专题01 相似形（期中知识清单，19个考点梳理+题型解读+提升训练）九年级数学上学期北京版

专题01 相似形（19个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单1】相似图形及比例线段 1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 易错点拨： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 2.相似多边形 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 易错点拨： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 易错点拨： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项） （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【清单2】相似三角形 1. 相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 易错点拨： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 易错点拨： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2. 相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 易错点拨：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. (3) 相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 【清单3】黄金分割 1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割． 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形． 黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割． 【考点题型一】比例的性质 【例1】（21-22八年级下·北京门头沟·期末）已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式 1-1】（23-24九年级上·北京门头沟·期末）如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1 -2】（15-16七年级上·广东广州·开学考试）若（均不为0），那么 ． 【变式1 -3】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知，那么的值为 ． 【考点题型二】成比例线段 【例2】（22-23九年级上·陕西西安·开学考试）下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（    ） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm，6cm C．2cm，4cm，8cm，8cm D．3cm，4cm，5cm，10cm 【变式2 -1】（21-22九年级上·北京·单元测试）长度为的线段上有一点，并且满足，则的长为（ ） A． B． C． D． 【变式2 -2】（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别是，，，，点为正方形边上任意一点，点为线段上一点（点不与点、重合），且．若射线上存在一点，满足，则称线段是正方形关于点的倍拓展线段． (1)如图2，当点的坐标为时，在，，中，______是正方形关于点的2倍拓展线段上的点； (2)若点是正方形关于点的2倍拓展线段上的点，请直接写出的取值范围； (3)已知点，，若线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点，请直接写出的取值范围． 【考点题型三】黄金分割 【例3】（21-22八年级下·北京·期末）宽与长的比是（约为0．618）的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特神庙等．若黄金矩形的长为，则该黄金矩形的宽是（    ） A． B． C． D． 【变式3 -1】（23-24九年级上·北京石景山·阶段练习）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，长，则宽为 ． 【变式3 -2】（23-24九年级上·北京石景山·期中）古希腊人认为，最美人体是肚跻至足底的长度与人体的身高之比是，称为黄金分割比，著名的断臂维纳斯雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚跻至足底的长度为 ， 则此人身高大约为（    ） A．1 B． C． D． 【考点题型四】由平行判断成比例线段 【例4】（21-22八年级下·北京平谷·期中）如图，在中，，，M是中点，P、N分别在、上，若的面积与的面积相等，则长为（　　）    A．3 B．2 C． D． 【变式4 -1】（2023·北京门头沟·一模）如图，在中，于E，且交的延长线于F，当，，时，的长是 ． 【变式4 -2】（22-23九年级下·北京顺义·阶段练习）如图，在中，，点D，E分别是，的中点，若点F在线段上，且，则的度数为 ． 【考点题型五】由平行截线求相关线段的比或长 【例5】（23-24九年级上·北京平谷·期末）如图，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式5 -1】（20-21九年级上·北京·期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【变式5 -2】（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，直线，交于点O，，若，，，则的值为 ．    【变式5 -3】（23-24九年级下·北京东城·开学考试）如图，直线交于点，．若，，．则的值为 ． 【变式5 -4】（22-23九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，是的中线，点E在边上，交于点F，若，，则的长度为 cm.    【变式5 -5】（23-24九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，，，分别是，上的点，且，，，，求和的长．    【变式 5-6】（18-19九年级上·北京·期中）已知：如图，中，D、E分别在上，，若，求的长．    【考点题型六】相似多边形 【例6】（19-20九年级上·北京房山·阶段练习）下列两个图形一定是相似图形的是（    ） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰三角形 D．菱形 【变式6 -1】（19-20九年级上·北京海淀·阶段练习）下列说法中不正确的是（　　） A．任意两个等边三角形相似 B．有一个锐角是40°的两个直角三角形相似 C．有一个角是30°的两个等腰三角形相似 D．任意两个正方形相似 【变式6 -2】（23-24九年级上·北京通州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．任意两个矩形一定相似 B．任意两个菱形一定相似 C．任意两个等腰直角三角形一定相似 D．任意两个平行四边形一定相似 【考点题型七】相似多边形的性质 【例7】（22-23九年级上·北京门头沟·期中）若两个相似多边形的的相似比为，则它们面积之比为（     ） A． B． C． D． 【变式7 -1】（13-14九年级上·北京顺义·期末）两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式7 -2】（19-20九年级上·北京西城·期中）北京紫禁城是中国古代宫廷建筑之精华． 经测算发现, 太和殿,中和殿, 保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿, 南至太和门,西至弘义阁, 东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形, 若比较宫院与台基之间的比例关系, 可以发现接近于9:5, 取“九五至尊”之意． 根据测量数据, 三大殿台基的宽(EF)为40丈, 请你估算三大殿宫院的宽(AB)为 丈． 【变式7 -3】（15-16九年级上·北京怀柔·期末）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第n个正方形的面积为 ． 【考点题型八】利用平行判定三角形相似 【例8】（23-24九年级上·北京·期末）如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（    ）    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式8 -1】（20-21九年级上·北京·阶段练习）如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且DE∥BC，DF∥AC．求证：△ADE∽△DBF． 【变式8 -2】（19-20九年级上·北京东城·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，连接BE交对角线AC于点F，若DE：EC＝1：3，则S△EFC：S△BFA＝（　　） A．1：3 B．1：9 C．3：4 D．9：16 【考点题型九】两角分别相等的两个三角形相似 【例9】（22-23九年级上·北京通州·期中）如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式9 -1】（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图，在矩形中，E，F分别是，上的点，若，则一定有（    ）． A． B． C． D． 【变式9 -2】（23-24九年级上·北京房山·期末）如图分别是的边上的点，．求证：． 【变式9 -3】（16-17九年级上·北京通州·期末）如图，已知，求证：． 【变式9 -4】（23-24九年级上·北京房山·期中）如图，，相交于点，． 求证：． 【变式9 -5】（23-24九年级上·北京通州·期中）如图，的高，相交于点O．    (1)写出一个与相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______； (2)请任选一对进行证明． 【变式9 -6】（22-23九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，点是上一点，于点，求证：． 【变式9 -7】（21-22九年级上·北京门头沟·期中）已知： 如图，在中，D是AB上一点， 且，求证：． 【变式9 -8】（21-22九年级上·北京通州·期中）如图，在中，，D是延长线上的一点，E是上的一点．连接．如果．求证：． 【变式9 -9】（2018·北京石景山·二模）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 【考点题型十】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【例10】（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．求证：． 【变式 10-1】（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 【变式10 -2】（22-23九年级下·北京海淀·开学考试）如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，．求证：． 【变式10 -3】（19-20九年级上·北京海淀·期末）如图，在和中，，且． 求证：． 【变式10 -4】（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，点B、C在线段上，且，，是边长为6的等边三角形． 求证：． 【变式10 -5】（2021九年级·北京·专题练习）如图，在四边形中，，点是边上一点，连接，为上一点．且，．求证：． 【考点题型十一】三边成比例的两个三角形相似 【例11】如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：． 【变式11 -1】已知：在和中， ．求证：． 【变式11 -2】判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．    【考点题型十二】添加条件使两个三角形相似 【例12】（22-23九年级上·北京门头沟·期中）如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式12 -1】（21-22九年级上·北京顺义·阶段练习）根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的有（　　）对． ①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°； ②∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∠C′＝90°，A′C′＝9，B′C′＝6； ③AB＝10，BC＝12，AC＝15，A′B′＝1.5，B′C′＝1.8，A′C′＝2.25； ④△ABC与△A′B′C′为等腰三角形，且有一个角为80°． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式 12-2】（19-20九年级上·北京顺义·期末）如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（     ）    A．AB∥CD B． C． D． 【变式12 -3】（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（    ） A． B． C． D． 【变式12 -4】（23-24九年级上·北京·期末）如图，在中，点在上（不与点，重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是 (写出一个即可) ．    【考点题型十三】证明两三角形相似 【例13】如图，在正方形中，为中点，，连接，那么下列结论中：与相似；与相似；与相似：与相似；；其中错误的有（        ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式13 -1】下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．腰与底的比都是的两个等腰三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．两条直角边的比都是的两个直角三角形 【变式13 -2】如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　）    ① ；② ； ③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式13 -3】下列条件中，不能判定与相似的是（　　） A．，，； B．，，，，； C．，； D．， 【变式13 -4】如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 【考点题型十四】选择或补充条件使两个三角形相似 【例14】如图，下列条件中不能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式14 -1】如图，.要使，给出下列需要添加的条件:①；②；③，其中正确的是（  ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式14 -2】如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（    ）    A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式14 -3】如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．    【变式14 -4】如图，点D在的边上，当 时，与相似． 【考点题型十五】重心的有关性质 【例15】如图，在中，垂足为点D，是边上的中线，与相交于点G，则的长为 ．    【变式15 -1】已知在中，是中线，是重心，如果，那么 ． 【变式15 -2】已知的边上的中线长，点是的重心，那么 ． 【变式15 -3】已知点G是的重心，那么 ． 【变式15 -4】已知在中，，，点G为重心，那么 ． 【变式15 -5】如图，已知中，，，是边的中线，，，那么 ． 【考点题型十六】相似三角形的判定与性质综合 【例16】已知：如图，四边形中，与交于点，，延长至，，则下列各组相似中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式16-1】如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为 ． 【变式 16-2】如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 【变式16 -3】如图，正方形的边在的边上，点、分别在边、上．如果的边长为6，面积为24，那么正方形的边长 ． 【变式14 -4】如图，梯形中，，，，将梯形沿直线翻折，使得点与点重合，折痕与边、相交于点、．如果，那么的值是 ．        【变式16 -5】如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【变式16 -6】如图，直线经过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为． (1)求点坐标； (2)在轴上找一点（在的左边），使得，求点的坐标； (3)直线交轴于点，若线段上存在一点，使，求点的坐标； 【变式16 -7】如图，已知：在中，，，是上一点，作，，、相交于点，与相交于点，联结. (1)求证：； (2)如果，求的长； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【变式16 -8】如图，已知：在中，，，，，平分．    (1)求的长； (2)求的值； (3)点是射线上上一点，如果与相似，求的长． 【考点题型十七】利用相似三角形的性质求解 【例17】如果两个相似三角形对应周长之比是，那么它们的对应边之比是（　　） A． B． C． D． 【变式17 -1】如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应边上的中线之比为 ． 【变式17 -2】如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于 ． 【变式17 -3】若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【17变式 -4】已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为，则另一个三角形中最小的内角为 ． 【变式17 -5】已知，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果，，那么 . 【变式17 -6】已知两个相似三角形的一组对应边长分别是14和9，如果它们的周长相差20，那么较大三角形的周长为 ． 【变式17 -7】如果两个相似三角形的对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 ． 【变式17 -8】如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 【变式17 -9】如果把一个三角形的三边长扩大为原来的4倍，那么这个三角形的高扩大为原来的 倍． 【考点题型十八】相似三角形应用举例 【例18】如图，已知小丽的身高是米，他在路灯下的影长为米，小丽距路灯灯杆的底部米，那么路灯灯泡距地面的高度是 米．    【变式18 -1】如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为 米．    【变式18 -2】如图，是洞孔成像原理的示意图，物体平行物像，根据图中标注的尺寸，如果物体长，那么物像的长度是 ． 【变式18 -3】在某一时刻，测得一根高为1.2米的竹竿影长为2米，同时同地测得一栋楼的影长为30米，那么这栋楼的高度为 米． 【变式18 -4】学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【考点题型十九】相似三角形动点问题 【例19】如图，，，且，，，点P是线段DB上一动点，当 时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似． 【变式19 -1】在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【变式19 -2】如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． (1)若，求的长； (2)设，，试求y关于x的函数解析式； (3)当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 【变式19 -3】如图，RtABC中，，，，P是AB边上的一个动点． (1)当时，求AP的长； (2)当CP平分∠ACB时，求点P到BC的距离； (3)过点P作，PQ交边CB于Q，设，，求y关于x的函数关系式并写出定义域． 【变式19 -4】如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P在边BC上（点P与点B、C不重合），∠APF＝∠B，射线PF与边AC交于点F，过点A作BC的平行线，交射线PF于点Q． （1）如果BP＝3，求CF的长； （2）当△AFQ是等腰三角形时，求BP的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似形（19个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单1】相似图形及比例线段 1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 易错点拨： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 2.相似多边形 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 易错点拨： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 易错点拨： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项） （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【清单2】相似三角形 1. 相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 易错点拨： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 易错点拨： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2. 相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 易错点拨：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. (3) 相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 【清单3】黄金分割 1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割． 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形． 黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割． 【考点题型一】比例的性质 【例1】（21-22八年级下·北京门头沟·期末）已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例性质，根据比例式和等积式的互化即可求解． 【详解】解：A、由得，故此选项比例式成立，符合题意； B、由得，故此选项比例式不成立，不符合题意； C、由得，故此选项比例式不成立，不符合题意； D、由得，故此选项比例式不成立，不符合题意， 故选：A． 【变式 1-1】（23-24九年级上·北京门头沟·期末）如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比例的性质，根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【变式1 -2】（15-16七年级上·广东广州·开学考试）若（均不为0），那么 ． 【答案】 【分析】此题主要考查比例的基本性质，解题的关键是依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可得出答案． 【详解】解：因为， 则． 故答案为：． 【变式1 -3】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【考点题型二】成比例线段 【例2】（22-23九年级上·陕西西安·开学考试）下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（    ） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm，6cm C．2cm，4cm，8cm，8cm D．3cm，4cm，5cm，10cm 【答案】B 【分析】根据比例线段的性质，让最小的数和最大的数相乘，另外两个数相乘，看它们的积是否相等即得答案. 【详解】解：A、∵，∴四条线段不成比例； B、∵，∴四条线段成比例； C、∵，∴四条线段不成比例； D、∵，∴四条线段不成比例； 故选：B. 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是关键. 【变式2 -1】（21-22九年级上·北京·单元测试）长度为的线段上有一点，并且满足，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设AC=x，则BC=a-x，由可得方程，解方程求得x的值即可. 【详解】设AC=x，则BC=a-x，由可得， ， 解得， ∵x为正数， ∴x=. 故选B. 【点睛】本题考查了黄金分割的应用，利用列出方程是解决本题的关键. 【变式2 -2】（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别是，，，，点为正方形边上任意一点，点为线段上一点（点不与点、重合），且．若射线上存在一点，满足，则称线段是正方形关于点的倍拓展线段． (1)如图2，当点的坐标为时，在，，中，______是正方形关于点的2倍拓展线段上的点； (2)若点是正方形关于点的2倍拓展线段上的点，请直接写出的取值范围； (3)已知点，，若线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由，，得到射线解析式：，由，，，，得到，，进而得到线段得解析式：，将，，分别代，入即可判断求解， （2）由是正方形关于点的2倍拓展线段上的点，得到射线解析式为：或，点或，由，，，，得到或，或，进而得到线段的解析式为：或，即可求解， （3）由，，得到线段解析式：，与直线联立，得到：，当点在线段上且在第一象限时，由，，得到，由线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点，得到，即可求解，当点在线段上且在第一象限时，由，，得到，由线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点，得到，即可求解， 本题考查了，求一次函数解析式，新定义，几何与一次函数综合，解题的关键是：根据题意，构建关系式． 【详解】（1）解：∵，， 设射线解析式为：， ∴，解得：， ∴射线解析式为：， ∵， ， ∴，解得：， ∵， 即：，整理得：， ∵， ∴，解得：， ∴线段的解析式为：， ∵，， ∴点不是线段上的点， 分别将点，代入，，得：，， ∴，是线段上的点， 故答案为：，， （2）解：∵是正方形关于点的2倍拓展线段上的点， ∴设射线解析式为：， 则，解得：， ∴射线解析式为：或， ∴点在线段或上，即：，，解得：或， ∴或， ∴点或， ∵，， ∴，解得：或， 代入或，得：或， ∴或， ∵，即：，整理得：， ∵， ∴解得：或， 代入或，得：或， ∴或， ∴线段的解析式为：或， ∴或， （3）解：∵，， 设线段解析式为：，则：解得：， ∴线段解析式为：， 与直线联立，得：，解得：， 当点在线段上且在第一象限时， ∵，， ∴，即：， ∵线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点， ∴，解得：， 当点在线段上且在第一象限时， ∵，， ∴，即：， ∵线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点， ∴，解得：， 综上所述，当时，线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点， 故答案为：． 【考点题型三】黄金分割 【例3】（21-22八年级下·北京·期末）宽与长的比是（约为0．618）的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特神庙等．若黄金矩形的长为，则该黄金矩形的宽是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金比值是列出算式，计算即可． 【详解】解：如图，由题意得： ， 又∵， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值 叫做黄金比． 【变式3 -1】（23-24九年级上·北京石景山·阶段练习）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，长，则宽为 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金矩形的定义，得出宽与长的比例即可得出答案． 【详解】解：∵黄金矩形的宽与长的比等于黄金数 ∴, ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义题型，给一个新的定义，根据定义来解题，对于这道题是基础题型． 【变式3 -2】（23-24九年级上·北京石景山·期中）古希腊人认为，最美人体是肚跻至足底的长度与人体的身高之比是，称为黄金分割比，著名的断臂维纳斯雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚跻至足底的长度为 ， 则此人身高大约为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义，即可求解． 【详解】解：依题意，此人身高大约为 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【考点题型四】由平行判断成比例线段 【例4】（21-22八年级下·北京平谷·期中）如图，在中，，，M是中点，P、N分别在、上，若的面积与的面积相等，则长为（　　）    A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用面积相等，底边相等，可以推出底边上的高相等，得到，利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵与的共同的底边，且面积相等， ∴边上的高相等， ∴，即， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离，平行线分线段成比例定理．证明是解题的难点． 【变式4 -1】（2023·北京门头沟·一模）如图，在中，于E，且交的延长线于F，当，，时，的长是 ． 【答案】2 【分析】利用平行四边形的性质求得，，，再利用平行线分线段成比例求得，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式4 -2】（22-23九年级下·北京顺义·阶段练习）如图，在中，，点D，E分别是，的中点，若点F在线段上，且，则的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】延长交于G，先由中点定义，，中位线性质得，根据平行线分线段成比例，得到，又因从而由线段垂直平分线性质得，根据等边对等角可得，即可由三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长交于G， ∵点D，E分别是，的中点. ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行线分线段成比例，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，延长延长交于G，证明是线段的垂直平分线是解题的关键． 【考点题型五】由平行截线求相关线段的比或长 【例5】（23-24九年级上·北京平谷·期末）如图，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理，得到比例式，进而判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 【变式5 -1】（20-21九年级上·北京·期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 的值为． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【变式5 -2】（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，直线，交于点O，，若，，，则的值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键． 由平行线分线段成比例可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵，，，， ， 故答案为：． 【变式5 -3】（23-24九年级下·北京东城·开学考试）如图，直线交于点，．若，，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式5 -4】（22-23九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，是的中线，点E在边上，交于点F，若，，则的长度为 cm.    【答案】1.2 【分析】过D点作交于G点，如图，利用得到，则，所以，再利用得到，然后利用比例的性质求． 【详解】解：过D点作交于G点，如图，    ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为1.2． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．作为解题的关键． 【变式5 -5】（23-24九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，，，分别是，上的点，且，，，，求和的长．    【答案】， 【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴，， ∵ ∴ ∴． 【变式 5-6】（18-19九年级上·北京·期中）已知：如图，中，D、E分别在上，，若，求的长．    【答案】/ 【分析】根据平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【考点题型六】相似多边形 【例6】（19-20九年级上·北京房山·阶段练习）下列两个图形一定是相似图形的是（    ） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰三角形 D．菱形 【答案】A 【分析】根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可． 【详解】解：A、两个等边三角形的对应边的比相等，对应角相等，故两个等边三角形一定相似，此选项符合题意； B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故两个矩形不一定是相似图形，此选项不符合题意； C、两个等腰三角形对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，故两个等腰三角形不一定是相似图形，此选项不符合题意； D、两个菱形的对应角不一定相等，对应边的比相等，故两个菱形不一定是相似图形，此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了相似图形，解题的关键是掌握相似图形的定义． 【变式6 -1】（19-20九年级上·北京海淀·阶段练习）下列说法中不正确的是（　　） A．任意两个等边三角形相似 B．有一个锐角是40°的两个直角三角形相似 C．有一个角是30°的两个等腰三角形相似 D．任意两个正方形相似 【答案】C 【分析】直接利用相似图形的性质分别分析得出答案． 【详解】A．任意两个等边三角形相似，说法正确； B．有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似，说法正确； C．有一个角是 30°的两个等腰三角形相似，30°有可能是顶角或底角，故说法错误； D．任意两个正方形相似，说法正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的相似，正确把握相似图形的判定方法是解题关键． 【变式6 -2】（23-24九年级上·北京通州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．任意两个矩形一定相似 B．任意两个菱形一定相似 C．任意两个等腰直角三角形一定相似 D．任意两个平行四边形一定相似 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义分别判断后即可确定正确选项． 【详解】A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似； B、两个菱形对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似； C、两个等腰直角三角形对应角相等，且对应边的比也相等，故一定相似； D、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，故不一定相似． 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似图形的判定，注意相似图形的对应角相等，对应边的比相等． 【考点题型七】相似多边形的性质 【例7】（22-23九年级上·北京门头沟·期中）若两个相似多边形的的相似比为，则它们面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，从而得解． 【详解】解：∵两个相似多边形的的相似比为， ∴它们面积之比为， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键． 【变式7 -1】（13-14九年级上·北京顺义·期末）两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似多边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵两个相似多边形的周长之比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴它们的面积之比为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式7 -2】（19-20九年级上·北京西城·期中）北京紫禁城是中国古代宫廷建筑之精华． 经测算发现, 太和殿,中和殿, 保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿, 南至太和门,西至弘义阁, 东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形, 若比较宫院与台基之间的比例关系, 可以发现接近于9:5, 取“九五至尊”之意． 根据测量数据, 三大殿台基的宽(EF)为40丈, 请你估算三大殿宫院的宽(AB)为 丈． 【答案】72 【分析】设三大殿宫院的宽为x丈，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】设三大殿宫院的宽为x丈，由题意得： x：40=9：5， 解得：x=72． 故答案为：72． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解答本题的关键． 【变式7 -3】（15-16九年级上·北京怀柔·期末）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第n个正方形的面积为 ． 【答案】5； 【分析】由题意可求出AD=， 所以第1个正方形的面积为5；先利用ASA证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的 ，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的 ，然后即可求出第n个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第n个正方形的面积为 ． 【详解】解：设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn，根据题意， 得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2A3（同位角相等）． ∵∠ADO＋∠DAO＝90°，∠DAO＋∠BAA1＝90°， ∴∠ADO＝∠BAA1， 在直角△ADO中，根据勾股定理， 得：AD＝，tan∠ADO＝＝， ∵tan∠BAA1＝＝tan∠ADO， ∴BA1＝AB＝， ∴CA1＝， 同理，得：C1A2＝（）×（1＋）， 由正方形的面积公式，得：S1＝（）2＝5， S2＝（）2×（1＋）2， S3＝（）2×（1＋）4＝5×（）4， 由此，可得Sn＝（）2×（1＋）2（n−1）＝5×（）2n−2． 故答案为：5；． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． 【考点题型八】利用平行判定三角形相似 【例8】（23-24九年级上·北京·期末）如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（    ）    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而即可得到，，，由此得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ， 共3对， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【变式8 -1】（20-21九年级上·北京·阶段练习）如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且DE∥BC，DF∥AC．求证：△ADE∽△DBF． 【答案】见解析 【分析】根据平行线性质∠ADE＝∠DBF，∠AED＝∠DFB，进而可证△ADE∽△DBF． 【详解】证明：∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠ADE＝∠DBF，∠AED＝∠C，∠DFB＝∠C， ∴∠AED＝∠DFB， ∴△ADE∽△DBF． 【点睛】本题考查三角形相似判定，掌握三角形相似的判定方法是解题关键． 【变式8 -2】（19-20九年级上·北京东城·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，连接BE交对角线AC于点F，若DE：EC＝1：3，则S△EFC：S△BFA＝（　　） A．1：3 B．1：9 C．3：4 D．9：16 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝DC，AB∥DC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵DE：EC＝1：3， ∴EC：DC＝3：4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC， ∴△EFC∽△BFA， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形相似比与面积比的关系，能够知道相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键. 【考点题型九】两角分别相等的两个三角形相似 【例9】（22-23九年级上·北京通州·期中）如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故本选项不符合题意； B、∵， ∴，故本选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故本选项符合题意； D、∵， ∴，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式9 -1】（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图，在矩形中，E，F分别是，上的点，若，则一定有（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在和中，， ，选项C正确； 与、与、与都是只有一对相等的直角，所以都不是相似三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 【变式9 -2】（23-24九年级上·北京房山·期末）如图分别是的边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定；由条件得出，根据相似三角形的判定即可解决问题； 【详解】证明：∵， 又∵， ∴． 【变式9 -3】（16-17九年级上·北京通州·期末）如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键，已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 【变式9 -4】（23-24九年级上·北京房山·期中）如图，，相交于点，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握运用两角对应相等的两个三角形相似的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴△∽△ 【变式9 -5】（23-24九年级上·北京通州·期中）如图，的高，相交于点O．    (1)写出一个与相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______； (2)请任选一对进行证明． 【答案】(1)，，（写出一个即可） (2)证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由于是直角三角形，因此可观察图中的几个直角三角形，根据“两角对应相等，两三角形相似”即可找到与相似的三角形； （2）可选择与，根据“两角对应相等，两三角形相似”证明即可． 【详解】（1）与相似的三角形有，，， 故答案为：，，（写出一个即可）． （2） 证明：∵的高，相交于点O， ∴． ∵， ∴．    【变式9 -6】（22-23九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，点是上一点，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案． 【详解】证明：于点， ∴ ， 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形判定，本题属于中等题型． 【变式9 -7】（21-22九年级上·北京门头沟·期中）已知： 如图，在中，D是AB上一点， 且，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用有两角对应相等的两个三角形相似，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式9 -8】（21-22九年级上·北京通州·期中）如图，在中，，D是延长线上的一点，E是上的一点．连接．如果．求证：． 【答案】见解析 【分析】由垂直可得，根据相似三角形的判定定理直接证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 【变式9 -9】（2018·北京石景山·二模）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形性质得出∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角性质得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根据∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可证∠1＝∠2即可． 【详解】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB＝∠2＋60°， ∴∠1＝∠2， ∴△ADC∽△DEB． 【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键． 【考点题型十】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【例10】（23-24九年级上·北京石景山·期中）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先证明，再由可以根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式 10-1】（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）把代入即可求解； （）由得直线的方程为，求出，从而得，，，然后根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵在直线上， ∴， 解得：； （2）由（）得， ∴所在直线的方程为， 当时，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 又， ∴． 【变式10 -2】（22-23九年级下·北京海淀·开学考试）如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先求出，的长，再求出出，又因为，根据相似三角形的判定可证得． 【详解】解：∵，，，． ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 【变式10 -3】（19-20九年级上·北京海淀·期末）如图，在和中，，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据得出，再根据得出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得出结论即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 【变式10 -4】（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，点B、C在线段上，且，，是边长为6的等边三角形． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明． 【详解】证明： 是边长为6的等边三角形， ，， ， 又，， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 【变式10 -5】（2021九年级·北京·专题练习）如图，在四边形中，，点是边上一点，连接，为上一点．且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据，可得，可得，然后相似三角形的判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ，， ， 又， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 【考点题型十一】三边成比例的两个三角形相似 【例11】如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，三角形相似的判定，先根据勾股定理求出、、、，得出，即可证明． 【详解】解：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 【变式11 -1】已知：在和中， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】直接在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定，正确得出是解题关键． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E， ∵，∴， ∴， 又，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【变式11 -2】判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．    【答案】．理由见解析 【分析】根据，进行判断作答即可． 【详解】解：．理由如下： 由题意知，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【考点题型十二】添加条件使两个三角形相似 【例12】（22-23九年级上·北京门头沟·期中）如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】A．∵，，∴，故原说法正确，不符合题意； B． ∵，，∴，故原说法正确，不符合题意； C．∵， ，∴，故原说法正确，不符合题意； D． ∵，而不一定等于 ，∴与不一定相似，故原说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法，并能熟练运用是解题的关键． 【变式12 -1】（21-22九年级上·北京顺义·阶段练习）根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的有（　　）对． ①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°； ②∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∠C′＝90°，A′C′＝9，B′C′＝6； ③AB＝10，BC＝12，AC＝15，A′B′＝1.5，B′C′＝1.8，A′C′＝2.25； ④△ABC与△A′B′C′为等腰三角形，且有一个角为80°． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案． 【详解】解：①∵∠C=∠C′=90°，∠A=25°． ∴∠B=65°． ∵∠C=∠C′，∠B=∠B′． ∴△ABC∽△A′B′C′． ②∵∠C=90°，AC=6，BC=4，∠C’=90°，A′C′=9，B′C′=6． ∴AC：BC=A′C′：B′C′，∠C=∠C′． ∴△ABC∽△A′B′C′． ③∵AB=10，BC=12，AC=15，A′B′=1.5，B′C′=1.8，A′C′=2.25． ∴AC：A′C′=BC：B′C′=AB：A′B′． ∴△ABC∽△A′B′C′． ④∵没有指明80°的角是顶角还是底角． ∴无法判定两三角形相似． ∴共有3对． 故选：C． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【变式 12-2】（19-20九年级上·北京顺义·期末）如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（     ）    A．AB∥CD B． C． D． 【答案】D 【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 【变式12 -3】（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，且，则，故选项A不符合题意； 若，且，则，故选项B不符合题意； 若，且，则无法证明，故选项C符合题意； 若，且，则，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式12 -4】（23-24九年级上·北京·期末）如图，在中，点在上（不与点，重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是 (写出一个即可) ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法可求解． 【详解】解：添加的条件为：， 理由如下：，， ， 故答案为：． 【考点题型十三】证明两三角形相似 【例13】如图，在正方形中，为中点，，连接，那么下列结论中：与相似；与相似；与相似：与相似；；其中错误的有（        ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，根据正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵为中点，， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形，，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴和不相似，故错误； ④正确； ∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个， 故选：B． 【变式13 -1】下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．腰与底的比都是的两个等腰三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．两条直角边的比都是的两个直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握：①两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；②两角对应相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似；是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理进行判断作答即可． 【详解】解：由相似三角形的判定定理可知， 腰与底的比都是的两个等腰三角形，一定相似，故A不符合要求； 有一个内角为的两个直角三角形，一定相似，故B不符合要求； 有一个内角是的两个等腰三角形，当为一个三角形的顶角，为一个三角形的底角时，两个三角形不相似，故C符合要求； 两条直角边的比都是的两个直角三角形，一定相似，故D不符合要求； 故选：C． 【变式13 -2】如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　）    ① ；② ； ③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练的结合角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故②符合题意； ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，；故①④符合题意； 与只有一组角相等，无法证明相似， ∴故③不符合题意； 故选C． 【变式13 -3】下列条件中，不能判定与相似的是（　　） A．，，； B．，，，，； C．，； D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形相似的判定，根据相似三角形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：如图，    ∵，，， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵，，，，， ∴， ∴， ∴；故B不符合题意； 如图，    ∵，， ∴， ∴即， ∴；故C不符合题意； ∵，，有一组角相等但是两边不是对应成比例，故两个三角形不相似． 故选D． 【变式13 -4】如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【详解】解：∵，， ∴．故（c）正确． ∵平分， ∴， ∴．故（b）正确． ∴， ∴， ∴．故（d）正确． 而不能证明，故（a）错误． ∴错误的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 【考点题型十四】选择或补充条件使两个三角形相似 【例14】如图，下列条件中不能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边分别成比例的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定定理即可进行解答． 【详解】解：A、∵，， ∴，故A不符合题意； B、∵，， ∴，故B不符合题意； C、由，不能判断和相似，符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 【变式14 -1】如图，.要使，给出下列需要添加的条件:①；②；③，其中正确的是（  ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】图中已知条件是∠ACB=∠BDC=90°，所以根据“两角法”、“两边及其夹角法”进行添加条件即可． 【详解】解：∠ACB=∠BDC=90°， ①若添加，可得∠ABC=∠BCD，可以判定，故①正确； ②若添加BC2=AC∙CD即时，不能判定，故②错误； ③若添加时，可以判定，故③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查的是利用对应角判定相似三角形，指出对应角相等或对应边成比例即可． 【变式14 -2】如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（    ）    A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果． 【详解】∵∠DAE＝∠BAC， ∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意， 当时， ∵∠B不一定等于∠AED， ∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意， 当时，△ADE∽△ACB．故③符合题意， 综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键 【变式14 -3】如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可． 【详解】解：∵， ∴当或或时，． 故答案为：或或． 【变式14 -4】如图，点D在的边上，当 时，与相似． 【答案】 【分析】要使∽，由∠BAC=∠CAD共用，只要满足即可． 【详解】由∠BAC=∠CAD共用， 当时， ∽． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形判定问题，关键是掌握相似三角形的判定定理． 【考点题型十五】重心的有关性质 【例15】如图，在中，垂足为点D，是边上的中线，与相交于点G，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及重心定理“三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为”等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后证点G为的重心，得，进而由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴点G为的重心， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式15 -1】已知在中，是中线，是重心，如果，那么 ． 【答案】6 【分析】根据重心的性质即可求解．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 【详解】解：解：∵在中，是中线，是重心，如果， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了重心的性质，掌握重心的性质是解题的关键． 【变式15 -2】已知的边上的中线长，点是的重心，那么 ． 【答案】 【分析】根据重心的性质即可求出． 【详解】解：∵的边上的中线长，点是的重心， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，掌握三角形重心的性质是解题的关键． 【变式15 -3】已知点G是的重心，那么 ． 【答案】 【分析】连接并延长交于点D，由G是重心可得D是的中点，所以，，又由重心定理可，则，进而得到，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点D， ∵G是的重心， ∴D是的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键． 【变式15 -4】已知在中，，，点G为重心，那么 ． 【答案】2 【分析】根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出的长，再利用重心的性质即可求出的长． 【详解】解：根据题意可画图如下， ，，点G为重心， ， 故答案为：2 【点睛】此题主要考查学生对三角形重心的理解和掌握，解答此题的关键是明确等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，此题难度不大，属于基础题． 【变式15 -5】如图，已知中，，，是边的中线，，，那么 ． 【答案】144cm2/144平方厘米 【分析】首先证明G是的重心，推出， ，求出、 ，利用勾股定理求出 即可求得答案． 【详解】， 是的中线， 点G是的重心， ， ， ， 在 中， 【点睛】本题考查了三角形重心的概念，掌握三角形重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍是解题关键． 【考点题型十六】相似三角形的判定与性质综合 【例16】已知：如图，四边形中，与交于点，，延长至，，则下列各组相似中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的判定与性质逐一分析即可． 【详解】解A：，， ，故该选项正确； B、， ， ， ，故该选项正确； C、， ，， ，，， ， ，故该选项正确； D、由题意可知，，，故不能推出，故该选项错误； 故选：D． 【变式16-1】如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，正方形的性质等知识，证明，可求出，利用平行线分线段成比例可求出，，进而求出，，然后证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶如图， 根据题意，得，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式 16-2】如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查三角形中线的性质和相似三角形的判定和性质的理解及运用．利用该定理时要注意线段之间的对应关系． 由点G是重心，得出是的边上的中线，确定，，再由相似三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：∵点G是重心， ∴是的边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴故答案为：． 【变式16 -3】如图，正方形的边在的边上，点、分别在边、上．如果的边长为6，面积为24，那么正方形的边长 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解． 【详解】解：作交于点，交于点， 由正方形得，即， ， ． 由得， ． ，， ，， 即， ∵的边长为6，面积为24， ∴， ∴， 设正方形的边长， 得， 解得． 故正方形的边长是． 故答案为：． 【变式14 -4】如图，梯形中，，，，将梯形沿直线翻折，使得点与点重合，折痕与边、相交于点、．如果，那么的值是 ．        【答案】 【分析】先得出，再设，结合梯形性质以及矩形性质，得出，运用勾股定理得，证明。列式代入数值化简，即可作答． 【详解】解：连接和，如图：    ∵是点A、C的对称轴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∵ ∴设 过点D作，    ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴ 则 ∵是点A、C的对称轴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 则 ∴ 解得 则 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了轴对称性质以及矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式16 -5】如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式16 -6】如图，直线经过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为． (1)求点坐标； (2)在轴上找一点（在的左边），使得，求点的坐标； (3)直线交轴于点，若线段上存在一点，使，求点的坐标； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线经过点，求得，得到，令，则，即得； （2）设直线解析式为，把，代入，解方程组得到，根据，得到，求出，得到直线解析式为，当时，，即得； （3）过点C作于点G，过点P作于点H，得到，得到，求出，，, ，根据勾股定理得到，设，得到，根据得到，求得，得到，求得，得到，得到，得到，即得． 【详解】（1）∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴； （2）根据题意作图如下， 设直线解析式为， 把，代入， 得，， 解得，， ∴， 设和的边上的高分别为和， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （3）过点C作于点G，过点P作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， ∵，， ∴，，, ， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，同底等积三角形性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 【变式16 -7】如图，已知：在中，，，是上一点，作，，、相交于点，与相交于点，联结. (1)求证：； (2)如果，求的长； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)6或. 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、分情况讨论是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，设，则，则，解得x的值，即可得到答案； （3）分和两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，，（经检验都是原方程的解，且都符合题意）， ∴的长为或 （3）如果， ∵， ∴， ∵E， ∴， ∴， ∴； 如果， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长为6或. 【变式16 -8】如图，已知：在中，，，，，平分．    (1)求的长； (2)求的值； (3)点是射线上上一点，如果与相似，求的长． 【答案】(1)16 (2) (3)或. 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由同角的余角相等得出，证明，得出，代入数据计算即可得出答案； （2）作，垂足为，由角平分线的性质定理得出，证明得出，由勾股定理得出，代入数据计算出，即可得解； （3）先求出，由得出，再分两种情况：，，利用相似三角形的性质分解求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， ， ， ， ， （2）解：作，垂足为，   平分，，， ， ， ， ， ， 又，，， ， ， ； （3）解：，，， ， ，， ， ， ， 如果，则， ， ； 如果，则， ， ； 的长为或． 【考点题型十七】利用相似三角形的性质求解 【例17】如果两个相似三角形对应周长之比是，那么它们的对应边之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比，求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形对应周长之比是， ∴它们的对应边之比为， 故选：A． 【变式17 -1】如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应边上的中线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据“两个相似三角形的相似比等于它们的周长比，也等于它们的中线比，”进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴它们的对应边上的中线之比为， 故答案为：． 【变式17 -2】如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知“相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方”是解题关键．根据两个相似三角形的周长的比等于，得到相似比为，即可得到它们的面积比等于． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长的比等于， ∴这两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积比等于． 故答案为： 【变式17 -3】若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质及应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据两个相似三角形的周长比等于相似比，则面积比等于相似比平方，据此即可得出答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴三角形的相似比为， ∵两个相似三角形的周长比等于相似比， ∴两个三角形的周长比为， 故答案为：． 【17变式 -4】已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为，则另一个三角形中最小的内角为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，根据三角形内角和等于求出第三个角，再根据相似三角形对应角相等解答． 【详解】解：∵一个三角形的两个角分别为， ∴这个三角形的第三个角是， ∵两个三角形相似，已知三角形的最小角是， ∴另一个三角形的最小的内角为． 故答案为：． 【变式17 -5】已知，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果，，那么 . 【答案】75 【分析】本题考查相似三角形的性质、三角形内角和定理，用相似三角形的性质得出是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，    故答案为：75. 【变式17 -6】已知两个相似三角形的一组对应边长分别是14和9，如果它们的周长相差20，那么较大三角形的周长为 ． 【答案】56 【分析】本题考查相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，结合已知条件，设未知数，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：两个相似三角形的相似比为：， ∴两个三角形的周长比为， 设较大三角形的周长为，则，较小三角形的周长为， ∴，解得：， ∴较大三角形的周长为； 故答案为：． 【变式17 -7】如果两个相似三角形的对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键 【详解】解：∵两个相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的面积比是， 故答案为：． 【变式17 -8】如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由面积比为得到相似比为，利用“相似三角形的对应中线的比等于相似比”解本题是关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形一组对边上的中线的比等于相似比， ∴中线的比为． 故答案为：． 【变式17 -9】如果把一个三角形的三边长扩大为原来的4倍，那么这个三角形的高扩大为原来的 倍． 【答案】4 【分析】将一个三角形的三边扩大为原来的4倍，新的三角形与原三角形相似，相似比为：，即可得解． 【详解】解：由题意，得：新的三角形与原三角形相似，相似比为：， 两个三角形的面积比为：，边长之比为， ∴高之比为 即：这个三角形的高扩大为原来的4倍； 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的性质，是解题的关键． 【考点题型十八】相似三角形应用举例 【例18】如图，已知小丽的身高是米，他在路灯下的影长为米，小丽距路灯灯杆的底部米，那么路灯灯泡距地面的高度是 米．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用；根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可． 【详解】解：结合题意画出图形得：，    ， ， ， 小明的身高为米，他在路灯下的影子长为米；小明距路灯杆底部为米， ，，， ， 解得：， 则路灯灯泡距地面的高度是米． 故答案为：． 【变式18 -1】如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为 米．    【答案】 【分析】由，可得，，解得，，，则，由，代入可求． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握：． 【变式18 -2】如图，是洞孔成像原理的示意图，物体平行物像，根据图中标注的尺寸，如果物体长，那么物像的长度是 ． 【答案】 【分析】根据，可得，再由，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛． 【变式18 -3】在某一时刻，测得一根高为1.2米的竹竿影长为2米，同时同地测得一栋楼的影长为30米，那么这栋楼的高度为 米． 【答案】18 【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解． 【详解】解：设楼的高度是，由题意得：， 解得：． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用同时同地物高与影长成正比是解题的关键． 【变式18 -4】学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 【考点题型十九】相似三角形动点问题 【例19】如图，，，且，，，点P是线段DB上一动点，当 时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似． 【答案】2或12或5.6 【分析】根据已知可以分△PDC△ABP或△PCD△PAB两种情况进行分析． 【详解】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB， ∴∠D=∠B= 90°， 设DP= x, 当PD：AB= CD ：PB时，△PDC△ABP， ∴， 解得DP = 2或12， 当PD：PB= CD：AB时，△PCD△PAB， ∴， 解得DP= 5.6， ∴DP = 5.6或2或12． 故答案为：2或12或5.6． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 【变式19 -1】在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【答案】(1)； (2)；的值为或. 【分析】()证明，利用相似三角形的性质求解； ()证明，可得，推出，由，推出，由此构建关系式，可得结论； 分两种情形：当点在线段的延长线上；当点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，且点不可能在线段上， ∴与相似有两种可能: 当点在线段的延长线上 (如图中) ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当点在线段的延长线上 (如图中)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的值为或. 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【变式19 -2】如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点D． (1)若，求的长； (2)设，，试求y关于x的函数解析式； (3)当为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似． 【答案】(1) (2) (3)当为4时，以、、为顶点的三角形与相似 【分析】（1）连接，由平行四边形的判定定理可得出四边形是平行四边形，进而可得出，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）由平行线分线段成比例定理可知，，再根据点在边上或点在边的延长线上两种情况讨论即可； （3）先由相似三角形的判定定理得出，，由相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】（1）连接 ， 四边形是平行四边形，    ， ， ， ； （2），， ， ，，，，， 当点在边上时， ，解得 ，解得 当点在边的延长线上时， ，解得 ，解得 综上所述， （3） 又以、、为顶点的三角形与相似， 与相似 公共，又 即 由（2）知， 得 综上所述，当为4时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理及平行线分线段成比例定理，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解． 【变式19 -3】如图，RtABC中，，，，P是AB边上的一个动点． (1)当时，求AP的长； (2)当CP平分∠ACB时，求点P到BC的距离； (3)过点P作，PQ交边CB于Q，设，，求y关于x的函数关系式并写出定义域． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由勾股定理求，作，等积法求，由勾股定理求，三线合一求即可． （2）作，，由角平分线性质得，由求，再求即可； （3）由得，即可求y关于x的函数关系式，由的长度确定定义域即可． 【详解】（1）解： 如图： 中，，，， ． 作， 即， 在中 ； 故答案为：； （2）解：如图 过点作，，垂足分别为、， 平分， ， ， ， ，即，解得． 故答案为：； （3）解： 如图，过点作， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等采三角形三线各一，勾股定理及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． 【变式19 -4】如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P在边BC上（点P与点B、C不重合），∠APF＝∠B，射线PF与边AC交于点F，过点A作BC的平行线，交射线PF于点Q． （1）如果BP＝3，求CF的长； （2）当△AFQ是等腰三角形时，求BP的长． 【答案】（1）5；（2）或5 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质求解即可； （2）通过分类讨论，结合等腰三角形的性质的相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵是的外角， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）∵，∠APF＝∠B， ∴可设 ∵AQ//BC ∴ 设 ∵ ∴ ∵△AFQ是等腰三角形，则有 ①若时，则 ∴ ∴内角满足 在中， ∴ ∵点P与点C不重合 ∴此情况不存在，舍去； ②若时，则 ∴ 同理可得， ∴； ③若时，则 ∴是等腰直角三角形， ∴在的垂直平分线上， 过点作于点，过点作于点， 则由三线合一的性质得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上，或5 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练应用分类讨论是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$