第二十四章 圆（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第二十四章 圆（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列说法中正确的个数有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径一定垂直于弦； ③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴； ④直径是弦； ⑤长度相等的弧是等弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（本题3分）如图，中，是切线，切点是，直线交于、，，则的度数是（　 　）    A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，圆锥的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆锥的高为（    ） A．3 B．4 C．5 D．15 4．（本题3分）如图，四边形内接于，为直径，，连接，若，则的度数为（    ） A．50° B．65° C．75° D．130° 5．（本题3分）如图，是等边的外接圆，点是弧上的点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　） A．2cm B．4 cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 7．（本题3分）如图，在中，，，则的度数等于（ ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，经过A，D两点的⊙O与边BC相切于点E，则⊙O的半径为（　　）    A．4 B． C．5 D． 9．（本题3分）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（   ） A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2 10．（本题3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为(   ) A．3 B．1+ C．1+3 D．1+ 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）用一个圆心角为216°、半径为15cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 cm． 12．（本题3分）如图，为的外接圆的直径，，则 ． 13．（本题3分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=8，EM=8，则⊙O的半径为 ． 14．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是 15．（本题3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠B=60°，AB=1，扇形AEF的半径为1，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 ． 16．（本题3分）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝1时，r2024＝ ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证：AC平分∠BAE． 18．（本题4分）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径． 求证：BD=CD． 19．（本题6分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM． （1）求证：BM=CM； （2）当⊙O的半径为2时，求∠BOM的度数． 20．（本题6分）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF=∠CDB． （1）求证：FB为⊙O的切线； （2）若AB=8，CE=2，求⊙O的半径． 21．（本题8分）如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD； （2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为 　 　；点（6，﹣2）在⊙D　 　（填“上”、“内”、“外”）；∠ADC的度数为 　 　． 22．（本题10分）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，的延长线于的切线交于点． （1）求证：； （2）若，：：，求的长． 23．（本题10分）如图，已知的直径是的弦，过点作的切线交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)已知，点在上从点开始按逆时针方向运动到点停止（点不与点重合），当与的面积相等时，求点所经过的弧长． 24．（本题12分）如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC． （1）求证：GP＝GD； （2）求证：P是线段AQ的中点； （3）连接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径和CE的长． 25．（本题12分）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． (1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值； (3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列说法中正确的个数有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径一定垂直于弦； ③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴； ④直径是弦； ⑤长度相等的弧是等弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆的性质、直径的性质、等弧的定义一一判断即可. 【详解】解：①相等的圆心角所对的弧相等；错误．必须在同圆或等圆中； ②平分弦的直径一定垂直于弦；错误，此弦不是直径； ③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；错误，应该是每一条直径所在的直线都是对称轴； ④直径是弦；正确； ⑤长度相等的弧是等弧．错误．能够完全重合的两条弧是等弧； 故选A． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆的性质、直径的性质、等弧的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（本题3分）如图，中，是切线，切点是，直线交于、，，则的度数是（　 　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质和圆周角定理，连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，计算即可． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， 故选：．    3．（本题3分）如图，圆锥的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆锥的高为（    ） A．3 B．4 C．5 D．15 【答案】B 【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•3•l=15π，然后求出l后利用勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥的母线长为l， 根据题意得•2π•3•l=15π，解得l=5， 所以圆锥的高==4． 故选B． 【点睛】此题考查圆锥的计算，解题关键在于掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 4．（本题3分）如图，四边形内接于，为直径，，连接，若，则的度数为（    ） A．50° B．65° C．75° D．130° 【答案】B 【分析】根据可得∠DAC=∠CAB=25°，根据AB是直径可得∠ACB=90°，利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴∠DAC=∠CAB=25°， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠B=90°-25°=65°， 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 5．（本题3分）如图，是等边的外接圆，点是弧上的点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，根据圆周角定理得到∠BCD=∠BAD=40°，进而可求出∠ACD的度数． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°， ∵∠CAD=20°， ∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=40°， ∵， ∴∠BCD=∠BAD=40°， ∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=100°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心、圆周角定理、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和圆周角定理是解决问题的关键． 6．（本题3分）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　） A．2cm B．4 cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 【答案】C 【详解】连接AC，AO，    ∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm， ∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm， 当C点位置如图1所示时， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM==3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC=cm； 当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5−3=2cm， 在Rt△AMC中,AC=cm. 故选：C. 7．（本题3分）如图，在中，，，则的度数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在⊙O中，OD⊥BC，根据垂径定理的即可求得：，，然后利用圆周角定理求解即可求得答案． 【详解】解：∵OD⊥BC， ∴， ∴∠CAD=∠COD =∠BOD=×60°=30°． 故选D． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 8．（本题3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，经过A，D两点的⊙O与边BC相切于点E，则⊙O的半径为（　　）    A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】连结EO并延长交AD于F，连接AO，由切线的性质得OE⊥BC，再利用平行线的性质得到OF⊥AD，则根据垂径定理得到AF=DF=AD=6，由题意可证四边形ABEF为矩形，则EF=AB=8，设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=8-r，然后在Rt△AOF中利用勾股定理得到（8-r）2+62=r2，再解方程求出r即可． 【详解】如图，连结EO并延长交AD于F，连接AO，    ∵⊙O与BC边相切于点E， ∴OE⊥BC， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC∥AD， ∴OF⊥AD， ∴AF=DF=AD=6， ∵∠B=∠DAB=90°，OE⊥BC， ∴四边形ABEF为矩形， ∴EF=AB=8， 设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=8-r， 在Rt△AOF中，∵OF2+AF2=OA2， ∴（8-r）2+62=r2， 解得r=， 故选D． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和矩形的性质．解决本题的关键是构建直角三角形，利用勾股定理建立关于半径的方程． 9．（本题3分）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（   ） A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2 【答案】D 【详解】如图．小羊的活动范围是：S=π（m2）. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了扇形面积的实际应用，画出符合条件的图形是解决本题的关键. 10．（本题3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为(   ) A．3 B．1+ C．1+3 D．1+ 【答案】D 【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题. 【详解】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H． ∵AQ=QP， ∴OQ⊥PA， ∴∠AQO=90°， ∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK， 当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大， 在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2， ∴OH= OC=1，CH=， 在Rt△CKH中，CK= =， ∴CQ的最大值为1+， 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）用一个圆心角为216°、半径为15cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 cm． 【答案】9 【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，然后解关于r的方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为r， 根据题意得2πr=， 解得r=9（cm）． 故答案为9． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 12．（本题3分）如图，为的外接圆的直径，，则 ． 【答案】35 【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 为的外接圆的直径， ， ， ， 由圆周角定理得，， 故答案为：35． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及直径所对的圆周角是直角，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 13．（本题3分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=8，EM=8，则⊙O的半径为 ． 【答案】5 【分析】根据垂径定理得EM⊥CD，则CM=DM=4，在Rt△COM中，由勾股定理得OC2=CM2+OM2，进而可求得半径OC即可． 【详解】解：连接OC，如图所示： ∵M是⊙O弦CD的中点，CD=8， ∴EM⊥CD，CM=DM=CD=4， 设⊙O的半径为x ， 在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2=CM2+OM2， 即：x2=42+(8-x)2， 解得：x=5， 即⊙O的半径为5， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 14．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是 【答案】D（，1） 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2，所以A（−2，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标． 【详解】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形， ∴∠ABO＋∠ACO＝180°， ∴∠ABO＝180°−120°＝60°， ∵∠AOB＝90°， ∴AB为⊙D的直径， ∴D点为AB的中点， 在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°， ∴OB＝AB＝2， ∴OA＝OB＝2， ∴A（−2，0），B（0，2）， ∴D点坐标为（−，1）． 故答案为（−，1）． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质． 15．（本题3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠B=60°，AB=1，扇形AEF的半径为1，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出△ADC和△ABC是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ADH≌△ACG，得出四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，进而求出即可． 【详解】连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B=∠D=60°，AB=AD=DC=BC=1， ∴∠BCD=∠DAB=120°， ∴∠1=∠2=60°， ∴△ABC、△ADC都是等边三角形， ∴AC=AD=1， ∵AB=1， ∴△ADC的高为，AC=1， ∵扇形BEF的半径为1，圆心角为60°， ∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°， ∴∠3=∠4， 设AF、DC相交于HG，设BC、AE相交于点G， 在△ADH和△ACG中， ， ∴△ADH≌△ACG(ASA)， ∴四边形AGCH的面积等于△ADC的面积， ∴图中阴影部分的面积是：S扇形AEF﹣S△ACD==， 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD的面积等于△ABD的面积是解题关键． 16．（本题3分）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝1时，r2024＝ ． 【答案】32023 【详解】分别作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如图， ∵半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线L相切， ∴O1A=r1，O2B=r2，O3C=r3， ∵∠AOO1=30°， ∴OO1=2O1A=2r1=2， 在Rt△OO2B中，OO2=2O2B，即2+1+r2=2r2， ∴r2=3， 在Rt△OO2C中，OO3=2O2C，即2+1+2×3++r3=2r3， ∴r3=9=32， 同理可得r4=27=33， 所以r2024=32023． 故答案为32023． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证：AC平分∠BAE． 【答案】证明见解析 【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠EAC=∠CAO，即AC平分∠BAE． 【详解】如图：连接OC． ∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE． 又∵AE⊥DC，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠EAC． ∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∴∠EAC=∠OAC，∴AC平分∠BAE． 【点睛】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 18．（本题4分）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径． 求证：BD=CD． 【答案】证明见解析 【分析】根据AB=AC，得到，于是得到∠ADB=∠ADC，根据AD是⊙O的直径，得到∠B=∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到∠BAD=∠DAC，于是得到结论． 【详解】证明：∵AB=AC， ∴， ∴∠ADB=∠ADC， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠B=∠C=90°， ∴∠BAD=∠DAC， ∴， ∴BD=CD． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 19．（本题6分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM． （1）求证：BM=CM； （2）当⊙O的半径为2时，求∠BOM的度数． 【答案】（1）答案见解析；（2）135°． 【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接OA、OB、OM，根据正方形的性质求出∠AOB和∠AOM，计算即可． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴． ∵M为的中点，∴，∴，∴BM=CM； （2）连接OA、OB、OM． ∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB=90°． ∵M为弧AD的中点，∴∠AOM=45°，∴∠BOM=∠AOB+∠AOM=135°． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． 20．（本题6分）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF=∠CDB． （1）求证：FB为⊙O的切线； （2）若AB=8，CE=2，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）R=5． 【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理证得∠CBD＝90°，然后根据等边对等角以及等量代换，证得∠OBF＝90°即可证得；（2）首先利用垂径定理求得BE的长，根据勾股定理得出方程，即可求得圆的半径． 【详解】（1）连接OB． ∵CD是直径， ∴∠CBD＝90°， 又∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠D， 又∠CBF＝∠D， ∴∠CBF＝∠OBD， ∴∠CBF＋∠OBC＝∠OBD＋∠OBC， ∴∠OBF＝∠CBD＝90°，即OB⊥BF， ∴FB是圆的切线； （2）∵CD是圆的直径，CD⊥AB， ∴BE＝AB＝4， 设圆的半径是R， 在直角△OEB中，根据勾股定理得：R2＝（R﹣2）2＋42， 解得：R＝5． 【点睛】本题考查了切线的判定，熟练掌握该判定方法是本题解题的关键. 21．（本题8分）如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD； （2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为 　 　；点（6，﹣2）在⊙D　 　（填“上”、“内”、“外”）；∠ADC的度数为 　 　． 【答案】（1）见解析；（2）2，上，90° 【分析】（1）根据原点所在的位置，建立平面直角坐标系即可；根据圆心D必在线段AB和线段BC的垂直平分线上进行求解即可； （2）由（1）得到D点坐标，即可得到OA，OD的长，利用勾股定理求解即可得到AD的长；利用两点距离公式求出点（6，-2）到圆心D的距离与AD的长比较即可得到点（6，-2）与圆D的位置关系；利用勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）由（1）可知D点坐标为（2，0），A点坐标为（0，4） ∴OD=2，OA=4， ， ∴圆D的半径为； ∵点（6，﹣2）到圆心D的距离为， ∴点（6，﹣2）到圆心D的距离等于半径的长， ∴点（6，﹣2）在⊙D上． ∵D（2，0），C（6，2），A（0，4）， ∴，， ∴， ∴∠ADC=90°， 故答案为：，上，90°． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，两点距离公式，确定圆心位置，点与圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟知相关知识． 22．（本题10分）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，的延长线于的切线交于点． （1）求证：； （2）若，：：，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）首先连接，由为直径，可得，又由是的切线，易证得．然后由，证得：； （2）首先连接，设，由勾股定理可得方程：求得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接． 为的直径， ， ． 是的切线， ， 即． ． ，， ． （2）如图，连接， ， 设， ：：， ，， ， 在中，， 即， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键． 23．（本题10分）如图，已知的直径是的弦，过点作的切线交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)已知，点在上从点开始按逆时针方向运动到点停止（点不与点重合），当与的面积相等时，求点所经过的弧长． 【答案】(1)见解析 (2)当与的面积相等时，点所经过的弧长是或或 【分析】（1）连接，由是的切线，得到，由是的直径，得到，于是得到结论； （2）当时，与的面积相等，分三种情况讨论，或或，利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接．   是的切线，为的半径， ， ． 是的直径， ， ， ． ， ， ； （2）解：如图，   ， ． 与的面积相等， ， 点所经过的弧长； 或者， 点所经过的弧长； 或者， 点所经过的弧长． 综上可知，当与的面积相等时，点所经过的弧长是或或． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的求法，熟练掌握定理和计算公式是解题的关键． 24．（本题12分）如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC． （1）求证：GP＝GD； （2）求证：P是线段AQ的中点； （3）连接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径和CE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）半径为；CE=． 【分析】（1）结合切线的性质以及已知得出∠GPD=∠GDP，进而得出答案； （2）利用圆周角定理得出PA，PC，PQ的数量关系进而得出答案； （3）直接利用勾股定理结合三角形面积得出答案． 【详解】（1）证明：连接OD，则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA， ∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EAP+∠GPD=∠EPA+∠EAP=90°， ∴∠GPD=∠GDP； ∴GP=GD； （2）证明：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵CE⊥AB于E， ∴∠CEB=90°， ∴∠ACE+∠ECB=∠ABC+∠ECB=90°， ∴∠ACE=∠ABC=∠CAP， ∴PC=PA， ∵∠ACB=90°， ∴∠CQA+∠CAP=∠ACE+∠PCQ=90°， ∴∠PCQ=∠CQA， ∴PC=PQ， ∴PA=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点； （3）连接CD， ∵弧AC=弧CD， ∴CD=AC， ∵CD=2， ∴AC=2， ∵∠ACB=90°， ∴AB==， 故⊙O的半径为， ∵CE×AB=AC×BC， ∴CE=2×4， ∴CE=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键． 25．（本题12分）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． (1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值； (3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值． 【答案】(1)⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，理由见解析 (2)△POA周长的最小值为6 (3) 【分析】（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断． （2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值． （3）连接CD，PA，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得PA=PC=2m，CE=m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值． 【详解】（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3， 当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3， ∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3）， ∵点P（2，2）， ∴PA＝PB＝PC＝， ∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆． （2）如图1，连接PH， ∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P， ∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4）， ∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6， ∴△POA周长的最小值为6． （3）如图2，连接CD，PA， 设二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F， 由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD， ∵AB＝， ∴AF＝BF＝， ∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4）， ∴∠PCD＝∠PDC＝30°， 设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m， ∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l为， ∴，即， 在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2， ∴， 即， 化简，得，解得， ∴． 【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等知识以及方程的思想，添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$