球的直径来刻画它的大小.当变小时，水滴所受的重力和空气阻力都在变小，但程度不同. 水滴所受重力和体积成正比，即和成正比；但它所受的空气阻力却和表面积成正比，即和成正比. 当直径从变小到时，水滴所受的重力减小到，而阻力减小到.相对来说，阻力与重力的比值增加到倍.同理，从变小到时，阻力与重力的比值增加到倍.随着直径的变小，水滴所受的重力比起阻力来，很快就变得微不足道了.这就是小水滴形成雾的原因. 新知探索 上面的讨论中用到的自变量，和，都是自变量的函数.这三种函数我们已经很熟悉了. 一般来说，当为自变量而为非零实数时，函数叫作(次)幂函数.上面提到的次幂函数，都是正整数次幂函数的例子. 注：幂函数的表达式中，的系数必须为“”. 应用幂运算的基本不等式，可推出： 对任意的正数和两正数，有，即. 对任意的负数和两正数，有，即. 新知探索 由此可确定幂函数的增减性；而正整数次幂函数的奇偶性，则与幂指数的奇偶性一致. 多个正整数次幂函数与常数通过相乘相加组成的多项式函数，在理论和实际应用上极为重要. 我们已学过的倒数函数，以及平方倒数函数，是最常用的负整数次幂函数. 正整数次幂函数的倒数是负整数次幂函数.一般写成，这里是正整数，. 新知探索 从点光源发出的射线，如果没有介质的屏蔽，其强度随到达位置与光源的距离的增大而变弱，强度与成反比. 根据万有引力定律，与地心距离为的物体所受的重力的大小，与成反比.这是宇宙飞行技术的最基本的理论依据. 负整数次幂函数还有一个特点：其图象向上(下)与轴正(负)向无限接近，向右(左)与轴正(负)向无限接近.这一点无法用图形来检验，但是可以通过幂运算的性质推理得知. 负整数次幂函数和正整数次幂函数，统称为整数次幂函数. 新知探索 自变量的平方根或立方根，是最常见的分数次幂函数. 工业生产过程中排放的烟尘，在没有风的日子，会长时间笼罩在一片地方的上空.这是因为，悬浮的颗粒在不流动的空气中扩散的速度与时间的平方根成正比，这是缓慢的运动. 新知探索 活动：为了更好地研究幂函数性质，请同学们尝试在同一坐标系中画出函数 和图象.(取点要具有代表性) “”作图. 新知探索 演示：接下来老师通过作图软件来展示一下幂函数的动态图象. 新知探索 一般地，对于实数次幂函数： (1)当时，它在上有定义且递增，值域为，函数图象过和两点； (2)当时，它在上有定义且递减，值域为，函数图象过 点，向上与轴正向无限接近，向右与轴正向无限接近. 其实，图象是反映函数性质最直观的体现，我们能从图象中得到更多直观的幂函数的性质. 新知探索 下图是我们熟悉的五个幂函数，，，，的图象，它们中的后四个，各代表了一类幂函数. 对于一般的非零实数，幂函数只在时才能都有意义.对于整数次幂函数，由于图象的对称性，把它们在上的图象和性质说清楚了，其他部分的情形也就容易知道.所以我们主要关心幂函数在时的图象和性质. 探索新知 活动：观察函数图象并结合函数解析式，我们可以把发现的结论整理成下表. 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在 上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递减 定点 例析 例 8 比较下列各组中两个数的大小： (1)(2)；(3) 解 (1)，可看作幂函数的两个函数值.该函数在上递增，由于底数，所以. (2)，可看作幂函数的两个函数值.该函数在上递增，由于底数，所以. (3)，可看作幂函数的两个函数值.该函数在上递减，由于底数，所以. 由例8可以看到，利用幂函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系. 例析 例 9 若是幂函数，且，求，. 解 设. 由已知条件得. 若，则.两者皆与条件不合，故确定. 于是，. 练习 题型一：幂函数的概念 例1.已知是幂函数，则________. 解：∵是幂函数 ∴， 得：或 练习 方法技巧： 幂函数的注意事项 (1)幂函数的表达式中，的系数必须为“”. (2)当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增； (3)当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减. 例析 变1.已知幂函数在上单调递增，则等于（ ）. 解：∵为幂函数 ∴， 又∵幂函数在上单调递增 ∴.即 ∴ 练习 题型二：幂函数的图象及应用 例2.若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，问当为何值时，(1) 解：∵设,则 ∴=2.即 同理可得， 画出和的函数图象， 则由图象可知：当或时，； 当时，； 当时，. 练习 方法技巧： 解决幂函数图象问题的原则： (1)根据图象的高低判断幂指数的大小：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴(“指大图低”)；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴(即“指大图高”). (2)当时，幂函数的图象都经过和点. 练习 变2：若四个幂函数图象在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ）. 答案：B.在（1，+）上，指大图高. 练习 题型三：利用幂函数的单调性比较大小 例3.比较下列各组数中两个数的大小. 与； 与； 解：(1)∵幂函数在上是单调递增的， 又，∴>. (2)∵幂函数在上是单调递减的， 又，∴. 练习 例3.比较下列各组数中两个数的大小. 与. 解：(3)∵幂函数在上是单调递增的， 又，∴> 又∵在上是单调递增的， 且,∴ ∴ 练习 方法技巧： 比较幂的大小的3种基本方法： 直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较 转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用单调性来比较大小 中间量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的 练习 变3.比较下列各题中两个幂的值的大小. 与； 与. 解：(1)∵幂函数在上是单调递减的， 又，∴ (2)∵,幂函数在上是单调递增的， 且，∴,即 练习 题型四：幂函数性质的综合应用 例4.已知幂函数 (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在定义域上的单调性； 解：(1)∵∴ ∴,,∴不为偶数且为正数. ∴该函数的定义域为, 由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增. 例4.已知幂函数 (2)若该函数图象经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围. 练习 解：(2)由(1)得： ∵该函数图象经过点,∴， ∴，即=，∴，即. 由，得，解之得 故的值为，满足条件的实数的取值范围为 练习 方法技巧： 解决幂函数的综合问题，要注意以下几点： (1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象过定点、单调性、奇偶性等； (2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论、数形结合等. 练习 变4.已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若，求实数的值. 解：(1)∵幂函数为偶函数, ∴，解得（舍去）或 ∴,∴ . (2)由，可得. 即 . 解之得 课堂小结&作业 小结： (1)幂函数的概念； (2)5个常见幂函数的图象及其性质； (3)幂函数的性质； (4)幂函数比较大小的方法. 作业： (1)整理课件题型； (2)课本P102的练习1、2、3、4； (3)课本P102的习题4.1的7、8、13题. 谢谢学习 Thank you for learning $$