串讲02 整式的乘除（考点串讲，5个常考点+7种重难点题型+4个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版2024）

串讲02 整式的乘除 七年级沪教版（2024）数学上册期中考点大串讲 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理，也可用思维导图 七大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 四大易错易混经典例题 精选6道期中真题对应考点练 考点透视 1 考点1 幂的运算 例1. 计算－10，以下结果正确的是(　A　) A. －10＝－1 B. －10＝0 C. －10＝1 D. －10无意义 A 考点透视 【变式1-1】[2024保定高碑店模拟]计算( m3)2· m4的过程如下： ①( m3)2· m4＝ m6· m4，② m6· m4＝ m10.步骤①，②分别表示的运算是(　A　) A. 幂的乘方，同底数幂相乘 B. 积的乘方，同底数幂相乘 C. 幂的乘方，乘法结合律 D. 乘法交换律，合并同类项 A 【变式1-2】 下列计算正确的是(　D　) A. ( a2 b )2＝ a2 b2 B. a6÷ a2＝ a3 C. (3 xy2)2＝6 x2 y4 D. (－ m )7÷(－ m )2＝－ m5 D 考点2 幂的运算的逆向运用 例2. 若 x ＋2 y －4＝0，则4 y ·2 x－2的值为(　A　) A. 4 B. －4 C. 6 D. 8 A 【变式2-1】 已知 a ＝3231， b ＝1641， c ＝821，则 a ， b ， c 的大小关系是(　D　) A. a ＞ b ＞ c B. a ＞ c ＞ b C. c ＞ b ＞ a D. b ＞ a ＞ c ∵ a ＝3231＝(25)31＝2155， b ＝1641＝(24)41＝2164， c ＝821＝(23)21＝263，263＜2155＜2164，∴ c ＜ a ＜ b .故选D. D 【解题技巧】 解答本题需要把 a ， b ， c 化成以2为底数的幂的形式，再进行大小比较. 【变式2-2】已知 a ， b ， c 为正整数，且满足2 a ×3 b ×4 c ＝384，则 a ＋ b ＋ c 的值不可能是(　D　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 D 【解题技巧】根据题意得2 a＋2 c ×3 b ＝27×3，∴ a ＋2 c ＝7， b ＝1.∵ a ， b ， c 为正整数，∴当 c ＝1时， a ＝5； 当 c ＝2时， a ＝3；当 c ＝3时， a ＝1.∴ a ＋ b ＋ c 的值不可能 为8. 考点3 整式的乘法 例3. [2024梧州月考]计算(－ m )·( m2－ mn )的结果，正确的是(　D　) A. m2＋ mn B. m3＋ m2 n C. m2－ mn2 D. － m3＋ m2 n D 【变式3-1】 [2024长沙雨花区月考]已知(2 x ＋1)( x －3)＝2 x2＋ px ＋ q ，则 p ， q 的值分别为(　D　) A. 5，3 B. 5，－3 C. －5，3 D. －5，－3 D 【解题技巧】(2 x ＋1)( x －3)＝2 x2－6 x ＋ x －3＝2 x2－5 x －3. ∵(2 x ＋1)( x －3)＝2 x2＋ px ＋ q ，∴ p ＝－5， q ＝－3，故选D. 【变式3-2】 [2023北京大兴区期末]若 x ＋ m 与 x2＋2 x －1的乘积中不含 x 的二次项，则实数 m 的值为 ⁠. 【解题技巧】( x ＋ m )( x2＋2 x －1)＝ x3＋2 x2－ x ＋ mx2＋2 mx － m ＝ x3＋(2＋ m ) x2－(1－2 m ) x － m .∵ x ＋ m 与 x2＋2 x －1的乘积中不 含 x 的二次项，∴2＋ m ＝0，解得 m ＝－2. －2　 【变式3-3】小刚同学计算一道整式乘法：(3 x ＋ a )·(2 x ＋3)，由于他抄错了多项式中 a 前面的符号，把“＋”写成“－”，得到的结果为6 x2＋ bx －6，则 a ＋ b ＝ ⁠. 7　 【解题技巧】由题意得(3 x － a )(2 x ＋3)＝6 x2＋ bx －6，∴6 x2－2 ax ＋9 x －3 a ＝6 x2＋ bx －6.∴6 x2＋(9－2 a ) x －3 a ＝6 x2＋ bx －6.∴－3 a ＝－6，9－2 a ＝ b . ∴ a ＝2， b ＝5. ∴ a ＋ b ＝7. 考点4 整式的除法 例4. [2024揭阳揭东区一模]计算－( a － b )3÷2( b － a )2的结果是(　A　) A. － ( a － b ) B. 2( a － b ) C. －2( a － b ) D. ( a － b ) 【解题技巧】－( a － b )3÷2( b － a )2＝－( a － b )3÷2( a － b )2 ＝－ ( a － b )，故选A. A 【变式4-1】. [2024达州月考]已知 A ＝2 x ， B 是多项式，在计算 B ＋ A 时，小 马虎同学把 B ＋ A 看成了 B ÷ A ，结果得 x2＋ x ，则 B ＋ A＝ ⁠. 【解题技巧】由题意得 B ÷ A ＝ x2＋ x ， ∴ B ＝2 x ( x2＋ x )＝2 x3＋2 x2.∴ B ＋ A ＝2 x3＋2 x2＋2 x . 2 x3＋2 x2＋2 x 　 【变式4-2】. 化简求值：[( x － y )2－ x (3 x －2 y )＋( x ＋ y )( x － y )]÷2 x ，其 中 x ＝1， y ＝－2. 【解】原式＝( x2－2 xy ＋ y2－3 x2＋2 xy ＋ x2－ y2)÷2 x ＝(－ x2)÷2 x ＝－ x . 当 x ＝1时，原式＝－ . 考点5 乘法公式 例5. 下列各式中，与(1－ a )(－ a －1)相等的是(　A　) A. a2－1 B. a2－2 a ＋1 C. a2－2 a －1 D. a2＋1 A 【变式5-1】已知 m ＋ n ＝5， mn ＝3，则 m2－ mn ＋ n2的值为(　A　) A. 16 B. 22 C. 28 D. 36 A 【变式5-2】先化简，再求值：(2 x ＋ y )2－(2 x ＋ y )(2 x － y )－2 y ( x ＋ y )，其中 x ＝ ， y ＝22 024. 【解】(2 x ＋ y )2－(2 x ＋ y )(2 x － y )－2 y ( x ＋ y )＝4 x2＋ 4 xy ＋ y2－(4 x2－ y2)－2 xy －2 y2＝4 x2＋4 xy ＋ y2－4 x2＋ y2－2 xy －2 y2＝2 xy . 当 x ＝ ， y ＝22 024时， 原式＝2× ×22 024＝1. 类型1 “数形结合”问题 1. 阅读材料：若 x2－2 xy ＋2 y2－8 y ＋16＝0，求 x ， y 的值. 解：∵ x2－2 xy ＋2 y2－8 y ＋16＝0，∴( x2－2 xy ＋ y2)＋( y2－8 y ＋16)＝0. ∴( x － y )2＋( y －4)2＝0.∴( x － y )2＝0，( y －4)2＝0.∴ y ＝4， x ＝4. 根据你的观察，探究下列问题： 题型剖析 已知△ ABC 的三边长 a ， b ， c 都是正整数，且满足 a2＋ b2－4 a －6 b ＋13＝0，求 c 的值. 【解】∵ a2＋ b2－4 a －6 b ＋13＝0，∴( a2－4 a ＋4)＋( b2－6 b ＋9)＝0. ∴( a －2)2＋( b －3)2＝0.∴ a －2＝0， b －3＝0. ∴ a ＝2， b ＝3.∴1＜ c ＜5.∵ c 为正整数，∴ c ＝2或3或4. 2. 数学课上，老师用如图①中的1张边长为 a 的正方形纸片 A ，1张边长为 b 的正方形纸片 B 和2张宽与长分别为 a 与 b 的长方形纸片 C ，拼成了如图②所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： (1)由图①和图②可以得到的等式为 ⁠ (用含 a ， b 的等式表示)； ( a ＋ b )2＝ a2＋2 ab＋ b2 (2)莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为(2 a ＋ b )( a ＋2 b )的大长方形，求需 A ， B ， C 三种纸片各多少张； 【解】(2 a ＋ b )( a ＋2 b )＝2 a2＋4 ab ＋ ab ＋2 b2＝2 a2＋5 ab ＋2 b2. ∴需纸片 A 2张，纸片 B 2张，纸片 C 5张. (3)如图③， S1， S2分别表示边长为 p ， q 的正方形的面积，且 A ， B ， C 三点在一条直线上， S1＋ S2＝20， p ＋ q ＝6，求图中阴影部分的面积. 【解】由题意得 p2＋ q2＝20， p ＋ q ＝6.∵( p ＋ q )2＝ p2＋ q2＋2 pq ＝62，∴2 pq ＝62－20＝16. ∴ pq ＝8.∴ S阴影＝ pq ×2＝ pq ＝8. 类型2 “将错就错”问题 3. 甲、乙两人共同计算一道整式：( x ＋ a )(2 x ＋ b )，由于甲抄错了 a 的符号，得到的结果是 2 x2－7 x ＋3，乙漏抄了第二个多项式中 x 的系数，得到的结果是 x2＋2 x －3. (1)求(－2 a ＋ b )( a ＋ b )的值； 【解】甲抄错了 a 的符号得到的计算结果为 ( x － a )·(2 x＋ b )＝2 x2＋(－2 a ＋ b ) x － ab ＝2 x2－7 x ＋3. ∴－2 a ＋ b ＝－7， ab ＝－3. 乙漏抄了第二个多项式中 x 的系数得到的计算结果为 ( x ＋ a )·( x ＋ b )＝ x2＋( a ＋ b ) x ＋ ab ＝ x2＋2 x －3. ∴ a ＋ b ＝2， ab ＝－3. ∴解得 ∴(－2 a ＋ b )( a ＋ b )＝[(－2)×3－1](3－1)＝－7×2＝－14. (2)若整式中的 a 的符号不抄错，且 a ＝3，请计算这道题的正确结果. 【解】由(1)可知 b ＝－1.∴正确的计算结果为( x ＋3)(2x －1)＝2 x2＋5 x －3. 4. [2024长春宽城区模拟]两名同学将一个关于 x 的二次三项式 ax2＋ bx ＋ c 分解因式时，其中一名同学因看错了一次项系数而分解成2( x －1)( x －9)，另一名同学因看错了常数项而分解成2( x －2)( x －4). (1)求原来的二次三项式； 【解】∵2( x －1)( x －9)＝2 x2－20 x ＋18， 2( x －2)( x －4)＝2 x2－12 x ＋16， ∴原来的二次三项式为2 x2－12 x ＋18. (2)将原来的二次三项式分解因式. 【解】2 x2－12 x ＋18＝2( x2－6 x ＋9)＝2( x －3)2. 类型3 “无关求值”问题 5. 已知将( x3＋ mx ＋ n )( x2－3 x ＋4)展开的结果不含 x3和 x2 项.( m ， n 为常数) (1)求 m ， n 的值； 【解】( x3＋ mx ＋ n )( x2－3 x ＋4) ＝ x5－3 x4＋4 x3＋ mx3－3 mx2＋4 mx ＋ nx2－3 nx ＋4 n ＝ x5－3 x4＋(4＋m ) x3＋( n －3 m ) x2＋(4 m －3 n ) x ＋4 n . 由题意得解得 (2)在(1)的条件下，求( m ＋ n )( m2－ mn ＋ n2)的值. 【解】( m ＋ n )( m2－ mn ＋ n2)＝ m3＋ n3. 当 m ＝－4， n ＝－12时，原式＝(－4)3＋(－12)3＝－64－1 728＝－1 792. 6. 已知代数式 A ＝2 x2＋5 xy －7 y －3， B ＝ x2－ xy ＋2. (1)求3 A －(2 A ＋3 B )的值； 【解】∵ A ＝2 x2＋5 xy －7 y －3， B ＝ x2－ xy ＋2， ∴3 A －(2 A ＋3 B )＝3 A －2 A －3 B ＝ A －3 B ＝(2 x2＋5 xy －7 y －3)－3( x2－ xy ＋2) ＝2 x2＋5 xy －7 y －3－3 x2＋3 xy －6 ＝－ x2＋8 xy －7 y －9. (2)若 A －2 B 的值与 x 的取值无关，求 y 的值. 【解】∵ A ＝2 x2＋5 xy －7 y －3， B ＝ x2－ xy ＋2， ∴ A －2 B ＝(2 x2＋5 xy －7 y －3)－2( x2－ xy ＋2) ＝2 x2＋5 xy －7 y －3－2 x2＋2 xy －4 ＝7 xy －7 y －7. ∵ A －2 B 的值与 x 的取值无关，∴7 y ＝0.∴ y ＝0. 类型4 “论证说理”问题 7. [2024厦门思明区月考]认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题. ①32－12＝8＝8×1， ②52－32＝16＝8×2， ③72－52＝24＝8×3，④92－72＝32＝8×4， … (1)请写出算式⑤： ⁠， 算式⑥： ⁠； 112－92＝40＝8×5　 132－112＝48＝8×6　 (2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，请说明这个规律是成立的； 【解】两个连续奇数的平方差可表示为(2 n ＋3)2－(2 n＋1)2. ∴(2 n ＋3)2－(2 n ＋1)2＝(2 n ＋3－2 n －1)(2 n ＋3＋2 n ＋1) ＝2(4 n ＋4)＝8( n ＋1). ∴“两个连续奇数的平方差能被8整除”这个规律是成立的. (3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由. 【解】这个说法不成立，理由：两个连续偶数的平方差可表示为(2 n ＋2)2－(2 n )2. ∴(2 n ＋2)2－(2 n )2＝(2 n ＋2＋2 n )(2 n ＋2－2 n )＝(4 n ＋2)×2＝4(2 n ＋1). ∴两个连续偶数的平方差能被4整除，但不一定能被8整除.∴“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是不成立的. 8. 观察下列各式： 4×1×2＋1＝(1＋2)2； 4×2×3＋1＝(2＋3)2； 4×3×4＋1＝(3＋4)2； … (1)根据你发现的规律，写出4×2 024×2 025＋1可以是哪个数的平方？ 【解】4×2 024×2 025＋1＝(2 024＋2 025)2＝4 0492， 即4×2 024×2 025＋1可以是4 049的平方. (2)试猜想第 n 个等式，并通过计算验证它是否成立. 【解】猜想第 n 个等式为4 n ( n ＋1)＋1＝(2 n ＋1)2. ∵4 n ( n ＋1)＋1＝4 n2＋4 n ＋1＝(2 n ＋1)2， ∴猜想的等式是成立的. 类型5 分类讨论思想 9. [2024杭州滨江区模拟]若 x2－4 xy － y2＝0( y ＞0)，则 ＝ ⁠. 2＋ 或2－ 　 类型6 数形结合思想 10. [2023北京石景山区期末]著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”.如图是由四个长为 a ，宽为 b 的长方形拼成的正方形，其中 a ＞ b ＞0.根据图形写出一个正确的等式，可以表示为 ⁠ ⁠. ( a ＋ b )2－4 ab ＝( a －b )2(答案不唯一)　 类型7 整体思想 11. [2024北京海淀区一模]已知2 x2＋ x －1＝0，求代数式(2 x＋1)2－2( x －3)的值. 【解】(2 x ＋1)2－2( x －3)＝4 x2＋4 x ＋1－2 x ＋6 ＝4 x2＋2 x ＋7. ∵2 x2＋ x －1＝0，∴2 x2＋ x ＝1. ∴4 x2＋2 x ＝2(2 x2＋ x )＝2. ∴原式＝2＋7＝9. 易错易混 易错点一：忽略指数为1的幂或弄错符号导致错误 易错点二：把底数互为相反数的幂化为同底数幂时出错 易错点三：计算多项式的乘法时漏乘 易错点四：进行乘除运算时弄错运算顺序 押题预测 1. （2023秋•普陀区校级期中） 的计算结果是( ____ ) A.-1 B. C.1 D. D 【解析】解： = =( )2022×(- ) =(-1)2022×(- ) =1×(- ) =- ． 故选：D． 2. （2023秋•奉贤区期中）计算：-3x(x2-x-2)=　　． 【解析】解：-3x(x2-x-2) =-3x•x2-(-3x)•x-(-3x)×2 =-3x3+3x2+6x. 故答案为：-3x3+3x2+6x. 3. （2023秋•松江区校级期中）计算：(x-5y)(2x+y)=　　． 【解析】解：(x-5y)(2x+y) =2x2+xy-10xy-5y2 =2x2-9xy-5y2． 故答案为：2x2-9xy-5y2． 30 4. （2023秋•闵行区期中）用乘法公式计算：(a-2b+3c)(a+2b-3c) 【解析】解：(a-2b+3c)(a+2b-3c) =[a-(2b-3c)][(a+(2b-3c)] =a2-(2b-3c)2 =a2-4b2+12bc-9c2． 5. （2023秋•浦东新区校级期中） 先化简，再求值：[(x+y)2-(x+y)(x-y)-2y(2y-x)]÷(- y)，其中x=- ，y=-2． 【解析】解：[(x+y)2-(x+y)(x-y)-2y(2y-x)]÷(- y) =(x2+2xy+y2-x2+y2-4y2+2xy)÷(- y) =(-2y2+4xy)÷(- y)=4y-8x, 当x=- ，y=-2时，原式=4×(-2)-8×(- ) =-8+4=-4． 31 6. （2023秋•青浦区校级期中） 阅读理解：若x满足(80-x)(x-60)=30，求(80-x)2+(x-60)2的值． 解：设(80-x)=a,(x-60)=b,则(80-x)(x-60)=ab=30，a+b=(80-x)+(x-60)=20， 所以(80-x)2+(x-60)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2×30=340． 解决问题 (1)若x满足(30-x)(x-20)=-10，求(30-x)2+(x-20)2的值； (2)若x满足(2019-x)2+(2017-x)2=4042，求(2019-x)(2017-x)的值； (3)如图，正方形ABCD的边长为x,AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积(结果必须是一个具体的数值)． 32 【解析】解：(1)设(30-x)=a,(x-20)=b, 则(30-x)(x-20)=ab=-10，a+b=(30-x)+(x-20)=10， 所以(30-x)2+(x-20)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=102+2×10=120； (2)设(2019-x)=a,(2017-x)=b,则a-b=(2019-x)-(2017-x)=2， 因为(2019-x)2+(2017-x)2=4042， 所以(2019-x)2+(2017-x)2=a2+b2=(a-b)2+2ab=4042， 即22+2×(2019-x)(2017-x)=4042，(2019-x)(2017-x)=2019； (3)根据题意可知，ED=AD-AE=x-1，DG=DC-CG=x-2， 因为长方形EFGD的面积是5，所以(x-1)(x-2)=5， 设x-1=a,x-2=b,则a-b=(x-1)-(x-2)=1，ab=5， 所以a2+b2=(a-b)2+2ab=1+2×5=11， 因为四边形NGDH和MEDQ都是正方形， 所以阴影部分的面积为：ED2+ED•DG+DG2+DH•QD =(x-1)2+(x-1)(x-2)+(x-2)2+(x-1)(x-2)=a2+ab+b2+ab=11+10=21． 33 $$