4.1.3 幂函数-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦幂函数的概念、图象、性质及应用，通过商品价格与需求量的实际情境导入，衔接实数指数幂知识，以思考提示、体验题、跟进训练为支架，引导学生逐步构建知识体系。 其亮点在于情境导学联系现实培养数学眼光，通过图象分析和性质推导发展直观想象与逻辑推理，分层训练满足不同需求。例如用需求数据引入体现数学与生活的联系，图象比较幂指数大小强化直观想象，帮助学生提升核心素养，教师可高效开展教学。

第4章　幂函数、指数函数和对数函数 4.1　实数指数幂和幂函数 4.1.3　幂函数 学习任务 核心素养 1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点) 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，掌握它们的性质．(重点、难点) 3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 1．结合幂函数的图象，培养直观想象的核心素养． 2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的核心素养． 4.1.3　幂函数 经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示： 根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x-0.38．这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？ 必备知识·情境导学探新知 价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 需求量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041 4.1.3　幂函数 知识点1　幂函数的概念 一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数______叫作(α次)幂函数． y＝xα 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 思考　如何判断一个函数是幂函数？ [提示]　(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为非零实数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 体验　1．(多选题)下列函数中是幂函数的是(　　) A．y＝　　　 B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x-1 ABD　[只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选ABD．] √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 知识点2　幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图象如图所示： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 体验　2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)． (　　) (2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限． (　　) × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 体验　3．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　) A．①y＝，②y＝x2，③y＝，④y＝x-1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝，④y＝x-1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝，④y＝x-1 D．①y＝x3，②y＝，③y＝x2，④y＝x-1 √ B　[利用排除法可得选项B正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 知识点3　幂函数的性质 (1)一般地，对于实数次幂函数y＝xα(α≠0)： ①当α>0时，它在____________上有定义且______，值域为____________，函数图象过___________和___________两点； ②当α<0时，它在_____________上有定义且______，值域为_____________．函数图象过点(1，1)，向上与____正向无限接近，向右与____正向无限接近． [0，＋∞) 递增 [0，＋∞) (0，0) (1，1) (0，＋∞) 递减 (0，＋∞) y轴 x轴 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 (2)常见幂函数的性质   y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1 定义域 R R R _________ __________ 值域 R [0，＋∞) ____ _________ __________ 奇偶性 奇 偶 ___ _________ ___ 单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，___函数 x∈(－∞，0] 时，___函数 ___ 函数 ___函数 x∈(0，＋∞) 时，___函数 x∈(－∞，0) 时，减函数 [0，＋∞) {x|x≠0} R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇 非奇非偶 奇 增 减 增 增 减 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 体验　4．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数． (　　) (2)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数． (　　) × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 关键能力·合作探究释疑难 类型1　幂函数的概念 【例1】　已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值． [解]　由题意得解得所以m＝－3，n＝． 4.1.3　幂函数 反思领悟　判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 [跟进训练] 1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为 (　　) A．0 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 B　[∵y＝＝x-2， ∴是幂函数； y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数； y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数．] 类型2　幂函数的图象及应用 【例2】　点(，2)与点分别在幂函数f (x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有： (1)f (x)>g(x)； (2)f (x)＝g(x)； (3)f (x)<g(x)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 [解]　设f (x)＝xα，g(x)＝xβ． ∵()α＝2，(－2)β＝－， ∴α＝2，β＝－1， ∴f (x)＝x2，g(x)＝x-1．分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x)>g(x)； (2)当x＝1时，f (x)＝g(x)； (3)当x∈(0，1)时，f (x)<g(x)． 反思领悟　解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝或y＝x3)来判断． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 [跟进训练] 2．(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c (2)函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 (1)B　(2)B　[(1)法一：令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合． 法二：在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d．故选B． (2)y＝的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝－1的图象可看作由y＝的图象向下平移1个单位长度得到的(如选项A中的图所示)，将y＝－1的图象关于x轴对称后即为选项B．] 类型3　幂函数性质的综合应用 【例3】　【链接教材P102例8】 比较下列各组中幂值的大小： (1)0.213，0.233；(2)，，． 由所给幂的特征，思考如何构造幂函数，幂函数的单调性如何？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 [解]　(1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23， ∴0.213<0.233． (2)＝，＝． ∵1.2>>1.1，且y＝在[0，＋∞)上单调递增， ∴>>，即>>． 【教材原题·P102例8】 例8　比较下列各组中两个数的大小： (1)1.51.4，1.61.4；(2)1.50.4，1.60.4；(3)1.5-1.5，1.6-1.5． [解]　(1)1.51.4，1.61.4可看作幂函数y＝x1.4的两个函数值．该函数在[0，＋∞)上递增，由于底数1.5<1.6，所以1.51.4<1.61.4． (2)1.50.4，1.60.4可看作幂函数y＝x0.4的两个函数值．该函数在[0，＋∞)上递增，由于底数1.5<1.6，所以1.50.4<1.60.4． (3)1.5-1.5，1.6-1.5可看作幂函数y＝x-1.5的两个函数值．该函数在(0，＋∞)上递减，由于底数1.5<1.6，所以1.5-1.5>1.6-1.5． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 反思领悟　比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 [跟进训练] 3．比较下列各组数的大小： (1)与；(2)与． [解]　(1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的， 又>，所以>． (2)因为幂函数y＝x-1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－<－，所以>． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 1．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是(　　) A．y＝x-1 B．y＝ C．y＝x2 D．y＝x3 学习效果·课堂评估夯基础 √ B　[设f (x)＝xα，则2α＝， ∴α＝，∴f (x)＝．故选B．] 4.1.3　幂函数 2．已知函数f (x)＝(a2－a－1)为幂函数，则实数a的值为(　　) A．－1或2 B．－2或1 C．－1 D．1 √ C　[因为f (x)＝为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1．又a－2≠0，所以a＝－1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 3．函数y＝x-3在区间[－4，－2]上的最小值是________． －　[因为函数y＝x-3＝在(－∞，0)上单调递减， 所以当x＝－2时，y最小值＝(－2)-3＝＝－．] － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 4．(教材P104习题4.1T7(4)改编)0.23-2.3与0.24-2.3的大小关系是_____________________． 0.23-2.3>0.24-2.3　[令y＝x-2.3，由于y＝x-2.3在(0，＋∞)上单调递减且0.23<0.24，故0.23-2.3>0.24-2.3．] 0.23-2.3>0.24-2.3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．判断一个函数是幂函数的关键是什么？ [提示]　关键是判断其是否符合y＝xα(α为非零实数)的形式． 2．所有幂函数y＝xα在原点处都有意义吗？图象都过点(1，1)吗？ [提示]　当α<0时幂函数在原点处无意义，图象都过点(1，1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 3．在第一象限内，幂函数图象随幂指数的变化存在怎样的规律？ [提示]　观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函数y＝xα的图象在第一象限内具有如下特征：直线y＝1，y＝x将直角坐标平面的第一象限在直线x＝1的右侧部分分为(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三个区域，如图所示，若α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图象经过区域(Ⅰ)；若α∈(0，1)⇔y＝xα的图象经过区域(Ⅱ)；若α∈ (－∞，0)⇔y＝xα的图象经过区域(Ⅲ)，并且在直线x＝1的 右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增， 即“指大图高”“指小图低”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．已知幂函数f (x)＝kxα的图象过点，则k＋α等于(　　) A． B．1　　　　 C．　　　　 D．2 课时分层作业(二十七)　幂函数 √ 33 C　[∵幂函数f (x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f ＝＝，即α＝，∴k＋α＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．幂函数的图象过点(3，)，则它的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) √ B　[设幂函数为f (x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3， )，所以 f (3)＝3α＝＝，解得α＝，所以f (x)＝，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 35 3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是(　　) A．1，3 B．－1，1 C．－1，3 D．－1，1，3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[当α＝－1时，y＝x-1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当α＝时，函数y＝的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 36 4．当0<x<1时，f (x)＝x2，g(x)＝，h(x)＝x-2的大小关系是(　　) A．h(x)<g(x)<f (x) B．h(x)<f (x)<g(x) C．g(x)<h(x)<f (x) D．f (x)<g(x)<h(x) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[特值法．取x＝代入排除A，B，C，可知D正确．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 37 5．函数f (x)＝＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是 (　　) A．f (a)＞f (b) B．f (a)＜f (b) C．f (a)＝f (b) D．以上都不对 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 38 A　[∵f (x)为幂函数， ∴∴ ∴f (x)＝， ∴f (x)在[0，＋∞)上单调递增，且a＞b＞0， ∴f (a)＞f (b)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 39 二、填空题 6．已知幂函数f (x)＝xα的图象经过点，则f (6)＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 36　[依题意3＝()α，所以α＝2， 所以f (x)＝x2，所以f (6)＝62＝36．] 36 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 40 7．若幂函数f (x)＝(m2－m－1)x2m-3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －1　[∵f (x)＝(m2－m－1)x2m-3为幂函数， ∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1． 当m＝2时，f (x)＝x，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m＝－1时，f (x)＝x-5，符合题意． 综上可知，m＝－1．] －1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 41 8．已知4.1α>4.3α，则α的取值范围是__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (－∞，0)　[因为0<4.1<4.3，而4.1α>4.3α，所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0．] (－∞，0) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 42 三、解答题 9．已知函数f (x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f (x)是：(1)正比例函数？(2)反比例函数？(3)幂函数？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)若函数f (x)为正比例函数，则 ∴m＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 43 (2)若函数f (x)为反比例函数，则 ∴m＝－1． (3)若函数f (x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 44 10．已知幂函数f (x)＝(m2－5m＋7)xm-1为偶函数． (1)求f (x)的解析式； (2)若g(x)＝f (x)－ax－3在[1，3]上不是单调函数，求实数a的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 45 [解]　(1)由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f (x)为偶函数，则m＝3， 所以f (x)＝x2． (2)g(x)＝x2－ax－3＝－3－在[1，3]上不单调， 则对称轴x＝满足1＜＜3， 即2＜a＜6． 所以实数a的取值范围为(2，6)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 46 11．(多选题)某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在区间(－∞，0)上单调递减．则以下幂函数符合这三个性质的有(　　) A．f (x)＝x2　　 B．f (x)＝x C．f (x)＝x-1 D．f (x)＝ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 47 CD　[A．f (x)＝x2，为偶函数，排除； B．f (x)＝x，值域为R，排除； C．f (x)＝x-1，为奇函数，值域为{y|y∈R，且y≠0}，在区间(－∞，0)上单调递减，满足； D．f (x)＝，为奇函数，值域为{y|y∈R，且y≠0}，在区间 (－∞，0)上单调递减，满足．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 12．(多选题)已知函数f (x)＝xα图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　) A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若x>1，则f (x)>1 D．若0<x1<x2，则<f 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 49 ACD　[将点(4，2)代入函数f (x)＝xα得：2＝4α，则α＝，所以f (x)＝． 显然f (x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A正确． f (x)的定义域为[0，＋∞)，所以f (x)不具有奇偶性，所以B不正确． 当x>1时，>1，即f (x)>1，所以C正确． 当0<x1<x2时，－＝－ ＝＝＝－<0， 即<f 成立，所以D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 13．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 9　[由题意，得2＝4α，解得α＝， 则y＝，由＝3，得x＝9，即明文是9．] 9 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 51 14．已知幂函数f (x)＝xα的图象过点，函数g(x)＝(x－2)f (x) ，则函数g(x)的最大值为________，最小值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －1　－3　[因为f (x)的图象过点，所以＝2α，所以α＝－1，所以f (x)＝x-1， 所以g(x)＝(x－2)·x-1＝＝1－． 又g(x)＝1－在上是增函数，所以g(x)最小值＝g＝－3，g(x)最大值＝g(1)＝－1．] －1 －3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 52 15．已知幂函数f (x)＝(p∈N)在(0，＋∞)上是增函数，且在定义域上是偶函数． (1)求p的值，并写出相应的函数f (x)的解析式； (2)对于(1)中求得的函数f (x)，设函数g(x)＝－qf (f (x))＋(2q－1)f (x)＋1，问：是否存在实数q(q<0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数，且在区间(－4，0)上是增函数？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1.3　幂函数 53 [解]　(1)因为f (x)在(0，＋∞)上是增函数，由幂函数的图象和性质知－p2＋p＋>0，解得－1<p<3．因为p∈N，所以p＝2，1，0． 当p＝0或2时，f (x)＝，不是偶函数；当p＝1时，f (x)＝x2，是偶函数．故p＝1，f (x)＝x2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 (2)g(x)＝－qx4＋(2q－1)x2＋1，令t＝x2，则h(t)＝－qt2＋(2q－1)t＋1(t≥0)．因为t＝x2在(－∞，0)上是减函数，所以当x∈(－∞，－4]时，t∈[16，＋∞)；当x∈(－4，0)时，t∈(0，16)．当h(t)在[16，＋∞)上是增函数，在(0，16)上是减函数时，g(x)在(－∞，－4]上是减函数，在(－4，0)上是增函数，此时二次函数h(t)的对称轴方程是t＝16，即t＝＝ 1－＝16，所以q＝－．故存在实数q＝－，使得g(x)在(－∞，－4]上是减函数，且在(－4，0)上是增函数． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 $