精品解析：湖北省武汉市江岸区七一华源中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

七一华源中学2024-2025学年上学期9月九年级数学试题 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为3，则一次项系数、常数项分别是（ ） A. 、1 B. 6、1 C. 6、 D. 、 【答案】A 【解析】 【分析】先将所给方程化为一元二次方程的一般形式，根据ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案． 【详解】化为一般形式为：， 二次项系数为3，一次项系数是-6、常数项是1， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 求出，根据根的判别式即可作出判断． 【详解】解：， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案． 【详解】∵是一元二次方程的两个根， ∴=， 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握（a≠0）的两个根满足：，是解题的关键． 4. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 5. 解方程时，可用配方法将其变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．根据配方法的步骤变形即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即． 故选：A． 6. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共91．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（ ） A. （1＋x）2＝91 B. 1＋x＋x2＝91 C. 1＋x2＝91 D. x＋x2＝91 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，若设主干长出x个支干，则根据主干、支干和小分支总数共91，列出方程即可． 详解】设主干长出x个支干，根据题意，得 1＋x＋x2＝91 故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是解题的关键． 7. 已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数图象的性质：图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，据此可以判断、、的大小关系． 【详解】解：，即 所以函数图象对称轴为直线，且开口向下， 当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小， 点关于对称轴的对称点为， 、、三点都在对称轴的右侧，且， ． 故选：B． 8. 抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，函数与方程的关系．根据二次函数可以求出该函数的对称轴，再根据该函数的图象与的交点，可以求出另一个交点，从而求出方程的两实数根． 【详解】抛物线与x轴的一个交点坐标为， 该函数的对称轴是直线 该函数图象与轴的另一个交点坐标为 方程的根是， 故选D． 9. 如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 36° 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与平行线的性质，三角形内角和定理．首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，，然后利用已知条件可以求出，然后利用三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转到，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 故选：B． 10. 已知抛物线y1=x2﹣（m+2）x+2m、直线y2=2x﹣4，若对于任意的x的值，y1≥y2恒成立，则m的值为（　　） A. 0 B. 2 C. ﹣2 D. ﹣4 【答案】A 【解析】 【分析】根据y1≥y2恒成立，可知：y1﹣y2≥0，得新二次函数：w=x2﹣（m+4）x+2m+4，当w≥0时，由抛物线顶点的纵坐标一定大于等于0，可得结论． 【详解】∵y1≥y2，∴y1﹣y2≥0，∴x2﹣（m+2）x+2m﹣（2x﹣4）=x2﹣（m+4）x+2m+4≥0．设w=x2﹣（m+4）x+2m+4，当w≥0时，∴≥0，解得：m=0． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围；利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程中，得到关于m的一元一次方程，解之即可求得m的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的概念，掌握此概念是关键． 12. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，则共有__________支球队参赛． 【答案】8 【解析】 【详解】设有支球队参赛，则有： ， 解得：，（舍）， ∴有个球队参赛． 13 已知抛物线与x轴只有一个交点，则______________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由抛物线与x轴只有一个交点得到的方程的根的判别式为0，解方程即可． 【详解】解：当时，， 由题意得，， 解得：， 故答案为：1． 14. 若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是________________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．由题意得，，，再代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：11． 15. 二次函数（是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y t m n 且当时，．下列结论：①；②是关于x的方程的一个根；③点和都在抛物线上，且则当时，；④．其中正确的结论（序号）有___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①先求出对称轴，即可得到；②根据对称性得到抛物线经过点，即可求解；③由表格知抛物线经过点，可求出，则解析式为，由时，，解出，则对其因式分解得到，由，，则当时，得到；④由上知解析式为，当时，，当时，，则两式相加得到，而，故． 【详解】解：从表格知，图像经过点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，即， ∴①正确，符合题意； 从表格知图像经过点，而对称轴为直线， ∴也经过点， ∴是关于x的方程的一个根， ∴②正确，符合题意； 由表格知抛物线经过点，代入得， ， ∴解析式为， ∵时，， ∴， ∴， ∴ ∵，，则当时， 得到， ∴③错误，不符合题意； 由上知解析式为，当时，， 当时，， ∴两式相加得到， ∴， 而， ∴， ∴④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，解一元一次不等式，因式分解，不等式的性质，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，P点坐标为，现将点A绕P逆时针旋转得到点B，则点B的纵坐标为________________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据A点，P点的坐标求出，再作图：将绕点逆时针旋转90度，即得出，再连接，过点A作轴，过点G作轴，证明，得出，然后运用有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形，证明是等边三角形，，根据点的坐标求点与点的距离列式计算，再运用公式法解，即可作答． 【详解】解：∵A点坐标为，P点坐标为， ∴， 如图：将绕点逆时针旋转90度，即得出，再连接，过点A作轴，过点G作轴， ∵将绕点逆时针旋转90度，即得出，再连接，过点A作轴，过点G作轴， ∴，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转90度，即得出， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵现将点A绕P逆时针旋转得到点B， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设， ∴， 整理得， 把代入， 得， 整理的， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（点在第三象限，故舍去）； ∴， ∴点的坐标为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转性质、坐标与图形，勾股定理，公式法解一元二次方程，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题：（共8题，共72分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：第一种情况：形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．第二种情况：形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方．在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方． 【详解】解：移项，得 配方，得 ， 即， 开方，得 解得， 18. 如图，抛物线交与x轴于A、B两点，交y轴于点C． （1）A点坐标为 ，B点坐标为 ； （2）抛物线的顶点坐标是 ； （3）当时，求y的取值范围； （4）当时，求x的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）； （4）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，求二次函数的顶点坐标，求二次函数函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出当时，x的值即可求出A、B的坐标； （2）把解析式化为顶点式即可求出顶点的坐标； （3）先根据解析式求出当时，函数有最大值4，再分别求出和时的函数值即可得到答案； （4）求得时，x的值；时，x的值，根据函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，则， 解得或， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，函数有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是； 【小问4详解】 解：在中，当时，则，即， 解得或， 当时，则， 解得或， ∴当时，x的取值范围是或． 19. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．当长度是多少时，矩形花园的面积为米2； 【答案】当长度是时，矩形花园的面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是找出题目中的等量关系．设，则；，则，求解之后根据题中条件取舍，最后可得出的值． 【详解】解：设， 则；， 则， 解得∶或（舍去）, 故当为，， ∴当长度是时，矩形花园的面积为； 20. 如图，抛物线与直线l交于点、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点P在抛物线上，且在直线l上方，若的面积为，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）点坐标为． 【解析】 【分析】此题主要考查利用待定系数法求函数解析式和利用二次函数的顶点式求最值，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，设，，然后根据可求解． 【小问1详解】 解：将、代入二次函数解析式， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的函数解析式为， 将、代入得， 解得， 直线的函数解析式为； 如图，过点作轴，交直线于点． 设，， ， ， ∵的面积为， ∴，整理得， 解得． ∴， ∴点坐标为． 21. 如图是由边长为1的小正方形构成的：网格，点都是格点，点M是与纵格线的交点．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，画出一个格点菱形（非正方形）； （2）在图1中，在边上作点N，使； （3）在图2中，作出将线段绕点A逆时针旋转后的线段； （4）在图2中，点P为格点线段和的交点，作出将P绕点A逆时针旋转后的点Q． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）由于，利用网格的特点结合菱形的性质作出图形即可； （2）由于，取格点和，连接交于点N，利用相似三角形的判定和性质，可知点N即为所作； （3）利用全等三角形的判定和性质即可作出图形； （4）分别作点绕点A逆时针旋转后得到点，连接交于点Q，点Q即为所作． 【小问1详解】 解：菱形如图1所示； ； 【小问2详解】 解：点N，如图1所示； 【小问3详解】 解：线段如图2所示； ； 【小问4详解】 解：点Q如图2所示； 22. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据： 单价（元/件） 30 34 38 40 42 销量（件） 40 32 24 20 16 （1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）； （2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？ （3）为保证产品在实际试销中销售量不得低于30件，且工厂获得得利润不得低于400元，请直接写出单价x的取值范围． 【答案】（1）y=﹣2x+100；（2）当x=35时，w的最大值为450元（3）30≤x≤35 【解析】 【详解】试题分析：（1）设y=kx+b，根据表中数据，利用待定系数法求解可得； （2）设工厂获得的利润为w元，根据：“总利润=每件利润×销售量”，列函数解析式并配方可得其最值情况； （3）根据销售量≥30件、获得的利润≥400元列不等式组，解不等式组可得． 试题解析：（1）设y=kx+b， 将x=30、y=40，x=34、y=32，代入y=kx+b， 得：， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为：y=-2x+100； （2）设定价为x元时，工厂获得的利润为w元， 则w=（x-20）•y=-2x2+140x-2000=-2（x-35）2+450 ∴当x=35时，w的最大值为450元． （3）根据题意得： 解得：30≤x≤35． 23. 问题背景： （1）如图1，已知，均为等边三角形，若，，，求证：； 尝试应用： （2）如图2，已知中，，，为线段上一点，以为边作等边，连接，为线段的中点，连接，．求证：； 拓展创新： （3）已知中，，，为平面内一点，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）由，，，利用证明即可； （2）将绕点旋转，得到，连接，，则旋转角，可得到四边形是平行四边形，则，，即可求证； （3）分两种情况讨论：①当点在三角形内部时，将绕点顺时针旋转，得到，可得，过点作，设，则，可得，，则；①当点在三角形外部时，将绕点顺时针旋转，得到，可得，设，则，由①可知则，则． 【详解】（1）证明：，均为等边三角形， ，，， ， ， ； （2）证明：如图2，将绕点旋转，得到，连接，，则旋转角， ，， ， ∵，， ， ， ∵，， ，， ， 四边形是平行四边形，点是的中点， 点是平行四边形对角线的交点， ， ∵， ，在中， ； （3）解：①当点在三角形内部时，如图3，将绕点顺时针旋转，得到， ，， ，， ， ， ， 过点作交于，设，则， ， ， ， ， ， ； ②当点在三角形外部时，如图4，将绕点顺时针旋转，得到， ，， ，， ， ， ， 设，则，由①可知， 在中，，则， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形旋转的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 24. 如图1，抛物线的顶点为抛物线与y轴交于点与x轴交于两点（A在B左侧）． （1）求抛物线解析式； （2）P为抛物线上一点，且满足求点P的坐标； （3）如图2，点D在抛物线对称轴上，且位于x轴上方，点为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为求点E的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）①当点在轴上方抛物线上，如图，记与轴交于点，可求，，则显然为等腰直角三角形，，继而证明，得到，求出直线表达式为：，联立直线表达式与抛物线表达式，即可求解；②当点在轴下方抛物线上，如图，过点作轴于点，则，，故，设，，解得：或（舍），即可求解； （3）补全矩形如图所示，设，由得对称轴为直线，设，表示出，，根据，得到，解得：或，故． 【小问1详解】 解：由题意设解析式为， 代入 得：， 解得：， ∴解析式为： 【小问2详解】 解：①当点在轴上方抛物线上，如图，记与轴交于点， 当时，则， 解得或， ∴， ∴， 而， ∴， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵ ∴， 而，， ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为， 代入坐标得，， 解得：， ∴直线表达式为：， 联立直线表达式与抛物线表达式， 得到， 解得：或（舍）， ∴； ②当点在轴下方抛物线上，如图，过点作轴于点 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，点P坐标或； 【小问3详解】 解：补全矩形如图所示， 设，由得对称轴直线，设 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得：（舍）或， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与面积，角度的存在性问题，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七一华源中学2024-2025学年上学期9月九年级数学试题 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为3，则一次项系数、常数项分别是（ ） A. 、1 B. 6、1 C. 6、 D. 、 2. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 6 4. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 解方程时，可用配方法将其变形为（ ） A. B. C. D. 6. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共91．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（ ） A. （1＋x）2＝91 B. 1＋x＋x2＝91 C. 1＋x2＝91 D. x＋x2＝91 7. 已知点，，在函数图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（ ） A 30° B. 40° C. 45° D. 36° 10. 已知抛物线y1=x2﹣（m+2）x+2m、直线y2=2x﹣4，若对于任意的x的值，y1≥y2恒成立，则m的值为（　　） A. 0 B. 2 C. ﹣2 D. ﹣4 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则________． 12. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，则共有__________支球队参赛． 13. 已知抛物线与x轴只有一个交点，则______________． 14. 若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是________________． 15. 二次函数（是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y t m n 且当时，．下列结论：①；②是关于x的方程的一个根；③点和都在抛物线上，且则当时，；④．其中正确的结论（序号）有___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，P点坐标为，现将点A绕P逆时针旋转得到点B，则点B的纵坐标为________________． 三、解答题：（共8题，共72分） 17. 解方程：． 18. 如图，抛物线交与x轴于A、B两点，交y轴于点C． （1）A点坐标为 ，B点坐标为 ； （2）抛物线的顶点坐标是 ； （3）当时，求y取值范围； （4）当时，求x的取值范围． 19. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．当长度是多少时，矩形花园的面积为米2； 20. 如图，抛物线与直线l交于点、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点P在抛物线上，且在直线l上方，若的面积为，求点P的坐标． 21. 如图是由边长为1的小正方形构成的：网格，点都是格点，点M是与纵格线的交点．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，画出一个格点菱形（非正方形）； （2）在图1中，在边上作点N，使； （3）在图2中，作出将线段绕点A逆时针旋转后的线段； （4）在图2中，点P为格点线段和的交点，作出将P绕点A逆时针旋转后的点Q． 22. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据： 单价（元/件） 30 34 38 40 42 销量（件） 40 32 24 20 16 （1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）； （2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？ （3）为保证产品在实际试销中销售量不得低于30件，且工厂获得得利润不得低于400元，请直接写出单价x的取值范围． 23. 问题背景： （1）如图1，已知，均为等边三角形，若，，，求证：； 尝试应用： （2）如图2，已知中，，，为线段上一点，以为边作等边，连接，为线段的中点，连接，．求证：； 拓展创新： （3）已知中，，，为平面内一点，若，，请直接写出值． 24. 如图1，抛物线的顶点为抛物线与y轴交于点与x轴交于两点（A在B左侧）． （1）求抛物线解析式； （2）P为抛物线上一点，且满足求点P的坐标； （3）如图2，点D在抛物线对称轴上，且位于x轴上方，点为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$