专题05 双角平分线模型-2025年初中数学几何模型全合集（不分教材通用版）

模型5：双角平分线模型 类型 双内角平分线型 双外角平分线型 一内一外平分线型 图示 特点 在△ABC 中,BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线 在△ABC 中,BD,CD分别是∠EBC,∠FCB的平分线 在 △ABC 中,BD,CD 分别是∠ABC,∠ACE的平分线 结论 ∠D=90°+∠A ∠D=90°-∠A ∠D=∠A 1. 找模型 三角形中出现两条角平分线考虑用双角平分线模型 2. 用模型 通过三角形的内角和，内外角关系及角平分线的性质，建立两角之间的数量关系 双内角平分线型结论： 证明:∵ BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, 双外角平分线型结论： 证明:∵ BD 平分 CD 平分. 巧学巧记：内内90°加一半，外外90°减一半，内外就一半. 思考延伸：一内一外平分线型结论证明，可以利用三角形的内外角关系进行证明 拓展方向：三等分角的情况下，角之间的数量关系 类型 双内角三等分线型 双外角三等分线型 一内一外三等分线型 图示 特点 在△ABC中,∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB 在△ABC 中,∠DBC=∠EBC,∠DCB=∠FCB 在△ABC 中,∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE 结论 ∠D=120°+∠A ∠D=120°-∠A ∠D=∠A 满分技法：解题方法同角平分线方法，根据三角形内角和、三角形内外角关系及角度倍数求解 例1 如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BO,CO分别平分∠ABC,双内角平分线型∠ACB,若∠ABC+∠ACB=100°,则∠BOC的度数为 ( ) A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 思路点拨:利用等腰三角形的性质可得∠ABC 和∠ACB 的度数,结合角平分线的性质和三角形的内角和即可求解. 例2 如图,在△ABC中,CD为∠ACB的平分线,DB为∠ABE的平分线,CD与BD 相交于点 D,若∠A=60°,则∠D的度数为 . 针对训练 1. 如图,在四边形ABCD中,∠DAB 的平分线与四边形 ABCD 的外角平分线相交于点 P，且∠ADC+∠DCB=210°,则∠P的度数为 ( ) A. 10° B. 15° C. 30° D. 40° 2. 如图,∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD分别平分△ABC的∠EAC、∠ABC、∠ACF.以下结论:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③DB平分∠ADC;④∠ADC=90°-∠ABD.其中正确的结论有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. (创新题型-填空双空题)如图,在△ABC中,∠A=70°,∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A₁，则. ∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂,得∠A₂,…,∠A₂₀₂₂BC 的平分线与∠A₂₀₂₂CD的平分线交于点 A₂₀₂₃,则, 4. 如图,在△ABC中,AD 是高,∠BAC,∠ABC的平分线AE,BF 相交于点 O. (1)若∠ABC=60°,∠C=40°,求∠DAE 的度数； (2)若∠C=60°,求∠BOE的度数; (3)若∠ABC=α,∠C=β(α>β),则∠DAE= ,∠BOE= .(用含α,β的式子表示) 课后练习 1.如图，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，作AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF，DF恰好平分∠EFC，过点D作DG⊥AC于点G，若EF=5，则DG的长为____________. 2.如图，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，DB为∠ABE的平分线，CD与BD相交于点D，若∠A=60°，则∠D的度数为________. 3.如图，在△ABC中，∠ABD= ∠ABC，∠BAE= ∠BAC，若∠AED=35°，则∠C的度数为_________. 4.如图，在△ABC中，∠A=120°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BDC=_______，若BG，CG分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠G=_______. 5.如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，若∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC的度数为（ ） A.100° B.110° C.120° D.130° 6.如图，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，延长DC与BH交于点H，若∠D=60°，∠ACB=65°，则∠HBC的度数为（ ） A.27.5° B.30° C.32.5° D.35° 7.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于A2，得∠A2，…，∠A2023BC的平分线与∠A2023CD的平分线交于点A2024，则∠A2024=________. 8．（2023秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）（1）已知：如图（1），在中，、分别平分和，直接写出与的数量关系；（2）已知：如图（2），在四边形中，、分别平分和，试探究与、之间的数量关系． 9．（23-24八年级上·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 10．（2023春·四川成都·八年级校考期中）中，．现进行第一次操作：如图1作射线，使得，作射线，使得．再进行第二次操作：如图2作射线，使得，作射线，使得．再进行第三次操作：如图3作射线使得，作射线，使得．则 ． 11.（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 12．（23-24八年级上·甘肃天水·期末）（1）如图①，是的外角，平分，平分，且、交于点．如果，，求的度数； （2）如图②，点是两外角平分线、的交点，探索与之间的数量关系，并说明理由． 13．（2023春·江苏·八年级期中）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究． （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　； （2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）； （3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明． 14．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 15．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数. 16．（2023·吉林长春·七年级校考期末）如图，△ABC中，∠C=50°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，那么∠D= °． 17.（2023秋·八年级课时练习）如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 18．（2021·全国·九年级专题练习）（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：． （2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：． （3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：． 19．（2020·全国·九年级专题练习）（1）如图（a），平分，平分. ①当时，求的度数. ②猜想与有什么数量关系？并证明你的结论. （2）如图（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.    20.如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 21．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的邻补角的平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 22．如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠DOC＝48°，则∠D＝_____°． 23．如图，等腰中，顶角，点E，F是内角与外角三等分线的交点，连接EF，则_________． 24．如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝__，若∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝__，…，以此类推，则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为__． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型5：双角平分线模型 类型 双内角平分线型 双外角平分线型 一内一外平分线型 图示 特点 在△ABC 中,BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线 在△ABC 中,BD,CD分别是∠EBC,∠FCB的平分线 在 △ABC 中,BD,CD 分别是∠ABC,∠ACE的平分线 结论 ∠D=90°+∠A ∠D=90°-∠A ∠D=∠A 1. 找模型 三角形中出现两条角平分线考虑用双角平分线模型 2. 用模型 通过三角形的内角和，内外角关系及角平分线的性质，建立两角之间的数量关系 双内角平分线型结论： 证明:∵ BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, 双外角平分线型结论： 证明:∵ BD 平分 CD 平分. 巧学巧记：内内90°加一半，外外90°减一半，内外就一半. 思考延伸：一内一外平分线型结论证明，可以利用三角形的内外角关系进行证明 拓展方向：三等分角的情况下，角之间的数量关系 类型 双内角三等分线型 双外角三等分线型 一内一外三等分线型 图示 特点 在△ABC中,∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB 在△ABC 中,∠DBC=∠EBC,∠DCB=∠FCB 在△ABC 中,∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE 结论 ∠D=120°+∠A ∠D=120°-∠A ∠D=∠A 满分技法：解题方法同角平分线方法，根据三角形内角和、三角形内外角关系及角度倍数求解 例1 如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BO,CO分别平分∠ABC,双内角平分线型∠ACB,若∠ABC+∠ACB=100°,则∠BOC的度数为 ( ) A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 思路点拨:利用等腰三角形的性质可得∠ABC 和∠ACB 的度数,结合角平分线的性质和三角形的内角和即可求解. D 【解析】∵AB=AC,∠ABC+∠ACB=100°,∴∠ABC=∠ACB=50°,∵BO,CO分别平分 (角平分线的性质)， 例2 如图,在△ABC中,CD为∠ACB的平分线,DB为∠ABE的平分线,CD与BD 相交于点 D,若∠A=60°,则∠D的度数为 . 30°【解析】∵ CD 平分∠ACB,DB 平分∠ABE,∠A=60°,根据“一内一外角平分 线”模型可得： 针对训练 1. 如图,在四边形ABCD中,∠DAB 的平分线与四边形 ABCD 的外角平分线相交于点 P，且∠ADC+∠DCB=210°,则∠P的度数为 ( ) A. 10° B. 15° C. 30° D. 40° 1. B 【解析】∵∠ADC+∠DCB=210°,∠DAB+∠ABC+∠DCB+∠ADC = 360°,∴ ∠DAB+∠ABC=150°.又∵∠DAB 的平分线与四边形ABCD的外角平分线相交于点 P[一内一外平分线型]，. ∠ABC)= 165°, ∴∠P = 180°-(∠PAB+∠ABP)=15°. 2. 如图,∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD分别平分△ABC的∠EAC、∠ABC、∠ACF.以下结论:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③DB平分∠ADC;④∠ADC=90°-∠ABD.其中正确的结论有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. D 【解析】∵ AD 平分∠EAC,∴ ∠EAC=2∠EAD,∵∠EAC =∠ABC+∠ACB,∠ABC=∠ACB,∴∠EAD=∠ABC,∴AD∥BC,∴①正确;∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∵BD 平分∠ABC,∠ABC=∠ACB,∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC,∴ ∠ACB = 2 ∠ADB，∴ ② 正确;∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD=∠DBC= ∠ABC,∵∠ADB=∠DBC,∠ADC=90°- 双外角平分线型],∴∠ADB≠∠CDB,∴③错误; ∴④正确.综上所述，正确的结论有 3个. 3. (创新题型-填空双空题)如图,在△ABC中,∠A=70°,∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A₁，则. ∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂,得∠A₂,…,∠A₂₀₂₂BC 的平分线与∠A₂₀₂₂CD的平分线交于点 A₂₀₂₃,则, 3. 【解析】∵ ∠A=70°,BA₁,CA₁分别平分 [一内一外平分线型]，同理可得， 由此可得 4. 如图,在△ABC中,AD 是高,∠BAC,∠ABC的平分线AE,BF 相交于点 O. (1)若∠ABC=60°,∠C=40°,求∠DAE 的度数； (2)若∠C=60°,求∠BOE的度数; (3)若∠ABC=α,∠C=β(α>β),则∠DAE= ,∠BOE= .(用含α,β的式子表示) 4. 解:(1)∵∠ABC=60°,∠C=40°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-60°- ∵ AE 是∠BAC 的平分线, ∵AD 是△ABC的高, ∴∠ADC=90°, (2)∵AE,BF 分别是∠BAC,∠ABC的平分线, 【解法提示】∵ ∠ABC=α,∠C=β,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C = 180°-α-β,∵ AE 是∠BAC 的平分线, ∵ AD 是 △ABC 的高,∴∠ADC=90°,∴ ∠CAD=90°-∠C=90°-β,∴ ∠DAE = ∠CAD --∠EAC = 90°-β- AE,BF分别是∠BAC,∠ABC 的平分线,∴ ∠OAB = 课后练习 1.如图，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，作AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF，DF恰好平分∠EFC，过点D作DG⊥AC于点G，若EF=5，则DG的长为____________. 1. 【解析】设AD与EF交于点H 方法一：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC， ∴∠EAH=∠CAD=30° ∵EF垂直平分AD ∴∠AHE=90°， AF=FD ∴∠AEF=60° ∴△AEF为等边三角形 ∴FD=AF=EF=5 ∴∠CAD=∠FDA=30° ∴∠DFG=60° ∴DG=cos∠FDG·DF= 方法二：∵EF垂直平分AD，AD平分∠BAC， ∴△EHA≌△FHA ∴EH=HF ∴AH=EH·tan∠AEH= ∴DH=AH= ∵DF平分∠HFG，DF⊥GF ∴DG=DH= 2.如图，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，DB为∠ABE的平分线，CD与BD相交于点D，若∠A=60°，则∠D的度数为________. 2.30° 3.如图，在△ABC中，∠ABD= ∠ABC，∠BAE= ∠BAC，若∠AED=35°，则∠C的度数为_________. 3.75°【双内角三等分线模型】 4.如图，在△ABC中，∠A=120°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BDC=_______，若BG，CG分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠G=_______. 4.150° 30° 【解析】在△ABC中，∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠ABD= ∠ABC，∠ACD= ∠ACB， ∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A=150° 【双内角平分线模型】 ∵BG，CG分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线 ∴∠GBC+∠GCB= (∠EBC+∠FCB)= (180°-∠ABC+180°-∠ACB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=150° ∴∠G=180°-150°=30°【双外角平分线模型】 5.如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，若∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC的度数为（ ） A.100° B.110° C.120° D.130° 5.D 6.如图，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，延长DC与BH交于点H，若∠D=60°，∠ACB=65°，则∠HBC的度数为（ ） A.27.5° B.30° C.32.5° D.35° 6.A 【解析】∠D=90°- ∠A【双外角平分线模型】 ∵∠D=60°，∴∠A=60° ∵∠ACB=65°，∴∠ABC=55°【三角形内角和】 ∵BH是∠ABC的平分线 ∴∠HBC=27.5° 7.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于A2，得∠A2，…，∠A2023BC的平分线与∠A2023CD的平分线交于点A2024，则∠A2024=________. 7.【一内一外角平分线】 8．（2023秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）（1）已知：如图（1），在中，、分别平分和，直接写出与的数量关系；（2）已知：如图（2），在四边形中，、分别平分和，试探究与、之间的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠P与∠A的数量关系； （2）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠P与∠A+∠B的数量关系． 【详解】（1）∵平分 ，∴． 同理，． ∴ ； （2）∵平分 ，∴． 同理，． ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． 9．（23-24八年级上·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而； （2）由三等分线可得，，从而； （3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，∴，，，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，，，， ∴ ， ， ∴， ∵∴，∴， 同理可得．故答案为：105 10．（2023春·四川成都·八年级校考期中）中，．现进行第一次操作：如图1作射线，使得，作射线，使得．再进行第二次操作：如图2作射线，使得，作射线，使得．再进行第三次操作：如图3作射线使得，作射线，使得．则 ． 【答案】/20度 【分析】在第一次操作中根据角平分线及三角形外角性质推出，；第二次操作根据已知条件推出，，第三次操作根据已知条件推出，，再根据三角形外角性质和三角形的内角和定理推出的度数． 【详解】解：第一次操作：，， ，， ，， 第二次操作：，， ，， 第三次操作：，， ，， ；故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质等知识点，能熟记三角形的内角和等于和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解此题的关键． 11.（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答． 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 12．（23-24八年级上·甘肃天水·期末）（1）如图①，是的外角，平分，平分，且、交于点．如果，，求的度数； （2）如图②，点是两外角平分线、的交点，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析； 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．（1）根据外角的性质，可得，结合角平分线的定义可得，，，然后由求解即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，，由三角形内角和定理可得，即有，然后结合，即可证明结论． 【详解】如图所示： 解：（1）根据外角的性质得， 平分，平分，，， ，； （2）、是两外角的平分线，，， 而，，，， ，， 即， ，． 13．（2023春·江苏·八年级期中）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究． （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　； （2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）； （3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明． 【答案】（1）∠BPC＝122°；（2）∠BEC＝；（3）∠BQC＝90°﹣∠A，证明见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和化为角平分线的定义； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：（1）、分别平分和， ，， ，， ，，，故答案为：； （2）和分别是和的角平分线，，， 又是的一外角，，， 是的一外角，； （3），， ，， ，结论：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 14．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答． 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 15．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数. 【答案】 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系． 【详解】解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G， 在中，∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠EBC+∠BCF） =180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°-（180°-m°+180°-n°）；= 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出． 16．（2023·吉林长春·七年级校考期末）如图，△ABC中，∠C=50°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，那么∠D= °． 【答案】25° 【分析】根据角平分线的定义得到∠DBE=∠CBE，∠DAE=∠CAE，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：∵AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线， ∴∠DBE=∠CBE，∠DAE=∠CAE， ∴∠D=∠DBE-∠DAE=（∠CBE-∠CAE）=∠C=25°，故答案为：25°． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 17.（2023秋·八年级课时练习）如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 【答案】A 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分线的性质，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系，即可得到结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=（∠A+∠ABC）． 又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）． ∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC）， ∴∠E=∠A=18°，∴∠A=36°．故选A． 18．（2021·全国·九年级专题练习）（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：． （2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：． （3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】（1）设． 由的内角和为，得．① 由的内角和为，得．② 由②得．③ 把③代入①，得， 即， 即 （2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线， ∴ 由三角形内角和定理得，， =180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]， =180°-（∠A+180°）， =90°-∠A； （3）如图： ∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D ∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4， 在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3 ∴∠1+∠3=180°-∠A① 在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1）， 即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②， 把①代入②得∠D=∠A． 【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题． 19．（2020·全国·九年级专题练习）（1）如图（a），平分，平分. ①当时，求的度数. ②猜想与有什么数量关系？并证明你的结论. （2）如图（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.    【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）不正确， 【分析】（1）①首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求解即可； ②首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求出 的度数，即可得出结论； （2）首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据补角的定义求出，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求出的度数，即可得出结论． 【详解】（1）①， ． ∵平分，平分， ， ； （2）①， ． ∵平分，平分， ， ； （2）， ， ． ∵平分，平分， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 20.如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 解：（1）∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣50°=130°， （2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A ∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣； （3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E， 即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+ ＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°； ②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°； ③∠Q＝2∠E，则90°﹣=，解得∠A＝60°； ④∠E＝2∠Q，则＝2（90°﹣），解得∠A＝120°． 综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°． 21．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的邻补角的平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 【答案】B 【解析】 【分析】 利用四边形内角和是可以求得．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得 的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可． 【详解】 解：，， ． 又的角平分线与的外角平分线相交于点， ， ． 故选：B． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是”是解题的关键． 22．如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠DOC＝48°，则∠D＝_____°． 【答案】42 【解析】 【分析】 根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】 解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， ∴∠ACO＝∠ACB， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠ACE， ∵∠ACB+∠ACE＝180°， ∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝（∠ACB+∠ACE）＝×180°＝90°， ∵∠DOC＝48°， ∴∠D＝90°﹣48°＝42°， 故答案为：42． 【点睛】 本题考查了角平分线和三角形内角和，解题关键是熟练运用相关性质进行计算求角． 23．如图，等腰中，顶角，点E，F是内角与外角三等分线的交点，连接EF，则_________． 【答案】14 【解析】 【分析】 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求∠ABC和∠ACB，再根据三角形外角的性质可求∠ACD，再根据三等分线的定义与和差关系可求∠FBC和∠BCF，再根据三角形的内角和定理可求∠BFC． 【详解】 解：∵等腰△ABC中，顶角∠A=42， ∴∠ABC=∠ACB=×（180-42）=69， ∴∠ACD=111， ∵点E，F是内角∠ABC与外角∠ACD三等分线的交点， ∴∠FBC=×69=23，∠FCA=×111=74， ∴∠BCF=143， ∴∠BFC=180-23-143=14． 故答案为：14． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解答此题的关键是找到角与角之间的关系． 24．如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝__，若∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝__，…，以此类推，则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为__． 【答案】     48°，     24°，     96°× 【解析】 【分析】 利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算． 【详解】 解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD， ∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC， 而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠A1＝96°， ∴∠A1＝48°， 同理可得∠A1＝2∠A2， 即∠A＝2×2∠A2＝96°， ∴∠A2＝24°， ∴∠A＝2n， ∴ ． 故答案为48°，24°，96°×． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$