01 巧设中间变量 精准选择公式-《中学生数理化》高考理化2024年9月刊

■安徽省芜湖市第一中学 杜 杰 匀变速直线运动的规律是动力学的重要 组成部分。这部分内容公式繁多,应用灵活。 如果公式选择不当,那么不仅会带来复杂的 计算,甚至会无果而终。下面介绍一种巧设 中间变量,列出物理量表格,精准选择公式的 方法,帮助同学们速解运动学问题。 一、匀变速直线运动常用公式(见表1) 表1 常用公式 v0 v a t x 公式一 v=v0+at √ √ √ √ 公式二 x=v0t+ 1 2at 2 √ √ √ √ 公式三 v2-v20=2ax √ √ √ √ 公式四 x= v0+v 2 t √ √ √ √ 公式五 x=vt- 1 2at 2 √ √ √ √ 二、选择公式的思路 匀变速直线运动的五个常用公式共涉及 v0、v、a、t、x 五个量,每个公式都含有四个 量。若已知三个量,求某一个量,则直接选用 含有这四个量的公式即可。若题干提供的已 知量不足三个,无法直接选定某一公式进行 求解,则需要先引入中间变量,再列出关于已 知量、中间变量、待求量的表格,对照常用公 式进行精准选择。 三、巧设中间变量的方法 1.同一个匀变速直线运动,加速度作为 中间变量。 对同一个匀变速直线运动而言,加速度 是恒定的。将加速度作为中间变量,可以把 不同的运动阶段联系起来。 例 1 (2024年高考山东卷)如图1所 示,固定的光滑斜面上有一木板,其下端与斜 面上A 点的距离为L。将木板由静止释放, 图1 若木板长度为L,则通过 A 点的时间间隔为 Δt1;若木 板长度为2L,则通过A 点的 时间 间 隔 为 Δt2。则Δt2∶ Δt1 为( )。 A.(3-1)∶(2-1) B.(3- 2)∶(2-1) C.(3+1)∶(2+1) D.(3+ 2)∶(2+1) 解析:木板通过A 点的时间间隔是从木 板下端到达A 点的时刻到木板上端到达A 点时刻的差值,木板下端到达A 点的过程和 木板上端到达A 点的过程属于同一个木板 在同一个斜面上的运动,加速度相同,对这两 个过程进行分析,各物理量如表2所示。 表2 v0 v a t x 下端到达A 点过程 0 a t1 x1 上端到达A 点过程 0 a t2 x2 对照表1,选择公式二进行求解,则x= 1 2at 2,解得t= 2x a 。 当木板长度为L 时,有x1=L,x2=2L, 则Δt1= 2×2L a - 2L a = (2-1) 2L a ; 当木板长度为2L 时,有x1=L,x2=3L,则 Δt2= 2×3L a - 2L a = (3-1) 2L a 。因 此Δt2∶Δt1=(3-1)∶(2-1)。 答案:A 3 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2024年9月 图2 例 2 (2019年高考 全国卷)如图2所示,篮球 架下的运动员原地垂直起 跳扣篮,离地后重心上升 的最大高度为 H。上升 第一个 H 4 所用的时间为 t1,第四个 H 4 所用的时间 为t2。不计空气阻力,则 t2 t1 满足( )。 A.1< t2 t1 <2 B.2< t2 t1 <3 C.3< t2 t1 <4 D.4< t2 t1 <5 解析:运动员原地垂直起跳后的运动是 匀变速直线运动,整个上升过程中加速度是 恒定的,运动员到达最高点时的瞬时速度为 零,做逆向处理为自由落体运动,各物理量如 表3所示。 表3 v0 v a t x 第一段 0 g t2 H 4 第二段 0 g t3 3H 4 第三段 0 g t4 H 对照表1,选择公式二进行求解,则h= 1 2gt 2,解得t= 2h g 。因此t2= 2× H 4 g , t1=t4-t3= 2H g - 2× 3H 4 g ,可得t2 t1 = 2+ 3,即3< t2 t1 <4。 答案:C 说明:本题利用初速度为零的匀加速直 线运动,等分位移的时间比进行分析与求解 也比较简便。 2.相继发生的两个运动过程,临界状态 的速度作为中间变量。 临界状态的速度既是第一个运动过程的 末速度,又是第二个运动过程的初速度。将 临界状态的速度作为中间变量,可以减少未 知量的个数,方便分析与处理问题。 例 3 (2016年高考上海卷)物体做匀 加速直线运动,相继经过两段距离均为16 m 的路程,第一段用时4 s,第二段用时2 s,则 物体的加速度是( )。 A. 2 3 m/s2 B. 4 3 m/s2 C. 8 9 m/s2 D. 16 9 m/s2 解析:物体做匀加速直线运动,相继发生 两段位移,将第一段位移的末速度v 作为中 间变量,各物理量如表4所示。 表4 v0 v a t x 第一段 v a 4 s 16 m 第二段 v a 2 s 16 m 对照表1,对第一段过程选择公式五得 16=4v- 1 2a ·42,对第二段过程选择公式二 得16=2v+ 1 2a ·22,解得a= 4 3 m/s2。 答案:B 图3 例 4 (2023年高 考山东卷)如图3所示, 电动公交车做匀减速直 线运动进站,连续经过R、S、T 三点,已知S、 T 两点间的距离是R、S 两点间距离的两倍, RS 段的平均速度是10 m/s,ST 段的平均速 度是5 m/s,则公交车经过T 点时的瞬时速 度为( )。 A.3 m/s B.2 m/s C.1 m/s D.0.5 m/s 解析:题干提供的信息有RS 段和ST 段 的位移关系,设RS 段的位移为x,则ST 段 的位移为2x,匀变速直线运动的五个常用公 式中不含平均速度,可以把平均速度转化为 运动时间,即经过RS 段用时为 x 10 ,经过ST 段用时为 2x 5 ,公交车在整个过程中做匀减速 4 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2024年9月 直线运动,加速度不变,设为a,对相继发生 的两段位移,将公交车经过S 点时的瞬时速 度vS 作为中间变量,各物理量如表5所示。 表5 v0 v a t x RS 段 vS a x 10 x ST 段 vS vT a 2x 5 2x 对照表1,对 RS 段选择公式五得x= vS x 10- 1 2a x 10 2 ,对ST 段选择公式二得 2x=vS 2x 5+ 1 2a 2x 5 2 ,选择公式一得vT= vS+a 2x 5 ,解得vT=1 m/s。 答案:C 3.涉及多个物体的运动,时间作为中间 变量。 对于涉及多个物体的运动,时间往往是 联系它们之间运动关系的桥梁,对同一段时 间内各物体的运动情况进行分析,往往能够 顺利解题。 例 5 如图4所示,甲从 A 地由静止 开始匀加速跑向B 地,当甲前进距离为s1 时,乙从距A 地s2 处的C 点由静止出发,其 加速度与甲的相同,最后二人同时到达 B 地,则A、B 两地间的距离为( )。 图4 A.s1+s2 B. (s1+s2)2 4s1 C. s21 4(s1+s2) D. (s1+s2)2 (s1-s2)s1 解析:把甲的运动分为两个过程,第一个 过程是甲独自做匀加速运动,第二个过程是 甲、乙一起做匀加速运动。将甲的第一个过 程的末速度v1 作为中间变量,把甲的两个 过程联系起来,对甲、乙一起做匀加速运动 的过程而言,将时间t作为中间变量,各物 理量如表6所示。 表6 v0 v a t x 甲的第一个过程 0 v1 a s1 甲的第二个过程 v1 a t sAB-s1 乙的运动过程 0 a t sAB-s2 对照表1,对甲的第一个过程选择公式 三得v21=2as1,对甲的第二个过程选择公式 二得sAB-s1=v1t+ 1 2at 2,对乙的运动过程 选择公 式 二 得sAB -s2= 1 2at 2,解 得t= s2-s1 2as1 ,sAB= (s1+s2)2 4s1 。 答案:B 图5 例 6 (2017年高考 新课标Ⅱ卷)为提高冰球 运动员的加速能力,教练 员在冰面上与起跑线距离 s0 和s1(s1<s0)处分别设 置一个挡板和一面小旗, 如图5所示。训练时,让 运动员和冰球都位于起跑线上,教练员将冰 球以速度v0 击出,使冰球在冰面上沿垂直于 起跑线的方向滑向挡板。冰球被击出的同 时,运动员垂直于起跑线从静止出发滑向小 旗。训练要求当冰球到达挡板时,运动员至 少要到达小旗处。假定运动员在滑行过程中 做匀加速运动,冰球到达挡板处时的速度为 v1。重力加速度为g。求: (1)冰球与冰面之间的动摩擦因数。 (2)满足训练要求的运动员的最小加速度。 解析:冰球到达挡板处和运动员到达小 旗处所用的时间相等,将其作为中间变量,在 这段时间内,对冰球和运动员的运动过程进 行分析,各物理量如表7所示。 表7 v0 v a t x 冰球的运动过程 v0 v1 -a1 t s0 运动员的运动过程 0 a2 t s1 (1)对照表1,对冰球的运动过程选择公 5 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2024年9月 式三得v21-v20=-2a1s0,由牛顿第二定律得 a1=μg,解得μ= v20-v21 2gs0 。 (2)对照表1,对冰球的运动过程选择公 式四得s0= v0+v1 2 t ,解得t= 2s0 v0+v1 。对运 动员的运动过程,在时间t作为中间变量的 情况下,选择公式二得s1= 1 2a2t 2,解得a2= s1(v0+v1)2 2s20 。 4.往返类运动,位移作为中间变量。 在往返类运动问题中,题干往往不会直 接提供位移关系,而是将位移关系隐藏在试 题情境之中,这时有意识地把位移设为中间 变量,结合其他物理量,可以精准选择公式, 方便解题。 例 7 一个质点由静止开始以加速度 a1 做匀加速直线运动,经过一段时间速度大 小变为v1,此时加速度突然反向,大小变为 a2,若经过相同时间质点恰好回到出发点,速 度大小为v2,则( )。 A. a1 a2 =1 B. a1 a2 = 1 3 C. v1 v2 =1 D. v1 v2 = 1 2 解析:质点的往返运动可以分为两个过 程,过程一是由静止开始的匀加速直线运动, 过程二是加速度反向后的匀变速直线运动, 图6 其运动情境如图6所示。 两个 过 程 所 用 的 时 间 相 等,设为t,两个过程的位 移大 小 相 等,方 向 相 反。 各物理量如表8所示。 表8 v0 v a t x 过程一 0 v1 a1 t x 过程二 v1 -v2 -a2 t -x 对照表1,选择公式四得x= 0+v1 2 t , -x= v1-v2 2 t ,解得v2=2v1,故 v1 v2 = 1 2 ;选择 公式一得v1=a1t,-v2=v1-a2t,解得a2= 3a1,故 a1 a2 = 1 3 。 答案:BD 例 8 (2018年高考浙江卷)可爱的企 鹅喜欢在冰面上游玩。如图7所示,有一企 鹅在倾角θ=37°的斜面上,先以加速度a= 0.5 m/s2 从冰面底部由静止开始沿直线向 上“奔跑”,t=8 s时刻,突然卧倒以肚皮贴着 冰面向前滑行,最后退滑到出发点,完成一次 游戏(企鹅在滑动过程中的姿势保持不变)。 若企 鹅 肚 皮 与 冰 面 间 的 动 摩 擦 因 数 μ= 0.25,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,取重 力加速度g=10 m/s2。求: 图7 (1)企鹅向上“奔跑”的位移大小。 (2)企鹅在冰面上滑动时的加速度大小。 (3)企鹅退滑到出发点时的速度大小。 (计算结果可用根式表示) 解析:企鹅完成一次游戏可以分为三个 过程,过程一是企鹅沿斜面向上的匀加速“奔 跑”运动,过程二是企鹅沿斜面向上的匀减速 滑动,过程三是企鹅退滑到出发点的匀加速 运动。把过程一的末速度v1 设为中间变量, 过程三的位移与过程一和二的总位移大小相 等,方向相反。各物理量如表9所示。 表9 v0 v a t x 过程一 0 v1 0.5 m/s2 8 s x1 过程二 v1 0 a1 x2 过程三 0 v2 a2 x3 (1)对照表1,选择公式二求得企鹅向上 “奔跑”的位移x1= 1 2at 2=16 m。 (2)对照表1,选择公式一求得企鹅向上 “奔跑”的末速度v1=at=4 m/s。根据牛顿 第二定律可知,企鹅在上滑过程中的加速度 a1=gsin θ+μgcos θ=8 m/s2。 6 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2024年9月 􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓􀥓 (3)对照表1,选择公式三得过程二的位 移x2= v21 2a1 =1 m。企鹅在下滑过程中的加 速度a2=gsin θ-μgcos θ=4 m/s2。根据位 移关系得过程三的位移x3=x1+x2,选择公 式三得v22=2a2x3,解得v2=2 34 m/s。 总结:运动学涉及的公式繁多,应用灵 活,在已知量较少的条件下,需要选取合适的 研究对象和研究过程进行分析,明确已知量, 挖掘相同量,巧设中间变量,列出表格,对照 常用公式精准选择,这样才能提高解题效率。 通过巧设中间变量,精准选择公式,顺利求解 运动学问题,既能够帮助同学们熟悉各运动 学公式的特点,认识运动学公式之间的区别 与联系,构建知识体系,还能够极大地提高同 学们学习物理的兴趣,落实物理学科核心素 养的培养。 (责任编辑 张 巧) 7 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2024年9月