精品解析：云南省昆明市第一中学2024-2025学年高三上学期第二次联考数学试题

昆明市第一中学2025届高三年级第二次联考 数学试卷 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华 张波 张兴虎 杨仕华 江明 孙思应 吕文芬 蔺书琴 崔锦 杨耕耘 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟， 注意事项： 1，答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效， 3，非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 4，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 设复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出复数z，再判断在复平面内所对应的点所在象限. 【详解】.则在复平面内所对应的点位于第二象限. 故选：B 2. 已知命题p：．若p是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是真命题列不等式，分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】若是假命题，则是真命题，即恒成立， 则，， 由于，当且仅当时等号成立， 所以. 故选：D． 3. 已知向量是单位向量，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对两边同时平方可得，结合数量积的运算律计算即可求解. 【详解】由，得， 所以， 所以. 故选：D 4. 从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本，将该样本进行某项质量指标值测量，下图是测量结果x的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则在下列选项中，关于该样本统计量的叙述不正确的选项是（ ） A. 指标值在区间的产品约有33件 B. 指标值的极差介于50与70之间 C. 指标值的第60百分位数大于205 D. 指标值的方差的估计值是150 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求各组的频率.对于A：根据频率即可求频数；对于B：根据极差的定义分析判断；对于C：根据百分位数的定义分析判断；对于D：以每组区间的中点值为参考，结合平均数、方差的计算公式运算即可. 【详解】由直方图可得出，从第一组至第七组的频率依次是， 对于选项A：指标值在区间的产品约有件，A选项正确； 对于选项B：指标值的最大极差为，最小极差为，B选项正确； 对于选项C：因为，， 所以指标值的第百分位数在内，小于，C选项不正确； 对于选项D：抽取的产品的质量指标值的样本平均数和样本方差的估计值分别为： ， ， D选项正确； 综合以上分析，该样本统计量的叙述不正确的选项是C． 故选：C. 5. 若直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断焦点所在位置，根据渐近线可得，进而可求离心率. 【详解】因为双曲线的焦点在y轴上，且直线即为， 由双曲线的渐近线方程是，所以，即， 所以离心率. 故选：D ． 6. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到在为增函数，，再根据当时，求解即可. 【详解】当时，， ， 所以在为增函数，. 当时，， 因为函数的值域为，所以. 故选：C 7. 如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用基底表示向量，再将异面直线所成的角，转化为向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以直线与所成角即为与所成的角，所以， 所以， 即，又因为， 所以，所以直线与所成角的余弦值为. 故选：B． 8. 已知正实数a，b，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数，用导数求单调性，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 因为函数满足， 所以在上单调递增， 由，则，即； 因为，，所以， 当且仅当时，取的最小值为， 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则是中的最小项 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式和等差数列的性质逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，得，所以A正确， 对于B，因为，所以，得，因为，所以，所以有可能大于零，也有可能小于零，所以与无法比较大小，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以，所以，所以，所以C正确， 对于D，因为，可得，因为，所以，，所以是中的最大项，所以D错误， 故选：AC 10. 已知点M是抛物线上的动点，当M运动到达点时，到焦点F的距离等于5，过动点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，过定点作与C有且仅有一个公共点的直线l，直线PF与C交于点A，B，则（ ） A. 抛物线C的方程为 B. 直线l的方程为或 C. D. 满足的点M有且仅有2个 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线定义求出，可判断A；注意到斜率不存在时也满足题意可判断B；利用焦点弦公式可判断C；由定义知，利用的垂直平分线与抛物线交点个数可判断D. 【详解】根据抛物线的定义，，即， 所以抛物线的方程为，选项A正确； 当直线的斜率不存在时，的方程为， 联立得直线与有且仅有一个公共点，满足题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为， 联立得， 由得或，此时直线的方程为或， 所以满足过定点且与有且仅有一个公共点的直线共有条， 直线的方程为或或，选项B错误； 抛物线的焦点，直线的方程为：， 与抛物线方程联立消去化简得：， 设，，则，， 所以，选项C正确； 由抛物线的定义知， 所以满足的点就是满足的点， 由和可得出线段的中垂线方程是， 联立 消去化简得方程：，由于，此方程有个不等根， 即线段的中垂线与抛物线有个公共点， 所以满足的点有且仅有个，选项D正确. 故选：ACD． 11. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 点是曲线的对称中心 B. 函数有三个零点 C. 函数只有一个极值点 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A根据是奇函数，图象关于点对称可判断；选项B根据导数求得单调性和极值可判断；选项C根据导数判断函数的单调性进而可得；选项D先构造函数利用单调性判断，进而利用的单调性可得. 【详解】选项A：因为是奇函数，图象关于点对称， 所以的图象关于点对称，A正确； 选项B：因为，由解得或，解得， 所以在区间单调递增，单调递减，单调递增， 且，，，所以有两个零点，B错误； 选项C：因为，所以在区间单调递减，单调递增， 即只有一个极值点，C正确； 设，， 由解得，解得， 所以在区间单调递减，单调递增， ，所以， 因为在区间单调递增，所以由， 得，D正确， 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 若数列满足，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】将数列通项分母有理化，运用裂项相消法求和即得. 【详解】因为， 所以 ． 故答案为：. 13. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】由得，即， 所以，解得或， 因为，所以. 故答案为：. 14. 如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有______种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有________种最短路径的走法． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道．因此只需从条街道里面选择条街道向右走和条街道向上走即可；同理先求出从处出发选择最短路径前往处的种数，再求从处出发选择最短路径前往处的种数，根据分布乘法计数原理求解即可. 【详解】小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道． 所以从处出发选择最短路径到达处一共有种走法； 同理，从处到达处有种走法，从处到达处有种走法， 所以根据分步乘法计数原理，小张每天早上上班途经街道处的最短路径走法有种． 故答案为：210，90 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 已知函数在区间上的最大值为． （1）求常数a的值； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，根据在区间上的最大值求得. （2）利用整体代入法求得的单调递增区间. 【小问1详解】 ， 因为，所以，所以最大值为， 由得． 【小问2详解】 由，，得，， 即，， 所以函数的单调递增区间为． 16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，M，N分别是PC，AD的中点，平面ABCD，且． （1）求证：平面BMN； （2）求二面角C﹣BM﹣N的正弦值． 【答案】（1） 连接，设交于点，连接， 由 ，得， 又，所以， 所以是的中点，又是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设交于点，连接，由已知，可得，得是的中点，可得，即可证得平面； （2）以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用坐标运算求得平面和平面的一个法向量，由公式即可求得二面角C﹣BM﹣N的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABCD，， 因为平面ABCD，则， 由（1）知，， 以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系， 由题知，，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取， 设平面的一个法向量为，所以， 所以，可取， 设二面角的平面角为，又， 所以， 所以二面角的正弦值为． 17. 已知点P在椭圆上，过点P作直线l与椭圆C交于点Q，过点P作关于坐标原点O的对称点，的最小值为，当直线l的斜率为0时，存在第一象限内的一点P使得． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l的斜率为k（k≠0），直线的斜率为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，点坐标为，进而计算可求椭圆的方程； （2）设点，，，由题可得，计算可得结论. 【小问1详解】 因为的最小值为，所以，所以， 当直线的斜率为零时，点与点关于轴对称，又点与点关于点对称， 由椭圆的对称性可知，此时点与点关于轴对称，则， 由几何关系可解得点坐标为， 代入椭圆的方程：得：，解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 设点，，， 因为点和均在上，故，由得：， 即，又， 即. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求零点的个数． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）利用导数判断出函数的单调性，再构造函数利用导数判断的符号，根据零点存在性定理得解. 【小问1详解】 因为，， 所以，，， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 ，当，，， 所以，即在上单调递减， 令，， 当时，，在上单调递减，即在上单调递减； 又因为，当时，即在单调递增， 因此在单调递增，在单调递减． 当时，，；，因为在单调递增， 所以根据零点存在定理，在有唯一零点； 令，， 当时，，单调递增，且， 当时，，单调递减； 所以，即， 所以， 所以， 又因为在单调递减，根据零点存在定理在有唯一零点． 综上，在上有2个零点． 【点睛】关键点点睛：利用导数确定函数的单调性后，需要根据零点存在性定理确定零点个数，本题关键需要分析时，的极限，以及的符号，其中的符号需要构造函数，利用导数判断函数的单调性及最值确定，技巧性较强. 19. 学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛. 个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理和与其相关的数学家，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功. 团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛： 方式一：将班级选派的个人平均分成组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这个小组都闯关成功，则该班级挑战成功. 方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组人，电脑随机分配给同组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功. （1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率. （2）甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且配对正确与，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率. （3）在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由. 【答案】（1） （2） （3）选择方式一参赛，理由如下： 设选择方式一､二的班级团队挑战成功的概率分别为. 当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为，则两人中至少有一人回答正确的概率为，所以， 当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为，则一个小组闯关不成功的概率为， 所以，所以 ， 构造，则 ，因为，则， ，可得，所以，即，所以单调递增， 又因为，且，所以， 从而，即，所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛. 【解析】 【分析】（1）由独立事件的概率乘法公式和古典概型概率公式计算即得； （2）分甲同学答对四道、五道、六道题，分析判断题和连线题答对题的数量，结合独立事件的概率乘法公式即可求得； （3）分别计算方式一和方式二的班级团队挑战成功的概率,再通过作差比较，构造函数利用函数单调性判断差值大小即得结论. 【小问1详解】 记事件为恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题， ; 【小问2详解】 记事件：甲同学挑战成功，则事件包含以下几种情况： ①事件“共答对四道”，即答对余下的判断题，答错两道连线题，则， ②事件“共答对五道”，即答错余下的判断题，答对余下的三道连线题，则， ③事件“共答对六道”，即答对余下的四道问题，， 所以； 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题主要考查独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式的应用，属于较难题. 解题思路在于分析题意，将所求转化为事件间的关系，考查任务包含的各类情况，分别分析计算，对于概率比较大小的题型，一般考虑作差或作商，借助于构造函数的单调性进行比较. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第一中学2025届高三年级第二次联考 数学试卷 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华 张波 张兴虎 杨仕华 江明 孙思应 吕文芬 蔺书琴 崔锦 杨耕耘 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟， 注意事项： 1，答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效， 3，非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 4，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 设复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知命题p：．若p是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量是单位向量，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 4. 从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本，将该样本进行某项质量指标值测量，下图是测量结果x的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则在下列选项中，关于该样本统计量的叙述不正确的选项是（ ） A. 指标值在区间的产品约有33件 B. 指标值的极差介于50与70之间 C. 指标值的第60百分位数大于205 D. 指标值的方差的估计值是150 5. 若直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知正实数a，b，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则是中的最小项 10. 已知点M是抛物线上的动点，当M运动到达点时，到焦点F的距离等于5，过动点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，过定点作与C有且仅有一个公共点的直线l，直线PF与C交于点A，B，则（ ） A. 抛物线C的方程为 B. 直线l的方程为或 C. D. 满足的点M有且仅有2个 11. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 点是曲线的对称中心 B. 函数有三个零点 C. 函数只有一个极值点 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 若数列满足，则______． 13. 若，则_______． 14. 如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有______种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有________种最短路径的走法． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 已知函数在区间上的最大值为． （1）求常数a的值； （2）求函数的单调递增区间. 16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，M，N分别是PC，AD的中点，平面ABCD，且． （1）求证：平面BMN； （2）求二面角C﹣BM﹣N的正弦值． 17. 已知点P在椭圆上，过点P作直线l与椭圆C交于点Q，过点P作关于坐标原点O的对称点，的最小值为，当直线l的斜率为0时，存在第一象限内的一点P使得． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l的斜率为k（k≠0），直线的斜率为，求的值． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求零点的个数． 19. 学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛. 个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理和与其相关的数学家，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功. 团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛： 方式一：将班级选派的个人平均分成组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这个小组都闯关成功，则该班级挑战成功. 方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组人，电脑随机分配给同组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功. （1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率. （2）甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且配对正确与，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率. （3）在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $