精品解析：湖北省武汉市第一初级中学等校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024年九年级上学期数学9月同步练习 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 3的相反数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程根情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 5. 某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C D. 6. 以下函数的图象的顶点坐标为的是（） A. B. C. D. 7. 已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值（ ） A. B. 3 C. 1 D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 若，，为实数，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 大小关系与的取值有关 10. 若点A（﹣3，），B（1，），C（m，）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，则m的取值范围是（　　） A. ﹣3＜m＜1 B. ﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1 C. m＜﹣3或m＞1 D. ﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 12. 点关于原点对称点为__________． 13. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是__________． 14. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角度得到，若，则______度． 15. 已知关于函数，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②函数图象上纵坐标为0的点有3个；③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，则或；④点，是该函数图象上的两个点，则的最大距离是4．其中正确的结论是__________．（填写序号） 16. 已知二次函数（为常数），当该二次函数的图象与轴交于点两个点．若线段上有且只有5个点的横坐标为整数，则的取值范围是__________． 三、解答题（共8小题，72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在五边形中，，，，． （1）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的，并证明三点在一条直线上； （2）求证：． 19. 关于 x 的方程 x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根 x1，x2． （1）求 k 的取值范围； （2）请问是否存在实数 k，使得 x1+x2＝1﹣x1x2 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由． 20. 抛物线与轴交于两点，在左侧，与轴交于点． （1）点坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）不等式的解集是 ； （3）当满足时，的取值范围 ． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三点是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，将线段绕点逆时针旋转至，设的中点，标出点旋转后的对应点； （2）在图2中，过点作的平行线，在上取一点，使． 22. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量（件）月销售利润（元）的部分对应值如下表： 售价/（元/件） 30 35 月销售量/件 300 250 月销售利润/元 4500 5000 （1）商品的进价为 元/件，关于的函数表达式为 ； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则 ． 23. 在菱形中，，为菱形的一条对角线． （1）如图1，过作于点交于点，求证：； （2）在（1）的条件下，若，则菱形面积为 ； （3）如图2，为菱形外一动点且，连接，，，试探究数量关系，请写出三条线段的数量关系 ．（选择其中一种数量关系，并写出其证明过程） 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，是该抛物线上的一动点． （1）点坐标为 ，该抛物线解析式为 ，顶点为 ； （2）如图中，连接，直线交直线于点，若，求此时点坐标； （3）如图，连接，过点作的平行线交该抛物线于点（不与重合），连接，直线与直线交于点，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年九年级上学期数学9月同步练习 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 3的相反数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，熟记相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义即可直接选择． 【详解】解：3的相反数是． 故选：C ． 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； 方程和方程都不是整式方程，都不是一元二次方程，故选项C、D不符合题意； 符合题意一元二次方程的定义，是一元二次方程，故选项A符合题意； 故选：A． 3. 如图有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 4. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 5. 某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 6. 以下函数的图象的顶点坐标为的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．因为抛物线，顶点坐标是，根据这个模式求出每个函数的顶点坐标，再比较． 【详解】解：A、的顶点坐标是，不符合题意； B、的顶点坐标是，符合题意； C、的顶点坐标是，不符合题意； D、的顶点坐标是，不符合题意． 故选：B． 7. 已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系．根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入整理后的代数式，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：A． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限．首先根据二次函数的图象及性质判断c和b的符号，从而得出点所在象限． 【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ，， ， 二次函数的图象与y轴的交点在原点下方， ， 在第三象限， 故选：C． 9. 若，，为实数，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 的大小关系与的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，配方法的应用．直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 10. 若点A（﹣3，），B（1，），C（m，）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，则m的取值范围是（　　） A. ﹣3＜m＜1 B. ﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1 C. m＜﹣3或m＞1 D. ﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数解析式可得出二次函数的对称轴为x＝﹣2，分a＜0和a＞0两种情况讨论，分别根据图像上点的坐标特征得到关于m的不等式，然后解不等式即可解答． 【详解】解：抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x＝﹣＝﹣2， ∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2， ∴当a＜0，则|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）； 当a＞0，则1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、解一元一次不等式组，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：1 12. 点关于原点对称点为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，横、纵坐标互为相反数是解题关键．根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于原点O的对称点为． 故答案为：． 13. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象的平移．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：函数向右平移2个单位，得：； 再向上平移3个单位，得：，即； 故答案为：． 14. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角度得到，若，则______度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质．先根据旋转的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：， ， ， ， ，即旋转角为， ， 故答案为：60． 15. 已知关于的函数，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②函数图象上纵坐标为0的点有3个；③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，则或；④点，是该函数图象上的两个点，则的最大距离是4．其中正确的结论是__________．（填写序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和图象和性质．根据题意画出草图，根据图象求解即可． 【详解】解：对于， 顶点坐标为， 令，则，解得或， 与轴的交点坐标为，， 对于，顶点坐标为， 令，则，解得或， 与轴的交点坐标为， 如图， 观察图象，①函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，结论①错误； ②函数图象上纵坐标为0的点有点，共3个，结论②正确； ③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，即经过点或且平行于轴两条直线与图象的交点，此时或，结论③正确； ④点，是该函数图象上的两个点，由图象知，当时，则的最大距离即，结论④正确． 故答案为：②③④． 16. 已知二次函数（为常数），当该二次函数的图象与轴交于点两个点．若线段上有且只有5个点的横坐标为整数，则的取值范围是__________． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题．先求得二次函数的图象与轴的交点坐标，再利用线段上有且只有5个点的横坐标为整数，分两种讨论，分别列不等式组，计算即可求解． 【详解】解：令，则， 解得，， 不妨设，则， 当点在点左侧时， 由题意得， 解得； 当点在点右侧时， 由题意得， 解得； 综上，的取值范围或． 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查求一元二次方程的解，解一元二次方程的一般方法有配方法、公式法和因式分解法． （1）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，再开平方求解即可； （2）根据因式分解法将方程变为，将方程转化为两个一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 配方得：，即， ∴， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：， 分解因式得：， ∴或， 得：，． 18. 如图，在五边形中，，，，． （1）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的，并证明三点在一条直线上； （2）求证：． 【答案】（1）画图见解析，证明见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，利用旋转构造出全等三角形时解本题的关键． （1）先根据题意画出图形，再由旋转的性质可得，由，可得； （2）由旋转的性质可得，，再由可得，即：，最后通过“”证明即可． 【小问1详解】 如图所示， 将绕点顺时针旋转，,， ， ， ， 三点在一条直线上； 【小问2详解】 将绕点顺时针旋转，得到， ， ，， ， ， 即：， ， ； 19. 关于 x 的方程 x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根 x1，x2． （1）求 k 的取值范围； （2）请问是否存在实数 k，使得 x1+x2＝1﹣x1x2 成立？若存在，求出 k 值；若不存在， 说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据关于 x 的方程 x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根，≥0，代入计算求出k的取值范围． （2）根据根与系数的关系，，，根据题意列出等式，求出k的值，根据k的值是否在取值范围内做出判断． 【小问1详解】 解：∵关于 x 的方程 x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根 根据题意得， 解得． 【小问2详解】 解：存在． 根据根与系数关系，， ∵x1+x2＝1﹣x1x2， ∴， 解得， ∵． ∴存在实数k=-3，使得x1+x2＝1﹣x1x2． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程，要注意根据k的取值范围来进取舍． 20. 抛物线与轴交于两点，在左侧，与轴交于点． （1）点坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）不等式的解集是 ； （3）当满足时，的取值范围 ． 【答案】（1）；； （2）或 （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与两坐标轴的交点及不等式组，本题利用数形结合的思想是关键，从图象中读出不等式组的解集和对应的取值． （1）配方可得抛物线顶点的坐标；将和代入抛物线的解析式可求得点的坐标； （2）将代入抛物线的解析式可求得，的坐标；画出草图，根据图象得出结论； （3）计算得出当时对应的函数值，根据图象即可写出二次函数的取值范围． 【小问1详解】 解：， 抛物线顶点的坐标为； 把代入得； 点坐标为； 【小问2详解】 解：把代入得，解得，， 点坐标为、点坐标为， 草图，如图所示； ，即， 由图象得：当或时，，则； 故答案为：或； 【小问3详解】 解：由图象得： 当时，； 当时，； 当时，； 所以取值范围：． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三点是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，将线段绕点逆时针旋转至，设的中点，标出点旋转后的对应点； （2）在图2中，过点作的平行线，在上取一点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，平行线的性质，正方形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）利用全等三角形的性质作出，线段与格线交点即为的中点，线段与格线交点即为的中点； （2）作平行四边形，得到，作正方形，分别取和与格线的交点和，作射线交于点，此时是线段的垂直平分线，则． 【小问1详解】 解：线段，以及点和点如图1所示； 【小问2详解】 解：所作图形如图所示： 22. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量（件）月销售利润（元）的部分对应值如下表： 售价/（元/件） 30 35 月销售量/件 300 250 月销售利润/元 4500 5000 （1）商品的进价为 元/件，关于的函数表达式为 ； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则 ． 【答案】（1）15，； （2）当该商品的售价是或38元时，月销售利润最大，最大利润为元； （3）5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用． （1）根据表中数据可以求出每件进价，设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可； （2）设该商品的月销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值； （3）根据总利润=（单件利润）×销售量列出函数解析式，再根据时，利用函数性质求解即可． 【小问1详解】 解：由表中数据知，每件商品进价为（元/件）， 设一次函数解析式为， 根据题意，得， 解得：， 所以y与x的函数表达式为； 故答案为：15，； 【小问2详解】 解：设该商品的月销售利润为w元， 则 ， ∵， ∴当或38时，w最大，最大值为， ∴当该商品的售价是或38元时，月销售利润最大，最大利润为元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ， 对称轴为直线， ∵， ∴， ∵， ∴当时，w取得最大值为3960元， ∴， 解得：． 故答案为：5． 23. 在菱形中，，为菱形的一条对角线． （1）如图1，过作于点交于点，求证：； （2）在（1）的条件下，若，则菱形面积为 ； （3）如图2，为菱形外一动点且，连接，，，试探究的数量关系，请写出三条线段的数量关系 ．（选择其中一种数量关系，并写出其证明过程） 【答案】（1）见解析 （2） （3）（答案不唯一），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质以及直角三角形的性质求得，推出，得到，据此即可证明； （2）同（1）求得，得到，求得，，解直角三角形求得，利用菱形的面积公式即可求解； （3）连接，延长到，证明点在以点为圆心的上，利用圆心角与圆周角的关系求得，证明，求得，再证明，求得，，然后利用直角三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 证明：如图1中， 四边形是菱形，，， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 解：，理由如下： 连接，延长到， ∵四边形是菱形，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点在以点为圆心的上， ∴，， ∵， ∴， 如图，过作点，于点， ，，， ， ，，， ， ， ，，， ， ∴，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质，圆心角与圆周角，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，是该抛物线上的一动点． （1）点坐标为 ，该抛物线解析式为 ，顶点为 ； （2）如图中，连接，直线交直线于点，若，求此时点坐标； （3）如图，连接，过点作平行线交该抛物线于点（不与重合），连接，直线与直线交于点，求点的横坐标． 【答案】（1），，； （2）此时点坐标或； （3）点的横坐标为． 【解析】 【分析】（）当时，求出点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，最后配方即可求出顶点坐标； （）先求出直线解析式为，然后分当在直线下方时和当在直线下方时两种情况分，由相似三角形的判定与性质即可求解； （）设，，然后求出直线解析式为，由，设直线解析式为，联立得，整理得：，根据两根关系可得，则，分别出直线解析式为，直线解析式为，联立得，最后解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由抛物线，当时，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 由， ∴顶点坐标为， 故答案为：，，； 小问2详解】 解：由（）得：， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵，，， ∴，， ∴，，，， ∴， 如图，当在直线下方时，过作轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴设解析式为， ∴，解得：或（舍去） ∴； 如图，当在直线上方时，过作轴于点， 同理∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， ∴，解得：或（舍去） ∴； 综上可知：此时点坐标或； 【小问3详解】 解：如图，设，， ∵点不与重合， ∴且， 同上理可得：直线解析式为， ∵， ∴设直线解析式为， ∴联立得，整理得：， ∴根据两根关系可得， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 同理直线解析式为， 联立得， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，二次函数和一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$