专题01 整式的加减（考点串讲，8个常考点+9种重难点题型+4个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版2024）

七年级沪教版（2024）数学上册期中考点大串讲 专题01 整式的加减 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 八大常考点：知识梳理 九大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 四大易错易混经典例题+针对训练 精选6道期中真题对应考点练 考点透视 乘积 数字因数 和 求和 字母 最高 指数 相加 指数 去括号 合并同类项 【例1】单项式-3πxy3的系数为( ____ ) A.-3 B.3 C.4 D.-3π 【解析】解：单项式-3πxy3的系数为-3π，故选：D． D 考点一： 单项式 【变式1-1】单项式- ab5的系数与次数分别是( ____ ) A.- ，5 B. ，6 C.- ，6 D.-2，5 C 【解析】解：单项式- ab5的系数与次数分别是- ，6，故选：C． 【变式1-2】若单项式2xy3-b是三次单项式，则( ____ ) A.b=0 B.b=1 C.b=2 D.b=3 B 【解析】解：因为单项式2xy3-b是三次单项式， 所以3-b=2，所以b=1．故选：B． 4 【例2】下列式子 x3-yz, +3，abc+6，0， ， 中，整式有( ____ ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解析】解：根据整式的定义，可知整式有： x3-yz,abc+6，0， ，共有4个． 故选：C． C 考点二：整式 5 【变式2】下列各式是整式的是( ____ ) A.2a-b, B. C. ， ， D. ， ，(3a+b)2 【解析】解：∵2a-b和 是整式， 是分式，∴选项A不符合题意； ∵2和5πa2是整式， +3ab是分式，∴选项B不符合题意； ∵ ，- ，3a- 是整式，∴选项C符合题意； ∵ ，(3a+b)2是整式，- 是分式，∴选项D不符合题意， 故选：C． C 6 【例3】整式x2+3x-5的各项分别是( ____ ) A.x2，3x,5 B.x2，-3x,5 C.x2，3x,-5 D.x2，-3x,-5 【解析】解：整式x2+3x-5的各项分别是x2，3x,-5，故选：C． C 考点三：整式的项与次数 【变式3-1】整式5+2x2y-3xy3的次数及最高次项的系数分别是( ____ ) A.2，2 B.3，-3 C.4，-3 D.3，2 C 【解析】解：整式5+2x2y-3xy3的次数是4，最高次项的系数是-3， 故选：C． 7 【变式3-2】已知-5x2ym+1+xy2-3x3-6是六次四项式，且3x2ny5-m的次数与它相同． (1)求m、n的值； (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 【解析】解：(1)由题意可知：该多项式是六次多项式， ∴2+m+1=6，∴m=3， ∵3x2ny5-m的次数也是六次， ∴2n+5-m=6，∴n=2，∴m=3，n=2； (2)该多项式为：-5x2y4+xy2-3x3-6 各项系数为：-5，1，-3，-6， 故系数和为：-5+1-3-6=-13． 8 考点四： 同类项 【例4】下列各单项式中，与-2mn2是同类项的是( ____ ) A.5mn B.-3m2n C. n2m D.-mn3 C 【解析】解：A．5mn与-2mn2所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不合题意； B．-3m2n与-2mn2所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不合题意； C． n2m与-2mn2所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项符合题意； D．-mn3与-2mn2所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不合题意； 故选：C． 【变式4-1】已知2axb4与-a2by-1是同类项，则xy的值为( ____ ) A.6 B.-6 C.-10 D.10 【解析】解：∵2axb4与-a2by-1是同类项，∴x=2，y-1=4， 解得x=2，y=5，∴xy=2×5=10．故选：D． D 【变式4-2】已知代数式-3xm-1y3与4xym+n是同类项，那么m,n的值分别为 ( ____ ) A.m=2，n=-1 B.m=2，n=1 C.m=-2，n=-1 D.m=-2，n=1 B 【解析】解：由题意，得m-1=1，m+n=3， 解得m=2，n=1．故选：B． 10 【例5】下列运算中，正确的是( ____ ) A.5m2-4m2=1 B.3a2b-3ba2=0 C.3a+2b=5ab D.2x3+3x2=5x5 【解析】解：A、5m2-4m2=m2，故本选项不合题意； B、3a2b-3ba2=0，故本选项符合题意； C、3a与2b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； D、2x3与3x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； 故选：B． B 考点五：合并同类项 11 【变式5】下列计算正确的是( ____ ) A.4ab-3ba=ab B.5a-3a=2 C.7a+a=7a2 D.3a+2b=5ab 【解析】解：A、4ab-3ba=ab,故A符合题意； B、5a-3a=2a,故B不符合题意； C、7a+a=8a,故C不符合题意； D、3a与2b不能合并，故D不符合题意；故选：A． A 12 【例6】下列变形中，正确的是( ____ ) A.a+b+c-d=a+(b+c+d) B.a-(b-c+d)=a-b+c+d C.a-b-c-d=a-b-(c-d) D.a+b-(-c-d)=a+b+c+d 【解析】解：A．a+b+c-d=a+(b+c-d)，故本选项错误； B．a-(b-c+d)=a-b+c-d,故本选项错误； C．a-b-c-d=a-b-(c+d)，故本选项错误； D．a+b-(-c-d)=a+b+c+d,故本选项正确； 故选：D． D 考点六： 去括号 13 【变式6-1】去括号 等于( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：x-(- y+3)=x+ y-3．故选：B． B 【变式6-2】去括号：-3a-(2b-c)= ____________ ． -3a-2b+c 【解析】解：-3a-(2b-c)=-3a-2b+c.故答案为：-3a-2b+c. 14 【例7】墨迹覆盖了等式_____-(x2+1)=3x中的多项式，则覆盖的多项式为( _ ) A.x+2 B.-x2+3x-1 C.-x2+3x+1 D.x2+3x+1 【解析】解：由题意得：覆盖的多项式=3x+x2+1， 故选：D． D 考点七： 整式加减 【变式7-1】有一道题目是一个整式减去x2+14x-6，小强误当成了加法计算，结果得到2x2-x+3，则原来的整式是 　　． 【解析】解：2x2-x+3-(x2+14x-6)=2x2-x+3-x2-14x+6=x2-15x+9． 原来的多项式是x2-15x+9． 15 【变式7-2】 [2024扬州江都区模拟]若整式3 x2－ kxy －5与12 xy － y2＋3的和中不含 xy 项，则 k 的值是 ⁠. 8　 【变式7-3】化简： (1)－3 ab －4 ab2＋7 ab －2 ab2； 解： 4 ab －6 ab2 (2)4 x2－2(3 y2＋6 xy )＋(6 y2－5 x2). 解： － x2－12 xy 【变式7-4】 已知 A ＝ a2＋ ab －1， B ＝3 a2－2 ab ，化简：3 A － B . 解： 3 A － B ＝3( a2＋ ab －1)－(3 a2－2 ab )＝5 ab －3. 【变式7-5】 先化简，再求值： (1)2( x2＋5 x )－(2 x ＋2－ x2)，其中 x ＝－2； 解： 原式＝3 x2＋8 x －2. 当 x ＝－2时，原式＝3×(－2)2＋8×(－2)－2＝－6. (2) (3 x2 y －2 xy2)－2(　 xy2－ x2 y )，其中 x ， y 满足( x －1)2＋｜ y ＋2｜＝0. 解： 原式＝2 x2 y －3 xy2. 因为( x －1)2＋｜ y ＋2｜＝0，所以 x －1＝0， y ＋2＝0. 所以 x ＝1， y ＝－2. 所以原式＝2×12×(－2)－3×1×(－2)2＝－16. 【变式7-6】已知代数式A=-6x2y+4xy2-2x-5，B=-3x2y+2xy2-x+2y-3． (1)化简A-2B． (2)A-2B的值与x,y的取值是否有关系？并说明理由． 【解析】解：(1)∵A=-6x2y+4xy2-2x-5，B=-3x2y+2xy2-x+2y-3， ∴A-2B=(-6x2y+4xy2-2x-5)-2(-3x2y+2xy2-x+2y-3) =-6x2y+4xy2-2x-5+6x2y-4xy2+2x-4y+6 =(-6+6)x2y+(4-4)xy2+(-2+2)x-4y-5+6 =-4y+1； (2)由化简结果可知，A-2B 的值与x的取值没有关系，与y的取值有关系 19 【变式7-7】 [2024沧州月考]在整式的加减练习课中，已知 A ＝3 a2 b －2 ab2，嘉淇错将“2 A － B ”看成“2 A ＋ B ”，得到的结果是4 a2 b －3 ab2.请你解决下列问题. (1)求整式 B ； 解： (1)由题意得2 A ＋ B ＝4 a2 b －3 ab2. 所以 B ＝4 a2 b －3 ab2－2(3 a2 b －2 ab2)＝ －2 a2 b ＋ ab2. (2)若 a 为最大的负整数， b 为－ 的倒数，求该题的 正确值. 解： (2)2 A － B ＝2(3 a2 b －2 ab2)－(－2 a2 b ＋ ab2)＝8 a2 b －5 ab2. 因为 a 为最大的负整数， b 为－ 的倒数， 所以 a ＝－1， b ＝－2. 所以2 A － B ＝8×(－1)2×(－2)－5×(－1)×(－2)2＝4. 【例8】先化简，再求值： ，其中 【解析】解： =5x2+xy-4x2+ xy =x2+ xy, ∵(3-y)2+|x+ |=0，∴3-y=0，x+ =0，∴y=3，x=- ， 当 时，原式=(- )2+ ×(- )×3 = - =-2． 考点八 ： 整式的化简求值 22 【变式8-1】先化简，再求值：2mn-[3mn2-2(mn2+mn)]+mn2，其中m=-3， 【解析】解：2mn-[3mn2-2(mn2+mn)]+mn2 =2mn-(3mn2-2mn2-2mn)+mn2 =2mn-3mn2+2mn2+2mn+mn2 =4mn, 当m=-3， 时，原式=4×(-3)× =-6． 23 【变式8-2】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若x2+x=0，则x2+x+1186= ______ ； 我们将x2+x作为一个整体代入，则原式=0+1186=1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果a+b=3，求2a+2b+21的值； (2)如果a+2b=6，求-3a+2(a+2b)-6b-3的值； (3)若a2+2ab=20，b2+2ab=8，求a2+2b2+6ab的值． 【解析】解：(1)∵a+b=3，∴2a+2b+21=2(a+b)+21 =2×3+21=6+21=27； 1186 24 (2)∵a+2b=6， -3a+2(a+2b)-6b-3=2(a+2b)-3(a+2b)-3 =2×6-3×6-3=12-18-3=-6-3=-9； (3)∵a2+2ab=20，b2+2ab=8，∴a2+2b2+6ab =a2+2ab+2b2+4ab =a2+2ab+2(b2+2ab) =20+2×8 =20+16 =36． 25 题型剖析 题型一：先化简，再直接代入求值 例9.先化简，再求值： (1)－6 x ＋3(3 x2－1)－(9 x2－ x ＋3)，其中 x ＝－ ； 解： 原式＝－5 x －6. 当 x ＝－ 时，原式＝－5× －6＝－ . (2)3 x2－ ＋2 y ，其中 x ＝－2， y ＝ . 解： 原式＝ x2－ x ＋3 y . 当 x ＝－2， y ＝ 时， 原式＝(－2)2－ ×(－2)＋3× ＝ . 【变式9-1】 已知 A ＝2 x2＋12 x ＋3， B ＝－7 x2－8 x －1. (1)化简 A －3 B ； 解： (1) A －3 B ＝2 x2＋12 x ＋3－3(－7 x2－8 x －1)＝ 23 x2＋36 x ＋6. (2)当 x ＝－1时，求 A －3 B 的值. 解： (2)当 x ＝－1时， A －3 B ＝23×(－1)2＋36×(－1) ＋6＝－7. 题型二：利用整体思想化简求值 例10. 【新考法·阅读类比法】整体思想是数学学习中的一种重要的思想方法，认真阅读下面的探究过程，然后解决问题：探究：已知 x 满足 x2＋2 x －1＝0，求代数式 x2＋2 x ＋2 024的值. 解：由 x2＋2 x －1＝0可得 x2＋2 x ＝1， 将 x2＋2 x 看作一个整体，代入得 原式＝ x2＋2 x ＋2 024＝1＋2 024＝2 025， 所以代数式 x2＋2 x ＋2 024的值为2 025. (1)若 x 满足 x2－ x －5＝0，求代数式 x2－ x ＋15的值； 解： (1)因为 x2－ x －5＝0， 所以 x2－ x ＝5. 所以 x2－ x ＋15＝5＋15＝20. (2)若 x2＋2 xy －10＝0， y2－5＝0，且 A ＝ x2－ xy ＋ y2， B ＝ x2－2 xy ＋2 y2，求代数式4 A －3 B 的值. 解： (2)因为 x2＋2 xy －10＝0， y2－5＝0， 所以 x2＋2 xy ＝10， y2＝5. 所以4 A －3 B ＝4( x2－ xy ＋ y2)－3( x2－2 xy ＋2 y2)＝ x2 ＋2 xy －2 y2＝10－2×5＝0. 题型三：复合型代数式的化简求值问题 例11.[2024北京东城区模拟]已知 A ＝2 x2＋ ax －5 y ＋ b ， B ＝ bx2－ x － y －3. (1)求3 A －(－2 B ＋4 A )； 解： (1)3 A －(－2 B ＋4 A )＝2 B － A . 因为 A ＝2 x2＋ ax －5 y ＋ b ， B ＝ bx2－ x － y －3， 所以2 B － A ＝2 －(2 x2＋ ax －5 y ＋ b )＝(2 b －2) x2－(3＋ a ) x －6－ b . (2)当 x 取任意值， A －2 B 的值是一个定值时，求(　 a ＋ A )－ (　2 b ＋ B )的值. 解： (2) A －2 B ＝(2 x2＋ ax －5 y ＋ b )－ 2 ＝(2－2 b ) x2＋(3＋ a ) x ＋6＋ b . 因为当 x 取任意值， A －2 B 的值是一个定值， 所以2－2 b ＝0，3＋ a ＝0， 所以 b ＝1， a ＝－3.所以 A －2 B ＝7. － ＝ a －2 b ＋ ( A －2 B ). 把 b ＝1， a ＝－3， A －2 B ＝7代入得 原式＝ ×(－3)－2×1＋ ×7＝－ . 题型四：绝对值的化简求值 例12. [2024宿迁模拟]如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点 A ， B ， C 把数轴分成①②③④四部分，点 A ， B ， C 对应的数分别是 a ， b ， c ，且 ab ＜0. (1)原点在第 部分(填序号)； ②　 (2)化简式子：｜ a － b ｜－｜ c － a ｜－｜ a ｜； 解： (2)由已知可得 a ＜0， b ＞0， c ＞0， 所以 a － b ＜0， c － a ＞0. 所以｜ a － b ｜－｜ c － a ｜－｜ a ｜＝ b － a －( c － a ) －(－ a )＝ b － a － c ＋ a ＋ a ＝ a ＋ b － c . (3)若｜ c －5｜＋( a ＋1)2＝0，且 BC ＝2 AB ，求点 B 表示 的数. 解： (3)由题意得 c －5＝0， a ＋1＝0，所以 c ＝5， a ＝－1. 又因为 A ， B ， C 对应的数分别是 a ， b ， c ，且 a ＜ b ＜ c ， 所以 BC ＝5－ b ， AB ＝ b －(－1)＝ b ＋1. 又因为 BC ＝2 AB ， 所以5－ b ＝2×( b ＋1)，即3 b ＝3，解得 b ＝1. 所以点 B 表示的数为1. 题型五：利用“不含与无关”求值 例13.在代数式 x2＋10 xy －3 y2＋5 kxy －(4－ a )中，当 k ＝ ⁠ 时它不含 xy 项，当 a ＝ 时它不含常数项. -2　 4　 【变式13-1】 有这样一道题： “计算(2 x3－3 x2 y －2 xy2)－( x3－2 xy2＋ y3)＋(－ x3＋3 x2 y － y3)的值，其中 x ＝ ， y ＝－1”.甲同学把“ x ＝ ”错抄成“ x ＝－ ”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果. 解： 因为原式＝2 x3－3 x2 y －2 xy2－ x3＋2 xy2－ y3－ x3＋3 x2 y － y3 ＝－2 y3， 所以原式的值与 x 的取值无关. 当 x ＝ ， y ＝－1时， 原式＝－2×(－1)3＝2. 【变式13-2】 [2024西安灞桥区模拟]如果一个整式的值与 x 的取值无关，那么也就是说这个整式关于 x 除常数项外各项系数为0.若代数式4 x2－ mx －3 y ＋4－(8 nx2－ x ＋2 y －3)的值与字母 x 的取值无关，求代数式－ m2＋2 mn － n2－2( mn －3 m2)＋3(2 n2－ mn )的值. 解： 4 x2－ mx －3 y ＋4－(8 nx2－ x ＋2 y －3) ＝(4－8 n ) x2＋(1－ m ) x －5 y ＋7. 由题意可知4－8 n ＝0，1－ m ＝0， 所以 m ＝1， n ＝ . 所以－ m2＋2 mn － n2－2( mn －3 m2)＋3(2 n2－ mn )＝5 m2＋5 n2－3 mn ＝5＋5× －3×1× ＝ . 题型六：整体思想 例14. 已知 y ＝ x －1，求( x － y )2＋( y － x )＋1的值. 解： 因为 y ＝ x －1， 所以 x － y ＝1， y － x ＝－1. 所以( x － y )2＋( y － x )＋1＝1－1＋1＝1. 【变式 14-1】若2 x2＋ xy ＋3 y2＝－5，求(9 x2＋2 xy ＋6)－( xy ＋7 x2－3 y2－5)的值. 解： 原式＝9 x2＋2 xy ＋6－ xy －7 x2＋3 y2＋5＝2 x2＋ xy ＋3 y2＋11. 当2 x2＋ xy ＋3 y2＝－5时，原式＝－5＋11＝6. 题型七：分类讨论思想 例15. 已知2 ma4 b6与 ma4 b3 n 的和是单项式( m ， n 是常数)，求 m ， n 的值. 解： 由题意分以下两种情形讨论： (1)当 m ＝0时， n 可取任意数； (2)当 m ≠0时，由已知可得两单项式为同类项，则6＝3 n ， 解得 n ＝2. 综上所述， m ＝0， n 取任意数或 m ≠0， n ＝2. 题型八：转化思想 例16.已知 A ＝－3 x2－2 mx ＋3 x ＋1， B ＝2 x2＋2 mx －1，且 2 A ＋3 B 的值与 x 无关，求 m 的值. 解： 2 A ＋3 B ＝2(－3 x2－2 mx ＋3 x ＋1)＋3(2 x2＋2 mx －1) ＝－6 x2－4 mx ＋6 x ＋2＋6 x2＋6 mx －3＝(2 m ＋6) x －1. 因为2 A ＋3 B 的值与 x 无关， 所以2 m ＋6＝0，所以 m ＝－3. 题型九：数形结合思想 例17. 如图所示. (1)用含有 a ， b 的式子表示阴影部分的面积； 解： (1)阴影部分的面积为＝ a ( a ＋ b ) － － ＝ a2－ b2＋ ab . (2)当 a ＝3， b ＝2时，阴影部分的面积为多少？ 解： (2)当 a ＝3， b ＝2时，阴影部分的面积为 ×32－ ×22＋3×2＝ ×9－ ×4＋6＝9－ －π＋6＝15－ . 易错易混 易错点一：对整式的相关概念理解不透彻而出错 1.指出单项式- 的系数和次数 正解:系数为- 次数为 6. 易错点二：利用整式的有关概念求字母的值时考虑不全面 。 -2 正解:因为整式是关于x，y的四次多项式，所以2+n =4,所以n=2或-2.又整式为三项式，所以 n-2≠0,即n≠2.所以 n=-2.故答案为-2. 易错点三：整式运算中常见的错误 类型一：合并同类项时出错 类型二：去括号时符号出错或括号外的数漏乘括号里的项 类型三：列式计算时忘带括号而出错 易错点四:化简求值时常见的错误 1. （2023秋•浦东新区校级期中）代数式 ，2x+y, ， ， ， 中整式的个数( ____ ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【解析】解：由题意得，2x+y, ， ， 是整式， ， 是分式， 故选：B． B 押题预测 48 2. （2023秋•闵行区校级期中）单项式- 的系数是　　，次数是 　　． 【解析】解：单项式- 的系数是：- ，次数是：3． 故答案为：- ，3． 3. （2023秋•松江区校级期中）已知2x3y2m与-3xny2是同类项，则m+n= ____ ． 4 【解析】解：由同类项定义可知n=3，2m=2， 解得m=1，n=3，∴m+n=1+3=4． 故答案为：4． 49 4. （2023秋•奉贤区期中）化简： x2-(x2-3x+2)-(- x2+2x+ )． 【解析】解： x2-(x2-3x+2)-(- x2+2x+ ) = -x2+3x-2+ -2x- =( )x2+(3-2)x+(-2- ) = x2+x- ． 50 5. （2023秋•闵行区校级期中）已知：A=3x2+2xy+3y-1，B=x2-xy. (1)计算：A-3B； (2)当x=2，y=-1时，求A-3B的值． 【解析】解：(1)A-3B =3x2+2xy+3y-1-3(x2-xy) =3x2+2xy+3y-1-3x2+3xy =5xy+3y-1； (2)当x=2，y=-1时， A-3B=5×2×(-1)+3×(-1)-1 =-14． 51 $$