专题09 垂线段最短模型-2025年初中数学几何模型全合集（不分教材通用版）

模型9: 垂线段最短 类型 垂线段最短 两条线段和的最小值问题 图示 特点 直线l外一定点 A 和直线l上一动点 B 点 P 是∠AOB 内部一点,点M,N分别是OA,OB上的动点 结论 过点 A 作 AB⊥l于点 B,此时AB的值最小 作点 P 关于 OB的对称点P',过点 P'作 OA 的垂线,分别与OB,OA交于点 N,M,此时 PN +MN 的值最小 1. 找模型 遇到“一定点两动点”求线段和(其中一条线段为两动点的连线)最值问题，考虑垂线段最短模型 2. 用模型 通过对称的性质，三角形的三边关系及垂线段最短确定最值点位置 满分技法:求线段和最值实质上是将线段和转化到一条直线上，结合垂线段最短解决问题 结论：作点 P关于OB的对称点 P'，过点 P'作OA的垂线，分别与OB,OA交于点N,M,此时PN+MN的值最小 证明:如图,若M',N'为OA,OB上任意一点,连接 N'P',M'P', 则 ∴当P'M⊥OA时,PN+MN的值最小. 思考延伸:经典的“胡不归”就是垂线段最短问题 例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,点E是AB上任意一点,若AD=5,AC=4,则DE的最小值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 思路点拨:遇到角平分线和垂直，想到角平分线上的点到角的两边的距离相等. 例2 模型构造 如图,在△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D, E,F 分别是AD,AB上的动点,则BE+EF的最小值是 . 思路点拨：求线段和最小值，一定点两动点，先转化在一条线段，再利用垂线段最短求解即可。 针对训练 1. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=2,点 P 是AB边上的一点(异于A,B两点)，过点 P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N，连接MN，则MN的最小值是 . 2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B =30°,AC=2,点 D 是BC边上一个动点,连接AD,过点 D 作 DE⊥AD 交 AB 于点 E,则线段 AE 的最小值为 . 3. 如图,正方形ABCD 的边长为10,E为DA 延长线上一动点，连接BE，以BE 为边作等边△BEF,连接AF,则AF的最小值为 . 4. 模型迁移 如图，在平面直角坐标系中，OA=3,OB=4,点P的坐标为(4,0),点M,N分别在线段 AB,y 轴上,求 PN+MN 的最小值. 5.✔拔高 如图，某小区有一块圆形的空地⊙O,在⊙O上点A,B,C,D处安装四个景观灯.已经修好一条长为20米的经过圆心O的直路 BD，根据设计需要在边AD，CD 之间再修一条小路 EF，使得点 E，F 分别在边CD,AD上,为了美观使得CE=DF,B是的中点,经测量AB=12米,并以A,B,C,E,F为顶点整修一块周长最小的五边形绿化地.试问，是否存在符合要求的周长最小的五边形ABCEF? 若存在，请求出五边形AB-CEF 周长的最小值；若不存在，请说明理由. 课后练习 1．（2021•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（　　） A．3 B．6 C．3 D．6 2. 如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接BP． （1）线段BP的最小值为 　 　； （2）若以AP，BP为邻边作▱APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为 　 　． 3．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是 　 　． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为 　． 5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为 　 　． 6. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值． 7.（2023•江门三模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB+BC＝8，tanA，点O、D分别是边AB、AC上的动点，则OC+OD的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．（2021春•龙岗区月考）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝5，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 　5　． 9．（2024春•北京期中）如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABD＝30°，点P是对角线BD上一动点，Q是BC的中点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．6 B． C． D． 10．（2021春•金寨县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 11．在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，连接MN、CM，则CM+MN的最小值是多少？ 12. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是 　 　． 13.如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM+MN的最小值为 　 　． 14 .如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为 　 　． 15.如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值 　 　． 16. 如图，等边△ABC中，AB＝6，点P是BC边上一点，则AP的最小值是　 　。 解析提示： 17. 如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是　 　。 解析提示： 18.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是　 　。 19.如图，点A的坐标为(－1，0)，点B(a，a)，当线段AB最短时，点B的坐标为 。 20.如图，菱形ABCD的边长为9，面积为18，P、E分别为线段BD、BC上的动点，则PE+PC的最小值为 21.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上点，若AE=1，EM+CM的最小值为 。 22.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线且AD=12，是AD上的动点，是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 。 23.如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 。 24. 如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 25.如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（ ） A． B． C． D． 26.如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 27．如图，△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，则△ABC的面积为_；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则△DEF的周长最小值为_． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型9: 垂线段最短 类型 垂线段最短 两条线段和的最小值问题 图示 特点 直线l外一定点 A 和直线l上一动点 B 点 P 是∠AOB 内部一点,点M,N分别是OA,OB上的动点 结论 过点 A 作 AB⊥l于点 B,此时AB的值最小 作点 P 关于 OB的对称点P',过点 P'作 OA 的垂线,分别与OB,OA交于点 N,M,此时 PN +MN 的值最小 1. 找模型 遇到“一定点两动点”求线段和(其中一条线段为两动点的连线)最值问题，考虑垂线段最短模型 2. 用模型 通过对称的性质，三角形的三边关系及垂线段最短确定最值点位置 满分技法:求线段和最值实质上是将线段和转化到一条直线上，结合垂线段最短解决问题 结论：作点 P关于OB的对称点 P'，过点 P'作OA的垂线，分别与OB,OA交于点N,M,此时PN+MN的值最小 证明:如图,若M',N'为OA,OB上任意一点,连接 N'P',M'P', 则 ∴当P'M⊥OA时,PN+MN的值最小. 思考延伸:经典的“胡不归”就是垂线段最短问题 例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,点E是AB上任意一点,若AD=5,AC=4,则DE的最小值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 思路点拨:遇到角平分线和垂直，想到角平分线上的点到角的两边的距离相等. A 【解析】在 Rt△ACD 中,∵AD=5,AC= 当DE⊥AB 时,DE 的值最小(垂线段最短),∵ AD 是∠BAC的平分线,∠C=90°,∴ CD=DE(角平分线性质)，∴DE 的最小值为3. 例2 模型构造 如图,在△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D, E,F 分别是AD,AB上的动点,则BE+EF的最小值是 . 思路点拨：求线段和最小值，一定点两动点，先转化在一条线段，再利用垂线段 最短求解即可。 针对训练 1. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=2,点 P 是AB边上的一点(异于A,B两点)，过点 P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N，连接MN，则MN的最小值是 . 【解析】如解图,连接 PC.在△ABC中,∵ ∠ACB =90°,AC=6,BC=2,∴AB= PN⊥ BC,∴ ∠PMC = ∠PNC = ∠ACB =90°,∴四边形 PMCN 是矩形(三个角是直角的四边形是矩形)，∴MN=PC(矩形的对角线相等),当PC⊥AB 时,PC 的值最小(垂线段最短)，此时 (直角三角形等面积转化)，∴ MN 的最小值为 2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B =30°,AC=2,点 D 是BC边上一个动点,连接AD,过点 D 作 DE⊥AD 交 AB 于点 E,则线段 AE 的最小值为 . 2. 【解析】如解图，取AE 的中点 F，连接FD,过点 F 作 FG⊥BC 于点 G.设AE=x,则 ∠ACB=90°,∴ AB=4,BF =AB-AF =4- 解得 ∴线段 AE 的最小值为- . 3. 如图,正方形ABCD 的边长为10,E为DA 延长线上一动点，连接BE，以BE 为边作等边△BEF,连接AF,则AF的最小值为 . 3.5 【解析】如解图，以点 B 为旋转中心，将△ABF逆时针方向旋转60°,得到△GBE,连接AG,∴∠ABG=60°,AB=BG,AF=GE(旋转性质)，∴△ABG是等边三角形，且点 G 与直线AD 的位置保持不变,当EG⊥DA 时,GE的长最短( 垂线段最短),∵ AB = AG =10，∴最短长度为 故 AF 的最小值为5. 4. 模型迁移 如图，在平面直角坐标系中，OA=3,OB=4,点P的坐标为(4,0),点M,N分别在线段 AB,y 轴上,求 PN+MN 的最小值. 4. 解:∵OA=3,OB=4, ∴AB=5, 如解图,过点 P 作 PM'⊥AB 于点 M',交 y轴于点 N'. ,即PN+MN≥PM',根据垂线段最短可知，PN+MN的最小值为线段PM'的长, ∵∠BAO=∠PAM',∠AOB=∠AM'P=90°, ∴△ABO∽△APM', 相似三角形的判定与性质)， ∴PN+MN的最小值为2 5.✔拔高 如图，某小区有一块圆形的空地⊙O,在⊙O上点A,B,C,D处安装四个景观灯.已经修好一条长为20米的经过圆心O的直路 BD，根据设计需要在边AD，CD 之间再修一条小路 EF，使得点 E，F 分别在边CD,AD上,为了美观使得CE=DF,B是的中点,经测量AB=12米,并以A,B,C,E,F为顶点整修一块周长最小的五边形绿化地.试问，是否存在符合要求的周长最小的五边形ABCEF? 若存在，请求出五边形AB-CEF 周长的最小值；若不存在，请说明理由. 5.解:存在, 如解图,∵B 是AC 的中点,且BD是⊙O 的直径,∴ BC=AB = 12 米,∠BAD =∠BCD =90°,∠ADB=∠CDB(圆周角定理),由勾股定理得,AD=CD=16米, ∵ CE=DF,∴AF+CE=16米, ∴L五边形ABCEF=AB+BC+CE+EF+AF=12+12+16+EF=40+EF, ∴ 当EF 取最小值时,L'五边形ABCEF 就有最小值. 延长CD 至点 G,使 DG=CE,连接 GF 并延长,过E 作 EH⊥GF 于点 H. ∵CE=DF,DG=CE, ∴DF=DG, ∴∠GFD=∠DGF, 又∵∠ADB=∠CDB,∠ADC=∠GFD+∠DGF, ∴∠CDB=∠EGH, 又∵CE=DF, ∴EG=CD=16米. 在 Rt△BDC中, ∴在Rt△EGH中, 当点 F，H重合时，取等号， 米. 米, ∴存在符合要求的周长最小的五边形ABCEF，它的周长最小值为49.6米. 课后练习 1．（2021•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（　　） A．3 B．6 C．3 D．6 【答案】A 【解答】解：如图，连接DE， 在△DPE中，DP+PE＞DE， ∴当点P在DE上时，PD+PE的最小值为DE的长， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝AD， ∴tan∠ABO＝＝， ∴∠ABO＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∵点E是AB的中点， ∴DE⊥AB， ∵sin∠ABD＝， ∴＝， ∴DE＝3， 故选：A． 2. 如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接BP． （1）线段BP的最小值为 　 　； （2）若以AP，BP为邻边作▱APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为 　 　． 答案：（1）当BP⊥AC时，BP取最小值， ∵AC＝8，∠BAC＝30°， ∴AB＝AC•cos30°＝4， ∴BP 最小＝AB•sin30°＝2； 故答案为：2； （2）根据题意，作图如下： ∵四边形APBQ是平行四边形， ∵AO＝AB＝2，PQ＝2OP， ∴要求PQ的最小值，即求OP的最小值，当OP⊥AC时，OP取最小值， ∴OP＝AO•sin30°＝， ∴PQ的最小值为2． 3．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是 　 　． 答案：解：如图，∵CA＝CB，D是AB的中点， ∴CD是∠ACB的平分线， ∴点N关于CD的对称N′在AC上， 过点B作BH⊥AC于点H． ∵AC＝6，S△ABC＝12， ∴×6•BH＝12， 解得BH＝4， ∵BM+MN＝BM+MN′≥BH＝4， ∴BM+MN的最小值为4． 故答案为：4． 方法二：∵CA＝CB，D是AB的中点， ∴CD是AB的垂直平分线， ∴BM＝AM， BM+MN＝AM+MN， 当AN⊥BC时最小， ∴BM+MN的最小值为4． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为 　． 答案：解：在Rt△ABC中， tanB＝， ∴AC＝． ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝． 在Rt△ACD中， tan∠CAD＝， ∴CD＝． ∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC， ∴点D到AB边的距离等于线段CD的长， 即线段DE长度的最小值为2． 5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为 　 　． 5.解：如图，在AD上取一点P，使得PD＝PB，连接BP，PC，EC，过点C作CJ⊥BP于点J，过点E作EK⊥BP于点K． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝6，AD∥BC，∠A＝90°， 设PD＝PB＝x，则x2＝（6﹣x）2+42， ∴x＝， ∵S△PBC＝•PB•CJ＝×6×4， ∴CJ＝， ∵AD∥CB， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵PD＝PB， ∴∠PDB＝∠PBD， ∴∠PBD＝∠PBC， ∵EK⊥BC，EK⊥BP， ∴EF＝EK， ∵EG⊥CD， ∴∠EFC＝∠FCG＝∠CGF＝90°， ∴四边形EFCG是矩形， ∴FG＝EC， ∴EF+FG＝EK+CE≥CJ＝， ∴EF+FG 的最小值为． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值． 【思路引领】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABCAB•CMAC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值． 【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵AD是∠BAC的平分线． ∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°， ∴AB10． ∵S△ABCAB•CMAC•BC， ∴CM， 即PC+PQ的最小值为． 【总结提升】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置． 7.（2023•江门三模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB+BC＝8，tanA，点O、D分别是边AB、AC上的动点，则OC+OD的最小值为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】如图，作C关于AB的对称点C'，连接CC'，交AB于E，过C'作C'D⊥AC于D，交AB于O，则OC＝C'O，此时OC+OD的值最小，就是C'D的长，根据相似三角形对应边的比可得结论． 【解答】解：作C关于AB的对称点C'，连接CC'，交AB于E，过C'作C'D⊥AC于D，交AB于O，则OC＝C'O，此时OC+OD的值最小，就是C'D的长； ，△ABC中，∠ACB＝90°，tanA， ∴tanA， ∴， ∵AB+BC＝8， ∴BC＝3，AB＝5，AC＝4， ∵S△ABCBC•ACAB•CE， ∴3×4＝5CE， ∴CE， ∴CC'＝2CE， ∵∠C'EO＝∠ODA＝90°，∠C'OE＝∠AOD， ∴∠A'＝∠C， ∵∠CDC'＝∠ACB＝90°， ∴△CDC'∽△ACB， ∴，即 ∴C'D， 即OC+OD的最小值为是； 故选：D． 【总结提升】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题． 8．（2021春•龙岗区月考）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝5，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 　5　． 【思路引领】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案． 【解答】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小， 当PM⊥OC时， 又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3， ∴PM＝PD＝5， 故PM的最小值为5， 故答案为：5． 【总结提升】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 9．（2024春•北京期中）如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABD＝30°，点P是对角线BD上一动点，Q是BC的中点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．6 B． C． D． 【思路引领】点Q和点C是定点，点P在直线BD上一动点，是轴对称最值问题，连接CQ，由菱形的对称性可知，点A和点C关于BD对称，连接AQ，AQ即为所求． 【解答】解：如图，由菱形的对称轴可知，点A和点C关于BD对称，连接AQ，AQ即为所求． 连接AC， ∵∠ABD＝30°，四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∵点Q为BC的中点， ∴AQ⊥BC， ∵菱形ABCD的周长为24， ∴AB＝BC＝6， 在Rt△ABQ中，∠ABC＝60°， ∴∠BAQ＝30°， ∴BQAB3， ∴AQBQ＝3． 故选：B． 【总结提升】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 10．（2021春•金寨县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【思路引领】连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC即可得出结果． 【解答】解：连接MC，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，∠DBC＝45°， ∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F ∴四边形MECF为矩形， ∴EF＝MC， 当MC⊥BD时，MC取得最小值， 此时△BCM是等腰直角三角形， ∴MCBC， ∴EF的最小值为； 故选：D． 【总结提升】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键． 11．在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，连接MN、CM，则CM+MN的最小值是多少？ 【思路引领】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC＝4，∠ABC＝30°，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长． 【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC， ∵BD平分∠ABC， ∴M′E＝M′N′， ∴M′N′+CM′＝EM′+CM′＝CE， 则CE即为CM+MN的最小值， ∵BC＝4，∠ABC＝30°， ∴CE＝BC•sin30°＝42． ∴CM+MN的最小值是2． 【总结提升】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键． 12. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是 　 　． 【解答】解：如图所示： ∵AP⊥l于点P， ∴AP是点A到直线l的最短距离． 13.如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM+MN的最小值为 　 　． 【答案】（1）2 （2） 14 .如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为 　 　． 【答案】 15.如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值 　 　． 【答案】 16. 如图，等边△ABC中，AB＝6，点P是BC边上一点，则AP的最小值是　 　。 解析提示： 【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图， ∵△ABC为等边三角形，∴BH＝CH＝BC＝3， ∴AH＝＝3， 当P点与H点重合时，AP的值最小，∴AP的最小值是3． 17. 如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是　 　。 解析提示： 【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值， ∵BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴CE＝BC•cos45°＝4×＝4． 故CM+MN的最小值为4． 18.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是　 　。 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∵当PC⊥AB时，PC的值最小， 此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC， ∴5PC＝3×4， ∴PC＝2.4， 19.如图，点A的坐标为(－1，0)，点B(a，a)，当线段AB最短时，点B的坐标为 。 【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E， ∵垂线段最短， ∴当点B与点D重合时线段AB最短． ∵直线OB的解析式为y＝x， ∴△AOD是等腰直角三角形， ∴OE＝OA＝1， ∴D（﹣，﹣）． 故答案为：（﹣，﹣）． 20.如图，菱形ABCD的边长为9，面积为18，P、E分别为线段BD、BC上的动点，则PE+PC的最小值为 【解答】解：如图，连接AP，过点A作AH⊥BC于H． ∵四边形ABCD是菱形，∴A，C关于BD对称， ∴PA＝PC，∴PE+PC＝AP+PE， ∵AP+PE≥AH，∴PE+PC≥AH， ∵S菱形ABCD＝BC•AH， ∴AH＝＝2， ∴PE+PC≥2， ∴PE+PC的最小值为2，故答案为：2． 21.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上点，若AE=1，EM+CM的最小值为 。 【解答】解：连接BE，与AD交于点M．则BE就是EM+CM的最小值， 过B作BN⊥AC于N， ∵△ABC是等边三角形， ∴AN＝AC， ∵等边△ABC的边长为4， ∴AC＝4，∵AE＝1， ∴NE＝1，BN＝AB＝2， ∴BE＝＝＝， ∴EM+CM的最小值为， 故答案为：． 22.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线且AD=12，是AD上的动点，是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 。 【解答】解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N， ∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线， ∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC， ∴M在AB上， 在Rt△ABD中，AD＝12， ∴S△ABC＝×BC×AD＝×AB×CN， ∴CN＝＝＝， ∵E关于AD的对称点M， ∴EF＝FM， ∴CF+EF＝CF+FM＝CM， 根据垂线段最短得出：CM≥CN， 即CF+EF≥， 即CF+EF的最小值是， 故答案为：． 23.如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 。 【解答】解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′， ∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′， ∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE， ∴△DAF≌△D′AF， ∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝2， ∴D′P′即为DQ+PQ的最小值， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAD′＝45°， ∴AP′＝P′D′， ∴在Rt△AP′D′中， P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝4， ∵AP′＝P′D'， 2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝4， ∴P′D′＝，即DQ+PQ的最小值为．故答案为：． 24. 如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形EDFB是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=BD，则EF的最小值即为BD的最小值，根据垂线段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高． 【详解】 解：如图，连接BD． ∵在△ABC中，AB＝12，BC＝5，， ∴AB2+BC2＝AC2，即AC=． 又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F， ∴四边形EDFB是矩形， ∴EF＝BD． ∵BD的最小值即为Rt△ABC斜边上的高， ∴，即， ∴EF的最小值为， 故选B． 【点睛】 此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，三角形面积，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 25.如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 作点A关于BC的对称点A'，连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE = CD，AD= A'D，从而得出AD+ DE = A'D+ DE，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值． 【详解】 如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E ∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2 ∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C= 30o ∴DE =CD,即2DE = CD ∵A与A'关于BC对称 ∴AD= A'D ∴AD+ DE = A'D+ DE ∴当A'，D, E在同一直线上时 AD + DE的最小值等于A' E的长, 在Rt△AA' E中：A' E= sin60o×AA'=×2= 3 ∴AD十DE的最小值为3 ∴2AD十CD的最小值为6 故选B 【点睛】 本题主要考察了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键． 26.如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 作N关于BD的对称点，根据轴对称性质、两点之间线段最短和垂线段最短的定理可以得到CM+MN 的最小值即为C点到AB的垂线段，因此根据面积公式可以得解． 【详解】 解：如图，作N关于BD的对称点，连结N，与BD交于点O，过C作CE⊥AB于E，则 ∵BD平分 ∠ABC ， ∴在AB上，且MN=M， ∴CM+MN=， ∴根据两点之间线段最短可得CM+MN 的最小值为，即C点到线段AB某点的连线， ∴根据垂线段最短，CM+MN 的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度， ∵△ABC 的面积为 10 ， ∴， ∴CE=5， 故选B． 【点睛】 本题考查轴反射的综合运用，熟练掌握轴反射的特征、两点之间线段最短及垂线段最短等性质是解题关键．　 27．如图，△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，则△ABC的面积为_；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则△DEF的周长最小值为_． 【答案】6+2 【分析】 （1）过点A作AH⊥BC于H，根据∠BAC＝75°，∠C＝60°，即可得到 （2）过点B作BJ⊥AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时△FE′D′的周长＝MN的长，然后证明△BMN是等腰直角三角形，BM的值最小时，MN的值最小，再根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，由此求解即可. 【详解】 解：①如图，过点A作AH⊥BC于H． ∴∠AHB=∠AHC=90°， ∵∠BAC＝75°，∠C＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝45°，∠HAC=30° ∴BH=AH， ∴ ∴AH＝BH＝2， ∴BC＝BH+CH＝2+2， ∴S△ABC＝•BC•AH＝•（2+2）＝6+2． ②如图，过点B作BJ⊥AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时△FE′D′的周长＝MN的长． ∵BF＝BM＝BM，∠ABM＝∠ABJ，∠CBJ＝∠CBN， ∴∠MBN＝2∠ABC＝90°， ∴△BMN是等腰直角三角形， ∴BM的值最小时，MN的值最小， 根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小， ∵, ∴MN的最小值为BJ＝， ∴△DEF的周长的最小值为． 故答案为：6+2，． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$