第四章 基本平面图形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版2024）

第四章 基本平面图形（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分21分） 1．（3分）如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（　　） A．a B．b C．c D．d 2．（3分）如图，一艘轮船行驶在B处，同时测得小岛A、C的方向分别为北偏西50°和西南方向，则∠ABC的度数是（　　） A．75° B．85° C．95° D．105° 3．（3分）如果线段AB＝5cm，线段BC＝4cm，那么A，C两点之间的距离是（　　） A．9cm B．1cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对 4．（3分）A，B两个海上观测站的位置如图所示，A在灯塔O北偏东40°方向上，∠AOB＝110°，则B在灯塔O的（　　） A．南偏东30°方向 B．南偏东40°方向 C．南偏西50°方向 D．东偏南30°方向 5．（3分）如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（　　） A．75° B．120° C．135° D．150° 6．（3分）如图，正六边形的边长为12，AP，BP分别平分∠BAF，∠ABC，则△ABP的周长为（　　） A．24 B．36 C．38 D．40 7．（3分）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（　　） 如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB 作法： （1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q （2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D （3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F （4）作⊕，∠DEF即为所求作的角 A．●表示点E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．⊕表示射线EF 8．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOF在∠AOD的内部，当∠AOD＝150°，∠EOF＝30°时，则∠AOF与∠EOD的度数和为（　　） A．100° B．120° C．130° D．150° 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）两根木条，一根长20cm，一根长24cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为　 　cm． 10．（3分）过八边形的一个顶点有 　 　条对角线． 11．（3分）如图所示的网格是正方形网格，∠DEF 　 　∠ABC．（填“＞”，“＝”或“＜”） 12．（3分）已知：A、B、C是同一直线上的三点，点D为AB的中点，若AB＝10，BC＝6，则CD的长为 　 　． 13．（3分）火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有　 　种不同的车票． 三．解答题（共7小题，满分64分） 14．（8分）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC的度数； （2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数． 15．（6分）如图，已知线段AB＝3cm，延长线段AB到C，使BC＝2AB，延长线段BA到D，使AD：AC＝4：3，点M是BD的中点，求线段BD和AM的长度． 16．（8分）用小棒按下面的方式拼图形． 五边形个数 拼成的形状 小棒根数 1 5 2 3 4 …… （1）填表，聪明的你从表中发现规律了吗？把你发现的规律写出来． （2）按规律拼成10个这样的五边形，一共用多少根小棒？请你写出算式． 17．（8分）已知点C为线段AB上的一点，点D、E分别为线段AC、BD中点． （1）若AC＝4，BC＝10，求CE的长； （2）若AB＝5CE，且点E在点C的右侧，试探究线段AD与BE之间的数量关系． 18．（10分）如图，已知点D是△ABC的边AB上一点，BE⊥CD于点E． （1）实践与操作：请在图1中过点A作CD的垂线，垂足为点F（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）猜想与应用：在（1）的条件下，如图2，若点M是AB的中点，试猜想线段ME与MF的数量关系，并说明理由． 19．（10分）定义：如图①，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC．若其中有一个角是另一个角的3倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”． （1）如图①，若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数＝　 　； （2）如图②，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转，同时射线PM绕点P以每秒3°的速度顺时针旋转，当PQ与PN第一次成100°角时，射线PQ和射线PM同时停止旋转．设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”． 20．（11分）新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线． （1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　 　°； （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线． ①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　 　°； ②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． ③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 基本平面图形（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分21分） 1．（3分）如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【分析】根据正方形的性质可得四边相等，根据图形比较线段与四边形的边长的长度即可求解． 【详解】解：根据图形可知，c的长度等于正方形的边长，b的长度小于正方形的边长，a、d的长度大于正方形的边长， 再a与d比较，因为a往下少了一点，所以最长的是d． 故选：D． 2．（3分）如图，一艘轮船行驶在B处，同时测得小岛A、C的方向分别为北偏西50°和西南方向，则∠ABC的度数是（　　） A．75° B．85° C．95° D．105° 【分析】根据交点和差计算求解． 【详解】解：∠ABC＝（90°﹣50°）+45°＝85°， 故选：B． 3．（3分）如果线段AB＝5cm，线段BC＝4cm，那么A，C两点之间的距离是（　　） A．9cm B．1cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对 【分析】（1）当A，B，C三点在一条直线上时，分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论； （2）当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能； 【详解】解：（1）当A，B，C三点在一条直线上时，分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论． ①点B在A、C之间时，AC＝AB+BC＝5+4＝9cm； ②点C在A、B之间时，AC＝AB﹣BC＝5﹣4＝1cm． 所以A、C两点间的距离是9cm或1cm． （2）当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能； 故选：D． 4．（3分）A，B两个海上观测站的位置如图所示，A在灯塔O北偏东40°方向上，∠AOB＝110°，则B在灯塔O的（　　） A．南偏东30°方向 B．南偏东40°方向 C．南偏西50°方向 D．东偏南30°方向 【分析】先判断B在灯塔O的南偏东，因为∠A0B在北偏东40°，∠AOB＝110°，则180°﹣40°﹣110°＝30°，推出B地在灯塔O南偏东30°方向． 【详解】解：由题意得：180°﹣40°﹣110°＝30°， ∴B地在灯塔O的南偏东30°方向， 故选：A． 5．（3分）如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（　　） A．75° B．120° C．135° D．150° 【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：10点10分，再过20分钟就是10点30分， 30°×（4）＝135°， 故选：C． 6．（3分）如图，正六边形的边长为12，AP，BP分别平分∠BAF，∠ABC，则△ABP的周长为（　　） A．24 B．36 C．38 D．40 【分析】根据正六边形可知∠APB为60°，又因为AP＝BP，所以△ABP为等边三角形，可求得△ABP的周长． 【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴，AP＝BP， ∴△ABP是等边三角形， ∴AB＝AP＝BP＝12， 故△ABP的周长为36， 故选：B． 7．（3分）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（　　） 如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB 作法： （1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q （2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D （3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F （4）作⊕，∠DEF即为所求作的角 A．●表示点E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．⊕表示射线EF 【分析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可判断． 【详解】解：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q； （2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D； （3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F； （4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角． 所以A，B，C选项都错误，D选项正确． 故选：D． 8．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOF在∠AOD的内部，当∠AOD＝150°，∠EOF＝30°时，则∠AOF与∠EOD的度数和为（　　） A．100° B．120° C．130° D．150° 【分析】根据∠AOF+∠EOF+∠EOD＝∠AOD，得∠AOF+∠EOD＝∠AOD﹣∠EOF，再根据∠AOD＝150°，∠EOF＝30°即可得出答案． 【详解】解：∵∠EOF在∠AOD的内部， ∴∠AOF+∠EOF+∠EOD＝∠AOD， ∴∠AOF+∠EOD＝∠AOD﹣∠EOF， 又∵∠AOD＝150°，∠EOF＝30°， ∴∠AOF+∠EOD＝150°﹣30°＝120°， 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）两根木条，一根长20cm，一根长24cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为　2或22　cm． 【分析】根据两点间的距离分两种情况计算即可． 【详解】解：当两条线段一端重合，另一端在同一方向时， 此时两根木条的中点之间的距离为12﹣10＝2（cm）； 当两条线段一端重合，另一端方向相反时， 此时两根木条的中点之间的距离为10+12＝22（cm）； 故答案为2或22． 10．（3分）过八边形的一个顶点有 　5　条对角线． 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可直接得到答案． 【详解】解：从八边形的一个顶点可引出的对角线的条数为： 8﹣3＝5（条）． 故答案为：5． 11．（3分）如图所示的网格是正方形网格，∠DEF 　＜　∠ABC．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【分析】过点E向下作竖直线EG，根据网格线可得∠ABC＝∠DEG，∠EDG＞∠DEF，即可比较∠DEF和∠ABC的大小． 【详解】解：过点E向下作竖直线EG， 由网格线可得，∠ABC＝∠DEG＝45°， ∵∠EDG＞∠DEF， ∴∠DEF＜∠ABC， 故答案为：＜． 12．（3分）已知：A、B、C是同一直线上的三点，点D为AB的中点，若AB＝10，BC＝6，则CD的长为 　1或11　． 【分析】分两种情况讨论如下：①当点C在线段AB上时，根据线段中点的定义得AD＝BD＝5，再根据CD＝BC﹣BD可得出答案；②当点C在线段AB的延长线上时，同理得AD＝BD＝5，再根据CD＝BC+BD可得出答案． 【详解】解：分两种情况讨论如下： ①当点C在线段AB上时，如图1所示： ∵AB＝10，点D为AB的中点， ∴AD＝BD＝5， ∵BC＝6， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1； ②当点C在线段AB的延长线上时，如图2所示： ∵AB＝10，点D为AB的中点， ∴AD＝BD＝5， ∵BC＝6， ∴CD＝BC+BD＝6+5＝11． 综上所述：线段CD的长为1或11． 故答案为：1或11． 13．（3分）火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有　30　种不同的车票． 【分析】根据每条线段就有两种车票，每两点就是一条线段，可得答案． 【详解】解：如图：， 车票：AC、CD、DE、EF、FB、AD、AE、AF、AB、CE、CF、CB、DF、DB、EB，BE、BD、FD、BC、FC、EC、BA、FA、EA、DA、BF、FE、ED、DC、CA． 火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有30种不同的车票， 故答案为：30． 三．解答题（共7小题，满分64分） 14．（8分）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC的度数； （2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数． 【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解； （2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解． 【详解】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°， ∴∠AOC∠AOB120°＝40°； （2）∵∠AOD∠AOB， ∴∠AOD＝60°， 当OD在∠AOB内时， ∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°， 当OD在∠AOB外时， ∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°． 故∠COD的度数为20°或100°． 15．（6分）如图，已知线段AB＝3cm，延长线段AB到C，使BC＝2AB，延长线段BA到D，使AD：AC＝4：3，点M是BD的中点，求线段BD和AM的长度． 【分析】先求出AC＝9cm，则AD＝12cm，得出BD＝15cm，再求出BM的长，即可得出AM的长． 【详解】解：∵AB＝3cm，BC＝2AB， ∴BC＝6（cm）， ∴AC＝AB+BC＝9（cm）， ∵AD：AC＝4：3， ∴AD＝912（cm）， ∴BD＝AD+AB＝15（cm）， ∵点M是BD的中点， ∴BMBD（cm）， ∴AM＝BM﹣AB3（cm）． 16．（8分）用小棒按下面的方式拼图形． 五边形个数 拼成的形状 小棒根数 1 5 2 3 4 …… （1）填表，聪明的你从表中发现规律了吗？把你发现的规律写出来． （2）按规律拼成10个这样的五边形，一共用多少根小棒？请你写出算式． 【分析】（1）由图示可知，拼1个五边形，需要小棒根数：5根；拼2个五边形，需要小棒根数：5+4＝9（根）；拼3个五边形，需要小棒根数：5+4+4＝13（根）；……有摆n个五边形，需要小棒根数：5+4×（n﹣1）＝（4n+1）（根）． （2）把n＝10代入，即可解答． 【详解】解：（1）拼1个五边形，需要小棒根数：5根； 拼2个五边形，需要小棒根数：5+4＝9（根）； 拼3个五边形，需要小棒根数：5+4+4＝13（根）； 拼4个五边形，需要小棒根数：5+4+4+4＝17（根）； ……； 有拼n个五边形，需要小棒根数：5+4×（n﹣1）＝（4n+1）（根）； （2）当n＝10时，所需小棒根数：4×10+1＝40+1＝41（根）． 答：拼成10个这样的五边形，一共要用 41根小棒． 17．（8分）已知点C为线段AB上的一点，点D、E分别为线段AC、BD中点． （1）若AC＝4，BC＝10，求CE的长； （2）若AB＝5CE，且点E在点C的右侧，试探究线段AD与BE之间的数量关系． 【分析】（1）根据线段中点的性质求出CD和DE，根据题意计算即可； （2）设CE＝x，CD＝y，则可以求出AD＝y，BE＝x+y，根据AB＝5CE，得2x+3y＝5x，所以x＝y，即可得到AD与BE的数量关系． 【详解】解：（1）∵点D为线段AC中点， ∴CDAC＝2， ∴BD＝CD+BC＝2+10＝12， ∵点E为线段BD中点， ∴DEBD＝6， ∴CE＝DE﹣CD＝6﹣2＝4， ∴CE的长为4； （2）如图2， 设CE＝x，CD＝y， ∴DE＝CE+CD＝x+y， ∵点D为线段AC中点， ∴CD＝AD＝y， ∵点E为线段BD中点， ∴DE＝BE＝x+y， ∴AB＝AD+CD+CE+BE＝2x+3y， ∵AB＝5CE， ∴2x+3y＝5x， ∴x＝y， ∴BE＝2y， ∴ADBE． 18．（10分）如图，已知点D是△ABC的边AB上一点，BE⊥CD于点E． （1）实践与操作：请在图1中过点A作CD的垂线，垂足为点F（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）猜想与应用：在（1）的条件下，如图2，若点M是AB的中点，试猜想线段ME与MF的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可． （2）延长FM交BE的延长线于点N，结合平行线的判定与性质、全等三角形的判定证明△AFM≌△BNM，可得MF＝MN，即ME是Rt△NEF斜边上的中线，进而可得ME＝MN＝MF． 【详解】解：（1）如图1，AF即为所求． （2）ME＝MF． 理由：如图2，延长FM交BE的延长线于点N， ∵BE⊥CD，AF⊥CD， ∴BE∥AF， ∴∠AFM＝∠N，∠FAM＝∠NBM． ∵M是AB的中点， ∴AM＝BM， ∴△AFM≌△BNM（AAS）， ∴MF＝MN， 即ME是Rt△NEF斜边上的中线， ∴ME＝MN＝MF． 19．（10分）定义：如图①，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC．若其中有一个角是另一个角的3倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”． （1）如图①，若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数＝　15°或20°或40°或45°　； （2）如图②，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转，同时射线PM绕点P以每秒3°的速度顺时针旋转，当PQ与PN第一次成100°角时，射线PQ和射线PM同时停止旋转．设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”． 【分析】（1）根据“巧分线”定义即可求解； （2）根据“巧分线”定义分4种情况：当∠MPQ＝3∠NPQ时，当∠MPN＝3∠NPQ时，当∠MPN＝3∠MPQ时，当∠NPQ＝3∠MPQ时，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵∠AOB＝60°，且射线OC在∠AOB的“巧分线”， ∴∠AOC＝3∠BOC或∠BOC＝3∠AOC或∠AOB＝3∠AOC或∠AOB＝3∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝60° ∴∠AOC＝45°或15°或20°或40°； 故答案为：15°或20°或40°或45° （2）根据题意得： 当∠MPQ＝3∠NPQ时，则60+3t﹣4t＝3×4t， 解得； 当∠MPN＝3∠NPQ时，则60+3t＝3×4t， 解得； 当∠MPN＝3∠MPQ时，则60+3t＝3×（60+3t﹣4t）， 解得t＝20； 当∠NPQ＝3∠MPQ时， 4t＝3（3t+60﹣4t）， 解得． 此时，故不符合题意，舍去； 综上，当t为或或20时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”． 20．（11分）新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线． （1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　40　°； （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线． ①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　135　°； ②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． ③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数． 【分析】（1）根据题意可得：∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，进而得出答案； （2）①由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，根据∠AOC＝120°，得出∠AOP＝90°，∠BOQ＝45°，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； ③设∠MOC＝α，则∠NOC＝90°﹣α，根据题意得出∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，列出方程，求得∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，进而得出答案． 【详解】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA， ∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°， ∴∠AOP＝20°， ∴∠BOP＝40°， 故答案为：40； （2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）， ∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ， ∵∠AOC＝120°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°， ∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°， ∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°， 故答案为：135； ②不变， ∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB， ∴，， ∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，，，，，＝135°； ③设∠MOC＝α， ∵∠MON＝90°， ∴∠NOC＝90°﹣α， ∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线， ∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON， ∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°， ∴， ∴α＝67.5°， ∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°， ∴∠AOC＝90°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$