09 动量定理的应用归类剖析-《中学生数理化》高考理化2024年9月刊

■广州中学 凌 维 动量定理I=p'-p 或F(t'-t)=mv' -mv是物理学中的一条重要规律,运用动量 定理可以简捷快速地处理多种烦琐难解的力 学问题。下面归类剖析应用动量定理求解不 同类型力学问题的具体策略,供读者参考。 一、应用动量定理求单个物体的动量变化 对于单个物体而言,动量定理可以表述 为物体在一个过程中所受的合外力的冲量或 各个力的冲量的矢量和等于它在这个过程始 末的动量变化。在应用动量定理求单个物体 的动量变化时,需要找到物体所受的各个力, 先求出其合外力,再求其始末状态下合外力 的冲量,或者先求出各个力在始末状态下的 冲量,再求冲量的矢量和。 例 1 将质量m=6 kg的物体以初速 度v0=5 m/s从足够高处抛出,经过t=4 s,其 速度变为vt。不计空气阻力,取重力加速度 g=10 m/s2。求物体在这4 s内的动量变化。 解析:物体被抛出后在空中运动仅受重 力(恒力)作用,故物体所受合外力的冲量等 于 重 力 的 冲 量。根 据 动 量 定 理 得 I重 = p'-p,即mgt=Δp,解得Δp=240 kg·m/s, 方向竖直向下。 例 2 将一小球从某点以初速度v0 竖 直上抛,小球能够上升的最大高度为h,小球 落回抛出点时的速度大小为v1。已知小球在 空中运动时所受的空气阻力与速度大小成正 比,取竖直向上为正方向,描绘的小球在整个 图1 运动过程中的速度—时间图像如图1所示, 其中t1 表示小球上升到最高点所用的时间, t2 表示小球从抛出至落 回抛 出 点 所 用 的 时 间。 若小球在上升和下落过 程中所受空气阻力的冲 量的大小分别为I1、I2, 重力加速度为g,则下列 判断正确的是( )。 A.t1> v0 g B.t2= v1+v0 g C.I1=I2 D.I1<I2 解析:设小球的质量为m,瞬时速度大小 为v,所受空气阻力为f,则f=kv (k 为常 数)。在小球上升的过程中,根据动量定理得 -I重 -I1=0-mv0,即 mgt1 +k∑vΔt= mv0,其中∑vΔt=h,解得t1= v0 g - kh mg< v0 g ,选项 A错误。在小球从抛出至落回抛出点 的过程中,根据动量定理得-I重 -I1+I2= -mv1-mv0,即mgt2+∑ t1 0 kvΔt-∑ t2 t1 kvΔt= mv1+mv0,其中∑ t1 0 vΔt=∑ t2 t1 vΔt=h,即I1= I2=kh,解得t2= v1+v0 g ,选项B、C正确,D 错误。 答案:BC 二、应用动量定理的分量式求某个方向 上的动量变化 动量定理的分量式为Fxt=Δpx,Fyt= Δpy,其中Fx 是指沿x 轴方向的合外力,Fy 是指沿y 轴方向的合外力,Δpx 是指沿x 轴 方向的动量变化,Δpy 是指沿y 轴方向的动 量变化。在应用动量定理的分量式求某个方 向上的动量变化时,需要在正确进行受力分 析的前提下,把力或速度进行正交分解。 图2 例 3 如图2所示,真空中分布着水平 向右的匀强电场,一质量为m,带电荷量为q 的粒子,以初速度v0 从A 点竖直向上射入电场。粒 子在电场中发生偏转到达 B 点时的速度方向变为水 平向右,大小变为2v0,求 电场的电场强度E。 72 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年9月 解析:粒子从A 点运动到B 点,受到竖直 向下的重力和水平向右的静电力作用,粒子的 竖直分速度由v0 变为0,粒子的水平分速度由 0变为2v0。设粒子从A 点运动到B 点所用 的时间为t,根据动量定理的分量式可知,在竖 直方向上粒子所受重力的冲量等于它沿竖直 方向动量的变化,即mgt=mv0,在水平方向上 粒子所受静电力的冲量等于它沿水平方向动 量的变化,即qEt=2mv0,解得E= 2mg q 。 例 4 将质量 m=0.2 kg的小球,以 初速度v0=3 m/s水平抛出,不计空气阻力, 取重力加速度g=10 m/s2,求抛出后1 s内 小球动量的变化量。 解析:小球做平抛运动,在水平方向上的 分速度保持不变,则水平方向上的动量变化 量Δpx=0。抛出1 s后小球在竖直方向上 的分速度vy=gt=10 m/s,则竖直方向上的 动量变化量Δpy=mvy-0=2 kg·m/s。因 此抛出后1 s内小球动量的变化量 Δp= Δp2x+Δp2y=2 kg·m/s。 说明:做平抛运动的物体的动量变化也 可以用重力的冲量表示,即Δp=I重。 三、应用动量定理求系统的动量变化 对于力学系统而言,动量定理可以表述 为力学系统在一个过程中所受合外力的冲量 等于系统内各个物体在这个过程始末状态下 动量变化的矢量和。求解涉及多个物体的力 学系统的动量变化问题时,若采用隔离法列 式求解,则过程冗繁,效率低下;若合理选用 整体法,则可达到事半功倍的效果。 例 5 如图3所示,质量为 M 的金属 图3 球通过细线系在质量为m 的木 块下方,将它们放在装有足够深 水的容器中,使其由静止开始以 恒定加速度a 下沉。经过时间 t,细线突然断裂,金属球与木块 分离,再经过时间t,木块悬停在 水中,求此时金属球的速度。 解析:将金属球和木块(包含细线)视为 整体,则整体所受合外力F=(M+m)a,与 细线中有无张力无关,即在细线断裂前后整 体所受合外力保持不变。取竖直向下为正方 向,对整体的整个下沉过程应用动量定理得 F(t+t)=Mv-0,解得v= 2(M+m)at M 。 例 6 科学家设想利用安装在宇宙飞 船上的太阳帆接收太阳光(光子)使得飞船获 得加速度。总质量为 m 的飞船在太空中张 开太阳帆,使太阳光垂直射到太阳帆上,已知 太阳帆的面积为S,太阳帆对光的反射率为 100%,太阳帆上每单位面积每秒有n个光子 到达,每个光子的动量为p。试推导飞船获 得的加速度的表达式。 解析:太阳帆接收到的太阳光(光子)使 得飞船获得推动力,飞船在推动力的作用下 获得加速度。规定反射光的方向为正方向, 以极短时间Δt内到达太阳帆的光子为研究 对象,设太阳帆对这部分光子的作用力的大 小为 F,根 据 动 量 定 理 得 FΔt=n[p- (-p)]SΔt,解得F=2npS。根据牛顿第三 定律可知,飞船获得的推动力F'=F,根据牛 顿第二定律得F'=ma,解得飞船获得的加速 度的表达式为a= 2npS m 。 应用动量定理解题的步骤:(1)明确研究 对象和研究过程,研究对象可以是单一物体, 也可以是由多个物体组成的系统,系统内各 物体可以是相对静止的,也可以是相对运动 的。研究过程既可以是全过程,也可以是某 一阶段过程。(2)进行受力分析,只分析研究 对象以外的物体施加给研究对象的力,而不必 分析内力。若在所选定的研究过程的不同阶 段中物体的受力情况不同,则要先分别计算出 它们的冲量,再求其矢量和。(3)规定正方向, 因为力、冲量、速度、动量都是矢量,所以在一 维的情况下,列式前需要先规定一个正方向, 与规定的正方向相同的矢量为正,与规定的正 方向相反的矢量为负。(4)写出研究对象的 初、末动量和合外力的冲量(或各外力在各个 阶段的冲量的矢量和),注意描述系统内各物 体的动量时,应该选取同一个参考系。(5)根 据动量定理列式求解。 (责任编辑 张 巧) 82 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年9月