专题01 相似形（期末复习专项训练，7大题型）九年级数学上学期北京版

专题01 相似形 题型1 比例线段 题型5 相似性质求解 题型2 平行线分线段成比例（常考点） 题型6 相似的判定与性质选填 题型3 相似多边形（易错点） 题型7 相似的判定与性质解答 题型4 相似判定 题型一 比例线段（共3小题） 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如果，那么的值是（） A． B． C． D． 题型二 平行线分线段成比例（共3小题） 4．如图，直线交于点O，．若，，．则的值为 ． 5．如图，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是： ．（填序号即可） 题型三 相似多边形（共3小题） 7．某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 8．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的面积是 ．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ． 9．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第n个正方形的面积为 ． 题型四 相似判定（共3小题） 10．如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 11．如图，的高相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 12．如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（    ） A． B． C． D． 题型五 相似性质求解（共3小题） 13．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 14．如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 15．如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若；求的长． 题型六 相似的判定与性质选填（共3小题） 16．如图，在矩形中，若，，，则的长为 ． 17．如图，在中，点E在上，，交于点F，若，且，则 ． 18．在中，分别是的中点，点M是和平分线的交点，连接．有以下结论：①四边形是菱形；②的面积是面积的；③；④当且时，四边形是正方形．其中正确结论是： （填序号即可） 题型七 相似的判定与综合解答（共3小题） 19．如图，在中，，平分，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 20．如图，平分，. (1)求证：； (2)若，，求的长. 21．如图，在中，延长到，使，连接交于点，，，求的长． 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似形 题型1 比例线段 题型5 相似性质求解 题型2 平行线分线段成比例（常考点） 题型6 相似的判定与性质选填（难点） 题型3 相似多边形 题型7 相似的判定与性质解答（易错点） 题型4 相似判定 题型一 比例线段（共3小题） 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了比例的性质，熟练掌握知识点是解题关键． 由，可设，再代入求值即可． 【详解】解：由题意设， ∴， 故选：A． 2．已知，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 根据比例的性质“如果，那么”逐项判断即可． 【详解】解：A、，则，故该选项说法正确，符合题意； B、，则，故该选项说法错误，不符合题意； C、，则，故该选项说法错误，不符合题意； D、，则，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 3．如果，那么的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， 故选：C． 题型二 平行线分线段成比例（共3小题） 4．如图，直线交于点O，．若，，．则的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理，得到比例式，进而判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 6．在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是： ．（填序号即可） 【答案】/③① 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断①；只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故可判断②；保持 的大小不变，改变的长度能使 成立，故可判断③；保持的长度不变，改变的大小不一定能使成立，故可判断④，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【详解】解：①、 ∴四边形是平行四边形，故①符合题意； ②、只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故②不符合题意； ③、改变的长度，与的交点为中点时，则 即为的中点， ∴是的中位线， ∵四边形是平行四边形， 故③符合题意； ④保持的长度不变且时， ∵平分 ∴为的中点， ∴ 即为的中点， ∴是的中位线， ∵四边形是平行四边形， ∴改变的大小都能使 当的长度不变且不等于时，点不是的中点， ∴不可能使成立，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论是， 故答案为：． 题型三 相似多边形（共3小题） 7．某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 8．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的面积是 ．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】连接BD，由勾股定理分别求出AB、AD的长，由勾股定理的逆定理得出△ABD为等腰直角三角形，继而由，利用面积公式进行计算即可得 四边形的面积；由相似的性质可得出，代入值即可得出四边形的面积． 【详解】连接BD，如图， 由图可知，，，，， ∵， ∴ △ABD为等腰直角三角形， ∴ ，， ∴； ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， 由（1）求得， ∴； 故答案为：； 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，相似三角形的性质，能灵活运用相关定理和性质进行推理和计算是解题的关键．相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 9．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第n个正方形的面积为 ． 【答案】5； 【分析】由题意可求出AD=， 所以第1个正方形的面积为5；先利用ASA证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的 ，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的 ，然后即可求出第n个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第n个正方形的面积为 ． 【详解】解：设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn，根据题意， 得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2A3（同位角相等）． ∵∠ADO＋∠DAO＝90°，∠DAO＋∠BAA1＝90°， ∴∠ADO＝∠BAA1， 在直角△ADO中，根据勾股定理， 得：AD＝，tan∠ADO＝＝， ∵tan∠BAA1＝＝tan∠ADO， ∴BA1＝AB＝， ∴CA1＝， 同理，得：C1A2＝（）×（1＋）， 由正方形的面积公式，得：S1＝（）2＝5， S2＝（）2×（1＋）2， S3＝（）2×（1＋）4＝5×（）4， 由此，可得Sn＝（）2×（1＋）2（n−1）＝5×（）2n−2． 故答案为：5；． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． 题型四 相似判定（共3小题） 10．如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 【答案】添加（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定可求解． 【详解】解：添加（答案不唯一）， 理由如下： 又∵，， ∴． 11．如图，的高相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可知，从而可证，即得出，即可解答． 【详解】解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，且，则，故选项A不符合题意； 若，且，则，故选项B不符合题意； 若，且，则无法证明，故选项C符合题意； 若，且，则，故选项D不符合题意； 故选：C． 题型五 相似性质求解（共3小题） 13．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 14．如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)14，10 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论； （2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． （2）∵， ∴ ∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴， ∴的周长为： 的周长为：． （3）∵． 又∵的周长为：14，的周长为：10 ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若；求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由题意可得，，可证； （2）由，可得，代入数值即可求出的长． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， 又， ． （2）由（1）， ，即， 即， ． 题型六 相似的判定与性质选填（共3小题） 16．如图，在矩形中，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质．根据勾股定理求出，再利用相似三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 17．如图，在中，点E在上，，交于点F，若，且，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，设，，则，根据平行四边形的性质得出，，证出，得出比例式，代入求出即可，能求出和求出是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：6． 18．在中，分别是的中点，点M是和平分线的交点，连接．有以下结论：①四边形是菱形；②的面积是面积的；③；④当且时，四边形是正方形．其中正确结论是： （填序号即可） 【答案】②③ 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、面积关系、特殊四边形的判定，相似三角形的判定和性质等几何知识，解题的关键在于三角形中位线定理，面积比例关系，特殊四边形的判定，角度关系的推导．根据三角形中位线定理，相似三角形的性质，三角形角内角和定理，特殊四边形的判定逐个判断即可． 【详解】解：分别是的中点， ， 四边形是平行四边形， 故①四边形是菱形错误； 四边形是平行四边形， ， ， 分别是的中点， ， ， ， ， ， 故②的面积是面积的正确； 点M是和平分线的交点， ， ， 在中，， ， ， 故③正确； 若，， 则， 内角和大于，显示不成立， 故④当且时，不能构成三角形，则四边形是正方形的说法错误． 综上，答案为：②③． 题型七 相似的判定与综合解答（共3小题） 19．如图，在中，，平分，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用同旁内角互补两直线平行得出，利用角平分线的性质及等量代换得出，利用内错角相等两直线平行得出，利用两组对边分别平行即可得出平行四边形； （2）过点作交于点，利用角平分线的性质和平行四边形的性质得出相等的边，假设，则，判定出，利用相似三角形的性质得出，最后求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，过点作交于点， 又∵平分，， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， 假设，则， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 20．如图，平分，. (1)求证：； (2)若，，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解． （1）利用两角法证得结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值计算． 【详解】（1）证明：平分， ． ， ； （2）解：， ． ，， ． ． 21．如图，在中，延长到，使，连接交于点，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质得，易得，进而得到，由，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， ，即 ， ． 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $