专题08 倍长中线模型-2025年初中数学几何模型全合集（不分教材通用版）

模型8: 倍长中线模型 类型 倍长中线 图示 特点 AD 是△ABC边BC的中线,延长AD至点E,使AD=ED,连接BE 结论 △ACD≌△EBD,AC∥BE 1.找模型 遇到“中线”或与中点有关的线段可考虑倍长中线模型. 2. 用模型 通过倍长中线或作平行线构造全等三角形，用全等的性质解决线段相关问题. 结论:△ACD≌△EBD,AC∥BE 证明:如图,∵AD 是△ABC的边BC的中线, ∴CD=BD, 在△ACD和△EBD中, ∴△ACD≌△EBD(SAS), ∴∠ACD=∠EBD,∴AC∥BE. 思考延伸:同种辅助线的不同作法：过点 B作AC 的平行线，交 AD 的延长线于点E，同样可证得△ACD≌△EBD. 拓展方向：点E 不在端点时的情况，称“类中线” 类型 倍长类中线 图示 特点 点 D 是边BC的中点，点E 是AB 上一点，连接ED 并延长至点 F,使DF=DE,连接CF 结论 △BDE≌△CDF,BE∥FC 思考延伸:同种条件，不同辅助线作法：分别过点B，C 作ED的垂线交于点M,N,可得到△BMD≌△CND,再利用全等三角形的性质解题. 例1 模型构造如图,在△ABC中,AD 是边BC 上的中线,∠BAD= 70°,∠DAC=40°,AD长为4,则线段AC的长为 . 思路点拨:AD 为边 BC 中线，利用倍长中线构造全等三角形将已知线段进行转化求解. 例2 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,连接DC,作 DE⊥DC交AC 于点 E.若AB=10,AE=2,则 CE的长为 . 思路点拨:点 D 是 AB 的中点,且已知AE长，可倍长类中线DE 构造全等三角形，利用勾股定理进行求解. 针对训练 1. 如图,已知 D 为△ABC 的边 BC 的中点,DE⊥DF,则BE+CF的长 ( ) A. 大于EF B. 小于 EF C. 等于 EF D. 等于 EF 2. 如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E是AD上的一点,AE=2DE,AE=3,BE=5,CE=4,则△ABC的面积为 . 3. 如图,△ABC 是直角三角形,点 D 是 CB 延长线上一点,且 DB=BC,点 E 为 AB 上一点,连接DE,若DE=4,∠DEB=∠A,则AC的长为 . 4. 如图, 中， 点 F是 BA延长线上一点，过点 F 作 交CA 延长线于点 D,点 E 是 CD 的中点,若BF=12,DF=5,,则EF的长是 . 5. 如图,在正方形ABCD中,E是AB的中点,F是 BC 上异于 C 点的任意一点,且∠EFD =∠ADF,则tan∠CDF 的值为 . 6. () 创新题型-真实情境类试题)问题提出 (1)如图①,在△ABC中,AB=8,AC=6,D为 BC 边上的中点,连接 AD,则 AD 的取值范围为 ； 问题解决 (2)如图②，某市政中心有一块旧城改造后的圆形空地⊙O，计划修建一个户外健身区为△ABC,要求点A在 上，已知户外健身区中间有条已修好的小路AD，且D 为 BC中点， 米(道路宽度忽略不计)，根据设计要求户外健身区△ABC 的面积尽可能的大且小路AD 两侧的面积相等，已知∠ABC+∠ACB=60°,试问能否建一个满足要求的面积最大的户外健身区△ABC? 若能，请求出. 面积的最大值及此时⊙O的直径；若不能，请说明理由. 课后练习 一、单选题 1．是的中线，若，则的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．10 2．生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 3．如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．小江在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”你可能不会求解，但你可以根据所学知识，帮助小江推断下面答案可能的一项是（    ） A． B．2 C． D．4 二、填空题 6．在中，是边上的中线，则的取值范围是 ． 7．如图，在中，点E是的中点，，的长为m，则m的取值范围是 ． 8．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 9．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ．    10．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 11．如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是( ) 12．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． . 三、解答题 13．如图，在△和△中，，，．连接，取中点，连接，求证：为等腰直角三角形． 14．问题提出： 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，△ABC中，，，为上一点，当时，与△CBP是偏等积三角形； 问题探究： （1）如图2，与是偏等积三角形，，，过点作交的延长线于点，则AD的取值范围为 ； 问题解决： （2）如图3，四边形是一片绿色花园，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，． ①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知，的面积为．如图，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 15．综合与实践 【问题引入】：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 【理解应用】：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 【感悟应用】：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 16．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 17．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 18．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. (1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； (2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 19．【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 20．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 21．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 22．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 23．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 24．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 25．八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 26．嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．    (1)请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ ① （      ②    ） 又∵是的一个外角 ∴（   ③         ） ∴ ☆                                即（等量代换） ∴在中，若，则 (2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型8: 倍长中线模型 类型 倍长中线 图示 特点 AD 是△ABC边BC的中线,延长AD至点E,使AD=ED,连接BE 结论 △ACD≌△EBD,AC∥BE 1.找模型 遇到“中线”或与中点有关的线段可考虑倍长中线模型. 2. 用模型 通过倍长中线或作平行线构造全等三角形，用全等的性质解决线段相关问题. 结论:△ACD≌△EBD,AC∥BE 证明:如图,∵AD 是△ABC的边BC的中线, ∴CD=BD, 在△ACD和△EBD中, ∴△ACD≌△EBD(SAS), ∴∠ACD=∠EBD,∴AC∥BE. 思考延伸:同种辅助线的不同作法：过点 B作AC 的平行线，交 AD 的延长线于点E，同样可证得△ACD≌△EBD. 拓展方向：点E 不在端点时的情况，称“类中线” 类型 倍长类中线 图示 特点 点 D 是边BC的中点，点E 是AB 上一点，连接ED 并延长至点 F,使DF=DE,连接CF 结论 △BDE≌△CDF,BE∥FC 思考延伸:同种条件，不同辅助线作法：分别过点B，C 作ED的垂线交于点M,N,可得到△BMD≌△CND,再利用全等三角形的性质解题. 例1 模型构造如图,在△ABC中,AD 是边BC 上的中线,∠BAD= 70°,∠DAC=40°,AD长为4,则线段AC的长为 . 思路点拨:AD 为边 BC 中线，利用倍长中线构造全等三角形将已知线段进行转化求解. 8 【解析】如解图,延长AD 至点 E,使AD=DE,连接BE,∵AD 是边 BC 上的中线,∴BD=CD,∵ ∠ADC=∠EDB,∴ △ADC≌△EDB(SAS),∴AC=EB,∠DAC=∠DEB=40°,∵∠BAD=70°,∴∠ABE=180°-∠BAD-∠DEB=180°-70°-40°= 70°,∴ ∠ABE =∠BAE,∴BE=AE=2AD=8,∴AC=8. 例2 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,连接DC,作 DE⊥DC交AC 于点 E.若AB=10,AE=2,则 CE的长为 . 思路点拨:点 D 是 AB 的中点,且已知AE长，可倍长类中线DE 构造全等三角形，利用勾股定理进行求解. 【解析】如解图，延长ED 至点F,使 DF=DE,连接BF,CF.∵ D 为 AB 的中点,∴AD=BD,在△AED和△BFD中, ∴ ∠DBF = ∠A,BF = AE = 2,∵ ∠ACB =90°,∴∠A+∠ABC=90°,∴∠DBF+∠ABC=∠CBF=90°,∵ DE⊥DC,∴ CD 垂直平分EF,∴CF=CE,设CE=x,则 CF=x,AC=2+x,在 Rt△CBF中,. 在Rt△ABC 中, 解得 (负值已舍去). 针对训练 1. 如图,已知 D 为△ABC 的边 BC 的中点,DE⊥DF,则BE+CF的长 ( ) A. 大于EF B. 小于 EF C. 等于 EF D. 等于 EF 1. A 【解析】如解图,延长ED 到点 G,使 DG=ED,连接CG,FG[倍长中线模型].由 BD=CD,∠BDE=∠CDG,可证得△BED≌△CGD(SAS),∴ CG= BE,∵ DE⊥DF,DG=ED,∴EF=FG.在△FCG中,CG+CF>FG,∴BE+CF>EF. 2. 如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E是AD上的一点,AE=2DE,AE=3,BE=5,CE=4,则△ABC的面积为 . 2. 18 【解析】如解图,延长AD到点 F,使ED=DF,连接 CF[倍长中线模型],∴ EF =2DE,∵ AE =2DE,AE = 3,∴ EF=AE =3,∵BD= CD,∠BDE = ∠CDF,∴ △BDE ≌△CDF(SAS),∴ CF = BE = 5,∵ CE = 4, 21 12,∴ S△ABC=18. 3. 如图,△ABC 是直角三角形,点 D 是 CB 延长线上一点,且 DB=BC,点 E 为 AB 上一点,连接DE,若DE=4,∠DEB=∠A,则AC的长为 . 3. 4 【解析】如解图,延长AB 至点 F,使AB=FB,连接DF[倍长中线模型],∵点 B 为 DC的中点,∴ CB=DB,在△ABC 和△FBD 中,CB=DB,∠ABC=∠FBD,AB=FB,∴△ABC≌△FBD(SAS),∴AC=DF,∠A=∠F,∵∠DEB=∠A,∴∠DEB=∠F,∴DE=DF,∵DE=4,∴AC=DF=DE=4. 4. 如图, 中， 点 F是 BA延长线上一点，过点 F 作 交CA 延长线于点 D,点 E 是 CD 的中点,若BF=12,DF=5,,则EF的长是 . 4. 【解析】如解图,延长 FE 交 BC 于点 G,∵ FD∥BC.∴∠D=∠C,∠DFE=∠CGE.又∵点E 是 CD 的中点,∴ DE = CE,∴ △FED ≌△GEC(AAS)[倍长中线模型],∴ FE=GE,FD=GC=5.∵BC=10,∴BG=5,在Rt△FBG中, 5. 如图,在正方形ABCD中,E是AB的中点,F是 BC 上异于 C 点的任意一点,且∠EFD =∠ADF,则tan∠CDF 的值为 . 5. 【解析】如解图，延长 FE 至点 G，使得EG=EF,连接AG,设正方形 ABCD 的边长为1,CF=x,则 BF=1-x,∵E 是 AB 的中点,∴AE=BE,∵ ∠AEG = ∠BEF,∴ △AEG≌△BEF(SAS)[倍长中线模型],∴AG=BF=1-x,∠EAG=∠EBF=∠BAD=90°,∴D,A,G三点共线,∵∠EFD=∠ADF,∴GF=GD=1- 在 Rt△BEF中，由勾股定理得， 即(1- 解得 或x=1(舍去), 6. () 创新题型-真实情境类试题)问题提出 (1)如图①,在△ABC中,AB=8,AC=6,D为 BC 边上的中点,连接 AD,则 AD 的取值范围为 ； 问题解决 (2)如图②，某市政中心有一块旧城改造后的圆形空地⊙O，计划修建一个户外健身区为△ABC,要求点A在 上，已知户外健身区中间有条已修好的小路AD，且D 为 BC中点， 米(道路宽度忽略不计)，根据设计要求户外健身区△ABC 的面积尽可能的大且小路AD 两侧的面积相等，已知∠ABC+∠ACB=60°,试问能否建一个满足要求的面积最大的户外健身区△ABC? 若能，请求出. 面积的最大值及此时⊙O的直径；若不能，请说明理由. 6. 解:(1)1<AD<7; 【解法提示】如解图①，延长AD 至点 E，使得DE=AD,连接BE,∵ D为BC的中点,∴BD=CD,又∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,∴△ADC≌△EDB(SAS),∴AC=EB=6,在△ABE中,由三边关系得2<AE<14,∴1<AD<7. (2)能; 如解图②,延长 AD 至点 E,使 DE =AD =200 米,连接CE,易证△CDE≌△BDA, ∴∠DCE=∠ABC,S△ABC=S△AEC, ∵∠ABC+∠ACB=60°, ∴∠ACE=60°,AE=400 米, ∴作△ACE的外接圆⊙P,连接CP,EP,DP,则DP⊥AE,∠EPD=∠ECA=60°, ∴在Rt△PDE中,PD=200米,EP=400米, ∴CP=EP=400米, 过点 C 作CH⊥AE于点 H, ∵CH≤PC+PD=600米, 当点 D，H重合时，取等号， 米, 平方米， 平方米， 当△ABC的面积最大时，△ABC是等腰三角形，此时△AEC为等边三角形，如解图③,当AB=AC,∠ABD=∠ACD=30°时,满足要求,连接DO,CO,易得∠OAC=60°, ∵OA=OC, ∴△ACO为等边三角形,在Rt△ADC中, 米, ∴米, ∴ 米,∴⊙O的直径为800 米. 综上所述，满足要求的户外健身区△ABC 最大面积为120000 平方米，此时⊙O 的直径为800 米. 课后练习 一、单选题 1．是的中线，若，则的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．10 1．D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，先画出图形，延长至点，使得，连接，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的三边关系定理即可得． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，则，   是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，即， ， 观察四个选项可知， 的长不可能是， 故选：D． 2．生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 2．A 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：延长到，使，连接，   点D是的边上的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，在数轴上表示不等式的解集，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长到点，使，连接，根据三角形的中线定义可得，然后利用证明，从而可得，再在中，利用三角形的三边关系求得的范围，再进行选择即可． 【详解】解：延长到点，使，连接， 是边上的中线， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 只有选项A符合要求， 故选：A 4．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 5．小江在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”你可能不会求解，但你可以根据所学知识，帮助小江推断下面答案可能的一项是（    ） A． B．2 C． D．4 5．C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形三边关系．延长至，使，连接，则，证明，得到，再根据三角形三边关系进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图设边上的中线为， ∵， ∴， 由题意得，， ∴，， ∴， 如图，延长至，使，连接，则，   ， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ． ∴． 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 二、填空题 6．在中，是边上的中线，则的取值范围是 ． 6． 【详解】此题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法的应用，延长到点，使，连接，证明，推出，根据三角形三边关系可得结论，正确掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【点睛】解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ，即， ， 故答案为：； 7．如图，在中，点E是的中点，，的长为m，则m的取值范围是 ． 7．/ 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、一元一次不等式组的求解等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．延长到点F，使，连接，可证得，根据即可求解． 【详解】解：延长到点F，使，连接， ∵点E是的中点， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵，且， ∴ ∴解得 故答案为： 8．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 8． 【分析】如图所示，延长至，使得，连接，可证，可得，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 9．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ．    9． 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用 ，熟记模型的构成及结论是解题关键． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接，    ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 10．12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 11．如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是( ) 11．①②④ 【分析】 根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，，，易证得，可得，即可对④进行判断． 【详解】 解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图    ∵，， ∴， ∴ 则在中， ∴，故②正确， 点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，如图，    ∵ ∴ 又∵与的面积相等 ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，如图，    由，，， ∴， ∴ ∴ 故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系以及平行线的判定，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键． 12．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． . 12． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】 如图，延长至G，使，连接， 在和中 ， ， ． ，， ， ， ， ． ， ， ． 故答案为： 三、解答题 13．如图，在△和△中，，，．连接，取中点，连接，求证：为等腰直角三角形． 13．见解析 【分析】本题主要考查了构造三角形全等．延长至使，连接、，延长交于，证明，则，，再证明，则，，据此即可证明为等腰直角三角形． 【详解】证明：延长至使，连接、，延长交于， ，，且， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形． 14．问题提出： 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，△ABC中，，，为上一点，当时，与△CBP是偏等积三角形； 问题探究： （1）如图2，与是偏等积三角形，，，过点作交的延长线于点，则AD的取值范围为 ； 问题解决： （2）如图3，四边形是一片绿色花园，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，． ①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知，的面积为．如图，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 14．（1）（2）①是，理由见详解②元 【分析】（1）由偏等积三角形的定义得，则，再证，则，，得，然后由三角形的三边关系求解即可； （2）①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论； ②过点作，交的延长线于，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得，，求出，即可求解． 【详解】解：（1）设点到的距离为，则，， 与是偏等积三角形， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， 在中，，， ， 即：， ∴ （2）①与是偏等积三角形，理由如下： 过作于，过作于，如图3所示： 则， 、是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， 与不全等， 与是偏等积三角形； ②如图4，过点作，交的延长线于， 则， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 由①得：与是偏等积三角形， ，， ， 修建小路的总造价为：（元． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、三边关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明和是解题的关键，属于中考常考题型． 15．综合与实践 【问题引入】：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 【理解应用】：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 【感悟应用】：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 15．（1）；（2）证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）延长至点E，使，连接，证明，得出，求出，得出即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，证明，得出，，，证明，得出即可得出结论； 【详解】解：（1）如图，延长至点E，使，连接， ∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∴， 即， ∴， ∴； （2）如图，延长至点F，使得，连接，则， ∵是的中线，即E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， 在和中， 得， ∴， ∴， ∴； 16．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 16．（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 17．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 17．(1)已作；对顶角相等；； (2) (3)6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； （2）由（1）得：，且，， ， 在中，， ； （3）延长交的延长线于F， ∵是的中线 ∴ ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是6． 18．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. (1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； (2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 18．(1)①见解析；②；③ (2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，解答本题的关键作出辅助线，构造出全等三角形． （1）①根据题意补全图形即可； ②由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； ③由，，根据三角形的三边关系有，即，因此； （2）延长，使得，连接，证明，可得，再证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意画出图形： ； ②解：是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ③解：， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，延长，使得，连接， 根据（1）中原理可得， ，， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 19．【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 19．（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解． 【详解】（1）解：如图②，为的中线， ， 又，， ， ， 在中，，，， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接， 点是的中点， ． ，， ， ，， ， ， ， ∴ ， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 20．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 20．(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 (2)C (3)见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可． （2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）判断，即可． 【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2） 解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线， , 在与中， , ， , 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴, 又 ∴， ，， ∵， ∴, , 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 21．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 21．（1）已作；对顶角相等；； （2） （3）6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； （2）由（1）得：，且，， ， 在中，， ； （3）延长交的延长线于F， ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是6． 22．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 22．（1）；（2）②③；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：②③； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4）如图3，，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 23．(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形； （2）证明：①延长至，使， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ∴， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 24．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 24．（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 25．八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 25．(1)B (2)C (3)证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理去选择即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可； （3）由“”可证，可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得平分． 【详解】（1）解：延长到点，使， ， 在和中， ， ， 故选：B． （2）解：， ， ，，， ， ， 故选：C； （3）证明：如图，延长至，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 26．嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．    (1)请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ ① （      ②    ） 又∵是的一个外角 ∴（   ③         ） ∴ ☆                                即（等量代换） ∴在中，若，则 (2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接） 26．(1)①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据全等三角形性质及三角形外角的性质解答即可； （2）延长到点H，使，连接，先证明，可得，再解答即可． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ （全等三角形的对应角相等） 又∵是的一个外角 ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴                           即（等量代换） ∴在中，若，则 故答案为：①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； （2）解：，理由如下： 延长到点H，使，连接 ∵是边上的中线         ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$