第二十四章 圆（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第二十四章 圆（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（本题3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（　　） A．83° B．84° C．86° D．87° 3．（本题3分）如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1，半径为25，则弦AB的长为(　　) A．24 B．14 C．10 D．7 4．（本题3分）如图所示，某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高米，底面半径米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留）（  ） A． B． C． D． 5．（本题3分）两圆的圆心都是O，半径分别为，若，则点P在（    ） A．两个圆外 B．两个圆内 C．大圆内，小圆外 D．无法确定 6．（本题3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（    ） A．3 B． C． D．2 7．（本题3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CBA＝40°，则∠CBD的大小为（  ） A．50° B．40° C．25° D．20° 8．（本题3分）如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是(    ) A．3 B． C． D． 9．（本题3分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（    ） A． B．1 C． D．a 10．（本题3分）如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（　　） A．2+1 B．+1 C．2 D．3 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）已知扇形的半径为cm，弧长为cm，则该扇形的面积为 cm2．（结果用表示） 12．（本题3分）的半径为圆心到直线l的距离为则直线与的位置关系是 ． 13．（本题3分）如图，点是的外心，且，则 ． 14．（本题3分）如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于C，连接AC，若∠CAB＝30°，则∠D＝ 度． 15．（本题3分）已知圆锥的底面半径为40cm， 母线长为90cm， 则它的侧面展开图的圆心角为 ． 16．（本题3分）如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），M是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOM=30°，则点M的坐标为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）已知：如图，是的直径，弦，是上一点，，的延长线相交于点．求证：． 18．（本题4分）如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证：AC平分∠BAE． 19．（本题6分）如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 20．（本题6分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm． （Ⅰ）求证：OB⊥OC； （Ⅱ）求CG的长． 21．（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积． 22．（本题10分）已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E． (1)当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠CBE=∠BAC； (2)当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由． 23．（本题10分）如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于． (1)求证：与相切； (2)若，． ①求的半径； ②求的长度． 24．（本题12分）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上． （1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）； （2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论； （3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD． 25．（本题12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P，AC=8，BC=6． （1）当点O在AC上时，求证：2∠ACP=∠B； （2）在（1）的条件下，求⊙O的半径． （3）若圆心O在△ABC之外，则CP的变化范围是　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， 正确的只有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查圆中有关定义，能够熟练掌握圆的有关知识是解答本题的关键． 2．（本题3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（　　） A．83° B．84° C．86° D．87° 【答案】C 【分析】圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵∠ACB＝43°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝86°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理求解圆心角或圆周角是解题的关键. 3．（本题3分）如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1，半径为25，则弦AB的长为(　　) A．24 B．14 C．10 D．7 【答案】B 【分析】连接OA，根据垂径定理得到AE=EB，根据勾股定理求出AE，得到答案． 【详解】连接OA， ∵CD为圆O的直径，弦AB⊥CD， ∴AE=EB， 由题意得，OE=OC-CE=24， 在Rt△AOE中，AE==7， ∴AB=2AE=14， 故选B． 【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 4．（本题3分）如图所示，某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高米，底面半径米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留）（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求得AB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S=lr，求得答案即可． 【详解】解：∵AO=8米，OB=6米， ∴AB=10米， ∵圆锥的底面周长=2×π×6=12π米， ∴S扇形=lr=×12π×10=60π（米2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，熟知圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 5．（本题3分）两圆的圆心都是O，半径分别为，若，则点P在（    ） A．两个圆外 B．两个圆内 C．大圆内，小圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据OP＞r1，可以确定点P在小圆外；OP＜r2，可以确定点P在大圆内． 【详解】解：∵OP＞r1， ∴点P在小圆外； ∵OP＜r2， ∴点P在大圆内． 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据点P到圆心的距离确定点P的位置是解题关键． 6．（本题3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C． ∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=30°． ∵∠C和∠D是同圆中同弧所对的圆周角，∴∠D=∠C=30°． ∵AD为直径，∴∠ABD=90°． ∵AD=6，∴AB=AD=3． 故选A． 7．（本题3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CBA＝40°，则∠CBD的大小为（  ） A．50° B．40° C．25° D．20° 【答案】C 【分析】连接AC、AD，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用互余计算出∠BAC＝50°，然后利用圆周角定理得到∠CAD＝∠BAD＝∠CBD∠BAC． 【详解】解：连接AC、AD，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠CBA＝90°﹣40°＝50°， ∵＝， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BAC＝×50°＝25°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 8．（本题3分）如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是(    ) A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，由AC、AB都与圆O相切，利用切线长定理得到AO平分∠BAC，且OC垂直于AC，OB垂直于AB，可得出∠CAO=∠BAO=60°，得到∠AOB=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长，再利用勾股定理求出OB的长，即可确定出光盘的直径． 【详解】如图，设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，∵AC、AB都与圆O相切， ∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB， ∴∠CAO=∠BAO=60°， ∴∠AOB=30°，在Rt△AOB中，AB=3cm，∠AOB=30°， ∴OA=6cm，根据勾股定理得：OB=3，则光盘的直径为6， 故选：D. 【点睛】 本题考查了切线的性质，切线长定理，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 9．（本题3分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（    ） A． B．1 C． D．a 【答案】B 【分析】连接OA、OB、OE、EB，通过证△EAC≌△OAB，得AE=OA，从而求出EA的长； 【详解】解：连接OA、OB、OE、EB， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°； ∵AB=BD， ∴， ∴∠AEB=∠BED； ∵∠AOB=2∠AEB； ∴∠AED=∠AOB； ∵BC=AB=BD， ∴∠D=∠BCD； ∵四边形EABD内接于⊙O， ∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°； 又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°， ∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形； 在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB， 则有∠ECA=∠OBA， ∵AC=AB， ∴△EAC≌△OAB； ∴AE=OA=1． 故选B． 【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键． 10．（本题3分）如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（　　） A．2+1 B．+1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．所以点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，所以∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，OA=OA′=，因为点B是弧AN的中点，所以∠BON=30°，∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，再由勾股定理求出A′B=2，最后即可求解. 【详解】 作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′． ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′， ∵点B是弧AN的中点， ∴∠BON=30°， ∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°， 又∵OA=OA′=， ∴A′B=2． ∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2． ∴△PAB周长的最小值=PA+PB+AB=2+1=3 故选D． 【点睛】本题主要考查对轴对称，勾股定理，圆心角，圆周角，弧和弦等知识点，熟悉掌握是关键. 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）已知扇形的半径为cm，弧长为cm，则该扇形的面积为 cm2．（结果用表示） 【答案】 【分析】直接利用扇形面积公式为：，即可得出答案． 【详解】解：∵扇形的半径为2cm，弧长是3πcm， ∴扇形的面积是：×2×3π=3π（cm2）． 故答案为：3π． 【点睛】此题主要考查了扇形面积的计算，正确记忆扇形面积公式是解题关键． 12．（本题3分）的半径为圆心到直线l的距离为则直线与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】由⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，即可求得答案． 【详解】解：∵⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离为3， ∴d＜r， ∴直线l与⊙O的位置关系是：相交． 故答案为：相交． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 13．（本题3分）如图，点是的外心，且，则 ． 【答案】 【分析】根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵点为的外心， ∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键． 14．（本题3分）如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于C，连接AC，若∠CAB＝30°，则∠D＝ 度． 【答案】30 【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得∠OCD=90°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠COD=60°，然后利用互余计算∠D的度数． 【详解】连接OC，如图，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°． ∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAB=30°，∴∠COD=∠ACO+∠CAB=60°，∴∠D=90°﹣∠COD=90°﹣60°=30°． 故答案为30． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质． 15．（本题3分）已知圆锥的底面半径为40cm， 母线长为90cm， 则它的侧面展开图的圆心角为 ． 【答案】 【分析】圆锥的底面半径为40cm，则底面圆的周长是80πcm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm，母线长为90cm即侧面展开图的扇形的半径长是90cm．根据弧长公式即可计算． 【详解】根据弧长的公式l=得到： 80π=， 解得n=160度． 侧面展开图的圆心角为160度． 故答案为160°． 16．（本题3分）如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），M是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOM=30°，则点M的坐标为 ． 【答案】（4，4）． 【详解】试题分析：∵A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10）， ∴OB=10，OA=2， ∴AB==2， ∵∠AOB=90°， ∴AB是直径，CM=2， ∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点， ∴C点坐标为（，5）， 过点C作CF∥OA，过点M作ME⊥OA于E交CF于F，作CN⊥OE于N，如图所示： 则ON=AN=OA=， 设ME=x， ∵∠AOM=30°， ∴OE=x ∴∠CFM=90°， ∴MF=5﹣x，CF=x﹣，CM=2， 在△CMF中，根据勾股定理得：（x﹣）2+（5﹣x）2=（2）2， 解得：x=4或x=0（舍去）， ∴OE=x=4 故答案为（4，4）． 考点：圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）已知：如图，是的直径，弦，是上一点，，的延长线相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据垂径定理、圆周角定理得出，再根据四点共圆的性质可得，然后根据等量代换即可得证． 【详解】如图，连接 ，是的直径 ，，，共圆 ． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、四点共圆的性质等知识点，通过作辅助线，利用到圆周角定理和四点共圆的性质是解题关键． 18．（本题4分）如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证：AC平分∠BAE． 【答案】证明见解析 【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠EAC=∠CAO，即AC平分∠BAE． 【详解】如图：连接OC． ∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE． 又∵AE⊥DC，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠EAC． ∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∴∠EAC=∠OAC，∴AC平分∠BAE． 【点睛】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 19．（本题6分）如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）利用切线的性质得OC⊥DE，再证明OC∥BE得到∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE； （2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明△OAC等边三角形得到AC＝OA＝2，再利用勾股定理可计算出BC＝，然后在Rt△CBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE的长． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形，. ∴， ∴ ∵，且， ∴. ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；常常“遇到切点连圆心得半径”． 20．（本题6分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm． （Ⅰ）求证：OB⊥OC； （Ⅱ）求CG的长． 【答案】（Ⅰ）证明见解析  （Ⅱ）6.4cm 【分析】（Ⅰ）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°； （Ⅱ）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到CG的长. 【详解】解：（Ⅰ）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG； ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠OBE+∠OCF＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∴OB⊥OC； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠BOC＝90°． ∵OB＝6cm，OC＝8cm， ∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm， ∴ 即 ∴OF＝4.8cm． ∴ ＝6.4cm， ∵CF、CG分别与⊙O相切于F、G， ∴CG＝CF＝6.4cm．    【点睛】本题综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算． 21．（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积． 【答案】（1）见解析；（2）2- 【分析】（1）若要证明CD是⊙O的切线，只需证明CD与半径垂直，故连接OE，证明OE∥AD即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）连接OE． ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， 又∵∠DAE＝∠OAE， ∴∠OEA＝∠DAE， ∴OE∥AD， ∴∠ADC＝∠OEC， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， 故∠OEC＝90°． ∴OE⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）∵∠C＝45°， ∴△OCE是等腰直角三角形， ∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°， ∴阴影部分面积＝S△OCE﹣S扇形OBE＝2×2﹣＝2﹣． 【点睛】本题综合考查了圆与三角形，涉及了切线的判定、等腰三角形的性质、扇形的面积，灵活的将图形与已知条件相结合是解题的关键. 22．（本题10分）已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E． (1)当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠CBE=∠BAC； (2)当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）成立，理由详见解析. 【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，得AD⊥BC，又由AB=AC，根据等腰三角形的三线合一，得AD平分∠BAC，结合圆周角定理，即可得∠BAC=2∠CBE； （2）连接AD．根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明∠BAC=2∠CBE． 【详解】（1）证明：如图①连结AD ∵AB是⊙O的直径 ∴AD⊥BC ∵AB=AC ∴∠CAD= , 又∵BE⊥AC, ∴∠CAD=∠CBE, ∴∠CBE=; （2）解：成立，理由如下：如图②连结AD， ∵AB是⊙O的直径, ∴AD⊥BC, ∵AB=AC, ∴∠CAD=, ∵∠CAD+∠EAD=180°，∠CBE+∠EAD=180°, ∠CAD=∠CBE, ∴∠CBE=. 【点睛】考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用． 23．（本题10分）如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于． (1)求证：与相切； (2)若，． ①求的半径； ②求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①的半径4，② 【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理． （1）连接，根据圆周角定理得出，再根据平行线的性质得出，即可求证与相切； （2）①设的半径为r，则，，根据勾股定理可得，列出方程求解即可； ②过点O作于点F，用等面积法求出，进而得出，最后根据垂径定理可得． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴与相切； （2）解：①设的半径为r，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴的半径4； ②过点O作于点F， ∵，， ∴， 则， 解得：， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴． 24．（本题12分）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上． （1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）； （2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论； （3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD． 【答案】（1）PO与BC的位置关系是POBC；（2）结论成立．理由见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）由折叠可得，由∠AOP=∠POC ；因为∠AOC和∠ABC是弧所对的圆心角和圆周角，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOP=∠ABC；根据同位角相等两直线平行的判定，得PO与BC的位置关系是平行． （2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠COP=∠ACB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行． （3）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC⊥CD，又AD⊥CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OCAD，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出△AOP三内角相等，确定出△AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP=60°，由OPBC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到△OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出△POC为等边三角形，得到内角∠OCP=60°，可求出∠PCD=30°，在Rt△PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC=圆的半径OP=直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证． 【详解】解：（1）PO与BC的位置关系是POBC． （2）（1）中的结论POBC成立．理由为： 由折叠可知：△APO≌△CPO， ∴∠APO=∠CPO． 又∵OA=OP，∴∠A=∠APO． ∴∠A=∠CPO． 又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角， ∴∠A=∠PCB． ∴∠CPO=∠PCB． ∴POBC． （3）证明：∵CD为圆O的切线， ∴OC⊥CD． 又∵AD⊥CD， ∴OCAD． ∴∠APO=∠COP． 由折叠可得：∠AOP=∠COP， ∴∠APO=∠AOP． 又∵OA=OP， ∴∠A=∠APO． ∴∠A=∠APO=∠AOP． ∴△APO为等边三角形． ∴∠AOP=60°． 又∵OPBC， ∴∠OBC=∠AOP=60°． 又∵OC=OB， ∴△BC为等边三角形． ∴∠COB=60°． ∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°． 又∵OP=OC， ∴△POC也为等边三角形． ∴∠PCO=60°，PC=OP=OC． 又∵∠OCD=90°， ∴∠PCD=30°． 在Rt△PCD中，PD=PC， 又∵PC=OP=AB， ∴PD=AB，即AB=4PD． 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质以及平行线的判定与性质；运用等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算． 25．（本题12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P，AC=8，BC=6． （1）当点O在AC上时，求证：2∠ACP=∠B； （2）在（1）的条件下，求⊙O的半径． （3）若圆心O在△ABC之外，则CP的变化范围是　 　． 【答案】（1）详见解析；（2）3；（3）＜CP≤8. 【分析】（1）根据BC与AC垂直得到BC与圆相切，再由AB与圆O相切于点P，利用切线长定理得到BC=BP，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠ACP+∠BCP=90°，等量代换即可得证； （2）在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据AC与BC垂直，得到BC与圆O相切，连接OP，BO，再由AB与圆O相切，得到OP垂直于AB，在Rt△OAP中，应用勾股定理即可得到结论. （3）设OC=x，则OP=x，OA=AC-OC=8-x，求出PA的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出BO的长，根据BC=BP，OC=OP，得到BO垂直平分CP，根据面积法求出CP的长，由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，即可确定出CP的范围． 【详解】(1)∵BC⊥OC，且点C在⊙O上， ∴BC与⊙O相切． ∵⊙O与AB边相切于点P，∴BC=BP， ∴∠BCP=∠BPC=(180°−∠B) ， ∵∠ACP+∠BCP=90°， ∴∠ACP=90°-∠BCP=90°-(180°−∠B)=∠B．即2∠ACP=∠B； (2) 连结OP 在Rt△ABC中，由勾股定理,求得AB=10. ∵BC、BA分别与⊙O切于C点、P点， ∴BP=BC=6， ∴AP=AB-BP=4， 在Rt△OAP中，OA=AC-OC=8-r，AP=4，OP=r， ∵OA2=OP2+PA2， ∴（8-r）2=r2+42， ∴r=3； （3）＜CP≤8. 如图，当点O在CB上时，OC为⊙O的半径， ∵AC⊥OC，且点C在⊙O上，∴AC与⊙O相切， 连接OP、AO， ∵⊙O与AB边相切于点P，∴OP⊥AB， 设OC=x，则OP=x，OB=BC-OC=6-x， ∵AC=AP，∴BP=AB-AP=10-8=2， 在△OPA中，∠OPA=90°， 根据勾股定理得：OP2+BP2=OB2，即x2+22=（6-x）2，解得：x=， 在△ACO中，∠ACO=90°，AC2+OC2=AO2，∴AO=． ∵AC=AP，OC=OP，∴AO垂直平分CP. ∴根据面积法得：CP==，则符合条件的CP长大于． 由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长， 综上，当点O在△ABC外时, ＜CP≤8． 【点睛】考查切线的性质，勾股定理，以及点与圆的位置关系等，综合性比较强，难度较大. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$