精品解析：湖南省郴州市永兴县树德初级中学2024-2025学年八年级上学期入学考试数学试题

永兴县树德中学2024年下期八年级入学考试试卷（数学） （总分：120分 时间：120分钟） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 以下因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法正确是（ ） A. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 7. 如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某班名男生引体向上成绩如表，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） 个数 人数 A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 图（1）是一个长为2a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ） A. ab B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算______． 12. 分解因式：__________． 13. 已知，用含代数式表示，则______． 14. 已知xy＝2，x﹣y＝﹣4，则x2+xy+y2＝_____． 15. 若方程组 的解满足，则等于____． 16. 折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间把一张长方形纸片沿折叠，，则______． 17. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 ______． 18. 把四张完全相同的长方形纸片（阴影）和两本完全相同的长方形课本（空白）按如图方式摆放．根据图中标注尺寸，可得长方形纸片的长与宽之差为____. 三、解答题（共8小题，第19-20题每小题6分，第21-24题每小题8分，第25题10分第26题12分，共66分） 19. 解方程组 （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上． （1）先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的； （2）把以点为中心，顺时针旋转，请在网格中画出旋转后的； 22. 为建设资源节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下(含80千瓦时，1千瓦时俗称1度)时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”． (1)小张家今年2月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时； (2)若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费． 23. 如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2． (1)求证：AB∥CD； (2)若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠1的度数． 24. 某校七、八年级开展了“国学朗诵”活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分） 均为不低于6的整数． 为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 七年级名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 人数 2 1 a b 3 已知七年级名学生活动成绩的中位数为分．请根据以上信息，完成下列问题： （1） ， ； （2）样本中， 八年级活动成绩的众数为 分； （3）若认定比赛成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 25. 数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． （1）观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间等量关系； （2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张． （3）根据题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 26. 如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． （1）求的度数； （2）如图②，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒； ①在旋转过程中，若边，求t的值； ②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 永兴县树德中学2024年下期八年级入学考试试卷（数学） （总分：120分 时间：120分钟） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入得方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， 把代入得，， 解得， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、完全平方公式、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、完全平方公式、合并同类项法则逐项判断即可得． 详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 以下因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】利用平方差公式，还可分解因式；利用十字相乘法，． 【详解】解：；故A不正确，不符合题意． ；故B正确，符合题意． ；故C，D不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键． 5. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式法分解因式，即可求解． 【详解】解：A、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意； B、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意； C、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意； D、能用完全平方公式因式分解，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了完全平方公式法分解因式，熟练掌握 是解题的关键． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、垂线的性质、垂线段最短等知识点，解题关键是熟悉相关的定义和判定方法．根据行线的性质、垂线的性质、垂线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A．根据同一平面内两条直线的位置关系可知，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的说法是正确的，选项A符合题意； B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项B符合题意； C．如果两个角相等，这两个角不一定是对顶角，本选项说法错误，选项C不符合题意； D．根据垂直的性质：从直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短，选项D符合题意； 故选：ABD． 7. 如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键．先利用判定，再利用对顶角的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 8. 某班名男生引体向上成绩如表，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） 个数 人数 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查求中位数和众数，掌握中位数和众数的定义，是解题的关键．根据中位数和众数的定义，即可求解． 【详解】解：∵引体向上做7个的人数最多， ∴众数为：7个， ∵第8个人的引体向上个数是10个， ∴中位数为：10个， 故选：C． 9. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 10. 图（1）是一个长为2a，宽为长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ） A. ab B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），故正方形的面积为（a+b）2． 又∵原矩形的面积为4ab， ∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2． 故选C． 【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，利用积的乘方的逆用进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式即可求解，熟练掌握因式分解的一般步骤是解题关键． 【详解】解： ． 13. 已知，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将看作已知数求出即可， 此题考查了，代入法解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出． 【详解】解： 故答案为：． 14. 已知xy＝2，x﹣y＝﹣4，则x2+xy+y2＝_____． 【答案】22 【解析】 【分析】根据完全平方公式的变形公式，直接代入求解即可． 【详解】解：∵xy＝2，x﹣y＝﹣4， ∴x2+xy+y2=（ x﹣y）2+3xy=（﹣4）2+3×2=22， 故答案是：22． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握完全平方公式的变形公式，是解题的关键 15. 若方程组 的解满足，则等于____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查已知二元一次方程组的情况求参数，所给两个方程作差可得，进而得到关于k的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 得：， ， ， 解得， 故答案为：5． 16. 折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间把一张长方形纸片沿折叠，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，由题意可知，再根据平角的定义即可求出的度数，掌握折叠的性质是解题关键． 【详解】解：由题意可知， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 ______． 【答案】51 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， ， ， ， 故答案为：51． 18. 把四张完全相同的长方形纸片（阴影）和两本完全相同的长方形课本（空白）按如图方式摆放．根据图中标注尺寸，可得长方形纸片的长与宽之差为____. 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，整式的加减，设小长方形的长为，宽为，根据题意列出方程，解方程即可得到结论，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：，即， 整理得：， 小长方形的长与宽的差是5， 故答案为：5． 三、解答题（共8小题，第19-20题每小题6分，第21-24题每小题8分，第25题10分第26题12分，共66分） 19. 解方程组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解决问题的关键． （1）利用代入消元法求出解即可； （2）先把方程组中的①化简，利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 将①代入②得， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 由①得③， 得，解得， 将代入②得，解得， 方程组的解为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】直接利用乘法公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入求出答案． 【详解】解： = = 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解答本题的关键． 21. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上． （1）先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的； （2）把以点为中心，顺时针旋转，请在网格中画出旋转后的； 【答案】（1）见解析： （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握平移作图、旋转作图，是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向右平移9个单位，再向下平移4个单位找出对应点、、即可； （2）分别将以为中心顺时针旋转找出对应线段、即可． 【小问1详解】 分别将点A、B、C向右平移9个单位，再向下平移4个单位得到对应点、、， 连接各点，得平移后的， 如图所示： 【小问2详解】 ①利用网格特点，分别将以为中心顺时针旋转找出对应线段、， 连接， 得旋转后的， 如图所示： 22. 为建设资源节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下(含80千瓦时，1千瓦时俗称1度)时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”． (1)小张家今年2月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时； (2)若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费． 【答案】（1）“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时；（2）98元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设“基本电价”为x元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，则根据2月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元，列方程组求解； （2）由（1）得出的“基本电价”和“提高电价”求出6月份应上缴的电费． 试题解析：解：（1）设“基本电价”为x 元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，根据题意，得： ，解之，得：． 答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时． （2）80×0.6+（130﹣80）×1=98（元）． 答：预计小张家6月份上缴的电费为98元． 点睛：此题考查的是二元一次方程组的应用，解题的关键是理解明确上缴电费的计算方法，列方程组求解． 23. 如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2． (1)求证：AB∥CD； (2)若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠1的度数． 【答案】(1)见解析；(2)56° 【解析】 【分析】（1）先证∠1=∠CGF即可，然后根据平行线的判定定理证明即可； （2）先根据平行线的性质、角平分线的性质以及垂直的性质得到∠1+∠4=90°，再求出∠4即可． 【详解】(1)证明：∵FG∥AE， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AB∥CD． (2)解：∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠D=180°， ∵∠D=112°， ∴∠ABD=180°﹣∠D=68°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠4=∠ABD=34°， ∵FG⊥BC， ∴∠1+∠4=90°， ∴∠1=90°﹣34°=56°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练应用相关性质和定理． 24. 某校七、八年级开展了“国学朗诵”活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分） 均为不低于6的整数． 为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 七年级名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 人数 2 1 a b 3 已知七年级名学生活动成绩的中位数为分．请根据以上信息，完成下列问题： （1） ， ； （2）样本中， 八年级活动成绩的众数为 分； （3）若认定比赛成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）优秀率高的年级，平均成绩低，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了统计表和扇形统计图，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据七年级 名学生活动成绩的中位数为分，即可求解； （2）由八年级名学生活动成绩的扇形统计图即可求解； （3）分别求出七八年级学生的优秀率和平均分即可； 【小问1详解】 解：由七年级名学生活动成绩统计表可知：或或或或， ∵七年级 名学生活动成绩的中位数为 分． ∴， 故答案：； 【小问2详解】 解：由八年级名学生活动成绩的扇形统计图可知：八年级活动成绩的众数为分， 故答案为：； 【小问3详解】 解：七年级学生的优秀率为：， 七年级学生的平均成绩为：分； 八年级学生的优秀率为：， 八年级学生成绩为分所占百分比为：， ∴八年级学生的平均成绩为：分； ∵ ∴优秀率高的年级是七年级，平均成绩低． 25. 数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． （1）观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张． （3）根据题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1） （2）3 （3）①的值为；② 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的意义和应用； （1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系； （2）计算的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张； （3）①根据题（1）公式计算即可；②令，从而得到，代入计算即可． 【小问1详解】 解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：； 因此有； 【小问2详解】 解：， 需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，，， ， ，即的值为； 令， . . . ， . . ， ， ， 解得． ． ． 26. 如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． （1）求的度数； （2）如图②，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒； ①在旋转过程中，若边，求t的值； ②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时t的值． 【答案】（1） （2）①3或21；②5或17或29 【解析】 【分析】（1）首先求出，根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质求出，继而可得结果； （2）①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于t的方程，解之即可；②表示出，，分三种情况，画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ①如图，， ， ， ， ， ． 如图，， ， ∵， ∴， 此时旋转了， ∴， ． 在旋转过程中，若边，的值为3或21． ②如图，延长，与交于H， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 如图，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得：； 如图，延长，与交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上：t的值为5或17或29． 【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$