第五章 二元一次方程组（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第五章 二元一次方程组（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．6y+x＝1 B．4x﹣7y＝6z C． D．x2﹣y＝3 2．（3分）若是二元一次方程x﹣my＝1的一个解，则m的值为（　　） A．﹣1 B． C．1 D． 3．（3分）已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的平方根为（　　） A．2 B．4 C．± D．±2 4．（3分）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 5．（3分）我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（　　）两． A． B． C． D． 6．（3分）某校学生去参加活动，若单独调配30座（不含司机）客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座（不含司机）客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位．设计划调配30座客车x辆，该大学共有y名大学生志愿者，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）某学校为学生配备物理电学实验器材，一个电表包内装有1个电压表和2个电流表．某生产线共60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表．若分配x名工人生产电压表，y名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压、电流表配成套，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 8．（3分）若方程组的解中x与y的差等于5，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为2厘米的小正方形．设一个小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，则所列二元一次方程组是 　 　． 10．（3分）若是方程2x﹣y＝1的解，则4a﹣2b﹣5＝　 　． 11．（3分）已知关于x，y的方程组，小明看错a得到的解为，小亮看错了b得到的解为，则原方程组正确的解为 　 　． 12．（3分）方程3x+2y＝15的正整数解有 　 　个． 13．（3分）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（9分）解方程组： （1）2（x+2）+1＝7﹣2（x﹣1）． （2） ． 15．（8分）某科技馆是一座集科普展览、科教影视、科技培训、学术交流和天文观测等多功能为一体的重要科普场所．为让学生直观感受科技的魅力，学校组织九年级师生参观科技馆．已知学校租用了A，B两种型号的大巴车共6辆，其中每辆A型大巴车载客45人，每辆B型大巴车载客60人，前往参观的师生330人正好坐满全部座位．求租用A型和B型大巴车的数量． 16．（9分）某大型物流公司急需将170吨物资运送到甲、乙两地，现有A、B两种车型可供选择，每辆车的运载能力和运费表示如下：（假设每辆车均达到最大满载量） 车型 A B 汽车运载量（吨/辆） 5 8 汽车运费（元/辆） 600 800 （1）若要将全部物资用A、B两种车型来运送，运费恰好是18000元，问需A、B两种车型各几辆？ （2）因特殊情况安排，部分司机参与其他活动，该物流公司经理调拨一种载重量为10吨的C种车型加入运送，恰好一次性全部运送完成，已知车辆总数为22辆（三种车辆都有），试通过计算判断有几种运送方案． 17．（8分）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为，解得， 把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得，解得， ∴原方程组的解为． （1）学以致用： 运用上述方法解方程组： （2）拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 　 　． 18．（9分）如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为（5x+4y）克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态． （1）若y＝3，求天平处于平衡状态时x的值． （2）若一个二元一次方程的解，m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程m+n＝2的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值． （3）期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求购买4本笔记本和5支圆珠笔的费用． 19．（9分）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案． 20．（9分）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费． （1）如果不使用优惠方案，某人购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元，如果使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品，应到哪家商场更省钱？ （2）若使用优惠方案前，顾客购物应付x（x＞100）元，请根据x的取值，讨论顾客消费多少钱时去乙商场购物更划算？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二元一次方程组（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．6y+x＝1 B．4x﹣7y＝6z C． D．x2﹣y＝3 【分析】根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、6y+x＝1，是二元一次方程，故本选项符合题意； B、4x﹣7y＝6z，属于三元一次方程，故本选项不符合题意； C、，是分式方程，故本选项不合题意； D、x2﹣y＝3，是二元二次方程，故本选项不合题意； 故选：A． 2．（3分）若是二元一次方程x﹣my＝1的一个解，则m的值为（　　） A．﹣1 B． C．1 D． 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：把代入方程x﹣my＝1得：2﹣m＝1， 解得：m＝1， 故选：C． 3．（3分）已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的平方根为（　　） A．2 B．4 C．± D．±2 【分析】由x＝2，y＝1是二元一次方程组的解，将x＝2，y＝1代入方程组求出m与n的值，进而求出2m﹣n的值，利用平方根的定义即可求出2m﹣n的平方根． 【详解】解：将代入方程组中，得：， 解得：， ∴2m﹣n＝6﹣2＝4， 则2m﹣n的平方根为±2． 故选：D． 4．（3分）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】等量关系为：生产镜片工人数量+生产镜架工人数量＝60，镜片数量＝2×镜架数量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架， 由题意，得． 故选：C． 5．（3分）我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（　　）两． A． B． C． D． 【分析】设一头牛值金x两，一头羊值金y两，根据牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两得：，即可解得答案． 【详解】解：设一头牛值金x两，一头羊值金y两， 根据题意得：， 解得， ∴一头牛值金两； 故选：D． 6．（3分）某校学生去参加活动，若单独调配30座（不含司机）客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座（不含司机）客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位．设计划调配30座客车x辆，该大学共有y名大学生志愿者，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设计划调配30座客车x辆，则只调配25座（不含司机）客车时，用车数量为（x+3）辆，根据若单独调配30座（不含司机）客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座（不含司机）客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位．列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设计划调配30座客车x辆，则只调配25座（不含司机）客车时，用车数量为（x+3）辆， 由题意得：． 故选：B． 7．（3分）某学校为学生配备物理电学实验器材，一个电表包内装有1个电压表和2个电流表．某生产线共60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表．若分配x名工人生产电压表，y名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压、电流表配成套，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等量关系为：电流表数量＝2×电压表数量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：若分配x名工人生产电压表，y名工人生产电流表，由题意得： ． 故选：D． 8．（3分）若方程组的解中x与y的差等于5，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6 【分析】将方程组中的两个方程相减得到：x﹣y＝﹣k+1，结合已知条件“x与y的差等于5”列出方程x﹣y＝﹣k+1＝5，由此求得k的值． 【详解】解：， 由①﹣②得：x﹣y＝﹣k+1． ∵方程组的解中x与y的差等于5， ∴﹣k+1＝5． 解得k＝﹣4． 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为2厘米的小正方形．设一个小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，则所列二元一次方程组是 　　． 【分析】根据图中的数量关系列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 10．（3分）若是方程2x﹣y＝1的解，则4a﹣2b﹣5＝　﹣3　． 【分析】由是方程2x﹣y＝1的解，可得出2a﹣b＝1，再将其代入4a﹣2b﹣5＝2（2a﹣b）﹣5中，即可求出结论． 【详解】解：∵是方程2x﹣y＝1的解， ∴2a﹣b＝1， ∴4a﹣2b﹣5＝2（2a﹣b）﹣5＝2×1﹣5＝﹣3． 故答案为：﹣3． 11．（3分）已知关于x，y的方程组，小明看错a得到的解为，小亮看错了b得到的解为，则原方程组正确的解为 　　． 【分析】根据甲看错a则求得的解满足b，乙看错了b则求得的解满足a，据此求出a、b的值进而得到原方程组，再利用代入消元法求解即可． 【详解】解：∵在解方程组时， 小明看错了a，解得， ∴1+2b＝2，解得， ∵小亮看错了b，解得， ∴a+2＝1，解得a＝﹣1， ∴原方程组为， 由①得：x＝2y﹣1③， 把③代入②得，解得y＝2， 将y＝2代入③得x＝2×2﹣1＝3， ∴方程组的解为． 故答案为：． 12．（3分）方程3x+2y＝15的正整数解有 　2　个． 【分析】根据解为正整数列举即可． 【详解】解：方程3x+2y＝15的正整数解有，，共2个， 故答案为：2． 13．（3分）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝　0　． 【分析】根据三阶幻方的定义，得出关于m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，再代入要求的式子计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴mn＝06＝0， 故答案为：0． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（9分）解方程组： （1）2（x+2）+1＝7﹣2（x﹣1）． （2）． 【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可； （2）应用加减消元法，求出方程组的解即可． 【详解】解：（1）去括号，可得：2x+4+1＝7﹣2x+2， 移项，可得：2x+2x＝7+2﹣4﹣1， 合并同类项，可得：4x＝4， 系数化为1，可得：x＝1． （2）， 由①，可得2x﹣y＝6③， 由②，可得6x﹣4y＝18④， ③×4﹣④，可得2x＝6， 解得x＝3， 把x＝3代入③，可得：2×3﹣y＝6， 解得y＝0， ∴原方程组的解是． 15．（8分）某科技馆是一座集科普展览、科教影视、科技培训、学术交流和天文观测等多功能为一体的重要科普场所．为让学生直观感受科技的魅力，学校组织九年级师生参观科技馆．已知学校租用了A，B两种型号的大巴车共6辆，其中每辆A型大巴车载客45人，每辆B型大巴车载客60人，前往参观的师生330人正好坐满全部座位．求租用A型和B型大巴车的数量． 【分析】方法一：先设租用A型大巴车x辆，B型大巴车y辆，然后根据题意即可列出二元一次方程组，再求解即可； 方法二：设租用A型大巴车x辆，则租用B型大巴车（6﹣x）辆，然后即可列出一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：方法一：设租用A型大巴车x辆，B型大巴车y辆， 由题意可得：， 解得， 答：租用A型大巴车2辆，B型大巴车4辆． 方法二：设租用A型大巴车x辆，则租用B型大巴车（6﹣x）辆， 由题意可得：45x+60（6﹣x）＝330， 解得x＝2， ∴6﹣x＝4， 答：租用A型大巴车2辆，B型大巴车4辆． 16．（9分）某大型物流公司急需将170吨物资运送到甲、乙两地，现有A、B两种车型可供选择，每辆车的运载能力和运费表示如下：（假设每辆车均达到最大满载量） 车型 A B 汽车运载量（吨/辆） 5 8 汽车运费（元/辆） 600 800 （1）若要将全部物资用A、B两种车型来运送，运费恰好是18000元，问需A、B两种车型各几辆？ （2）因特殊情况安排，部分司机参与其他活动，该物流公司经理调拨一种载重量为10吨的C种车型加入运送，恰好一次性全部运送完成，已知车辆总数为22辆（三种车辆都有），试通过计算判断有几种运送方案． 【分析】（1）设需A车型x辆，B车型y辆，根据需将170吨物资运送到甲、乙两地，运费恰好是18000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设需A车型a辆，B车型b辆，则需C车型（22﹣a﹣b）辆，根据恰好一次性全部运送完成170吨物资（三种车辆都有），列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解，即可得出结论． 【解答】解：（1）设需A车型x辆，B车型y辆， 由题意得：， 解得：， 答：需甲车型10辆，需车型15辆； （2）设需A车型a辆，B车型b辆，则需C车型（22﹣a﹣b）辆， 由题意得：5a+8b+10（22﹣a﹣b）＝170， 整理得：a＝10b， ∵a、b均为正整数，且a+b＜22， ∴或或， 有3种运送方案： ①A车型8辆，B车型5辆，C车型9辆； ②A车型6辆，B车型10辆，C车型6辆； ③A车型4辆，B车型15辆，C车型3辆． 17．（8分）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为，解得， 把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得，解得， ∴原方程组的解为． （1）学以致用： 运用上述方法解方程组： （2）拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 　　． 【分析】（1）结合题意，利用整体代入法求解，令m＝x+1，n＝y﹣2得，解得即即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令x＝m+2，y＝﹣3n，则可化为，且解为则有，求解即可． 【详解】解：（1）令m＝x+1，n＝y﹣2， 原方程组化为， 解得， ∴， 解得：， ∴原方程组的解为 ； （2）在中，令x＝m+2，y＝﹣3n， 则可化为， ∵方程组解为， ∴， 解得：． 18．（9分）如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为（5x+4y）克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态． （1）若y＝3，求天平处于平衡状态时x的值． （2）若一个二元一次方程的解，m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程m+n＝2的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值． （3）期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求购买4本笔记本和5支圆珠笔的费用． 【分析】（1）由题意得5x+4y＝2×15，再代入y＝3得5x+4×3＝30，即可得出结论； （2）由题意得5x+4y＝30，求出正整数解即可； （3）设笔记本的单价为x元，圆珠笔的单价为y元，根据购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】解：（1）由题意得：5x+4y＝2×15， ∵y＝3， ∴5x+4×3＝30， 解得：x＝3.6， 即y＝3，天平处于平衡状态时x的值为3.6； （2）由题意得：5x+4y＝2×15， 即5x+4y＝30， 整理得：x＝6y， ∵x，y为正整数， ∴； （3）设笔记本的单价为x元，圆珠笔的单价为y元， 由题意得：5x+8y＝120， 整理得：x＝24y， ∵x、y为正整数， ∴或， 当x＝16，y＝5时，4x+5y＝4×16+5×5＝89； 当x＝8，y＝10时，4x+5y＝4×8+5×10＝82； 答：购买4本笔记本和5支圆珠笔的费用为89元或82元． 19．（9分）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案． 【分析】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，由“用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合a、b均为非负整数，即可得出各租车方案． 【解答】解：（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨； （2）由题意得：3a+4b＝31， ∴a， 又∵a、b均为非负整数， ∴或或， ∴该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 20．（9分）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费． （1）如果不使用优惠方案，某人购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元，如果使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品，应到哪家商场更省钱？ （2）若使用优惠方案前，顾客购物应付x（x＞100）元，请根据x的取值，讨论顾客消费多少钱时去乙商场购物更划算？ 【分析】（1）设不使用优惠方案购买A、B商品的单价分别为x、y，然后根据“某人购买3件A商品和2件B商品应付80元，购买4件A商品和1件B商品应付65元”列方程组求出x、y，再分别按照甲、乙两商场的优惠方案计算、比较即可； （2）先分别按照甲、乙两商场在x＞100时使用优惠方案的表达式，然后分类讨论即可解答． 【详解】解：（1）设不使用优惠方案购买A、B商品的单价分别为x、y， 由题意可得：， 解得， 使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品： 若在甲商场购买应付：（3×10+6×25﹣100）×90%+100＝172（元）， 若在乙商场购买应付：（3×10+6×25﹣50）×95%+50＝173.5（元）， 所以在甲商场更优惠． （2）在甲商场购买应付费用：（x﹣100）×90%+100＝0.9x+10， 在乙商场购买应付费用：（x﹣50）×95%+50＝0.95x+2.5， ①若两商场购物花费一样：则0.9x+10＝0.95x+2.5， 解得：x＝150， ∴当累计购物150元时，到两商场购物花费一样． ②若到甲商场购物花费少：0.9x+10＜0.95x+2.5， 解得：x＞150， ∴累计购物超过150元时，到甲商场购物合算． ③若到乙商场购物花费少：0.9x+10＞0.95x+2.5， 解得：x＜150， ∴累计购物超过100元不到150元时，到乙商场购物合算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$