17 平中有真味 淡中见隽永-《中学生数理化》高考数学2024年9月刊

■杭州市余杭区教育发展研究学院 曹凤山(特级教师、正高级教师) 2024年全国高考数学新课标Ⅱ卷第16 题(解答题第二题)是一道函数与导数问题, 是近几年高考数学试卷中函数与导数试题位 置比较靠前的一次。通过对试题的求解与深 度分析可以发现,在貌似简单的背后,试题有 新意、有深意,体现了高考命题的新思路、新 特征,需要同学们认真思考高度重视。本文 通过解题分析和试题评价,谈一谈这道高考 试题的特点以及给同学们的启示。 一、真题再现 题目 已知函数f(x)=ex-ax-a3。 (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程; (2)若f(x)有极小值,且极小值小于0, 求a的取值范围。 二、解题分析 试题表述简洁,题型常规,表面没有多少 波澜,但是细究又有深意。先看解法。 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-1,可得 f(1)=e-2,即切点坐标为(1,e-2)。结合 求导公式及导数的几何意义,由f'(x)=ex -1,得到f'(1)=e-1,所以切线方程为y- (e-2)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x-1。 (2)由题知f(x)的定义域为 R,对于 f'(x)=ex-a。 若a≤0,则对任意x∈R,有f'(x)>0 恒成立,可知f(x)在 R 上单调递增,无极 值,不合题意。 若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln a;令 f'(x)<0,解得x<ln a。 所以f(x)在(-∞,ln a)内单调递减, 在(ln a,+∞)内单调递增,所以当x=ln a 时,f(x)取得极小值f(ln a)=a-aln a- a3,无极大值。 由题意可得,f(ln a)=a-aln a-a3< 0,即a2+ln a-1>0。一般的解不等式是不 可能的。类比一元二次函数、一元二次方程 及一元二次不等式的关系,回归函数主线,转 化为研究函数性质问题。 设g(a)=a2+ln a-1(a>0),则g'(a) =2a+ 1 a>0 ,所以g(a)在(0,+∞)上单调 递增。 只有函数单调性还不行,还要有零点,也 就是方程的根。没有公式求解方程,但由函 数的特点,有g(1)=0,所以当0<a<1时, g(a)<0,当a>1时,g(a)>0,所以a 的取 值范围为(1,+∞)。 实际上,注意函数的特点g(x)=x2+ ln x-1,根据二次函数、自然对数函数的性 质,明显g(x)是增函数,并不需要求导判断 单调性,又g(1)=0,故由g(a)=a2+ln a- 1>0得到a>1。充分利用基本函数的性质, 减少或者避免机械求导也是这类问题常见而 重要的解题策略。 或者由a2+ln a-1>0,变形得ln a>1 -a2。选择合适的研究对象,化陌生为熟悉, 图1 作出函数y=ln a 和函数y =1-a2 的图像,如图1所 示,由函数直观可以得到a> 1,所以a 的取值范围为(1, +∞)。当然,作为解答题, 可以通过直观引领,观察或猜想得到问题的 答案,最好有严密的推理论证。 三、试题评析 对于第(1)问。 ①求曲线在某点处的切线方程是函数与 导数部分常规题型,也是体现导数作为研究 函数性质工具的重要问题之一,通过导函数, 可以方便地得到函数在某点处的瞬时变化率 (在该点处切线的斜率)。 04 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年9月 ②这里是求曲线“在”某点处的切线方程, 注意与曲线“过”某点处的切线的区别。在某 点处的切线,该点一定是切点,而且曲线在该 点的切线有且仅有一条,而过某点的切线,该 点不一定是切点,切线也不一定是一条。 ③关注求解结果背后的故事。很多问题 第(1)问不仅是考查基础知识、基本技能,有 时候也会大有深意。比如本题,表面是求在 点(1,f(1))处的切线方程,再继续思考下去, 根据函数f(x)=ex-x-1的图像特点,有 f(x)=ex-x-1≥(e-1)x-1,即ex≥ex (当且仅当x=1时等号成立),进一步有ex-1 ≥x,也就是ex≥x+1。这样一个简单问题 的背后竟然隐藏着一个如此重要的不等式ex ≥x+1! 它是以直代曲的经典形式,它本身 的几何意义以及在处理复杂问题(如放缩不 等式)中的作用都不容小觑,它的形式可以根 据需要灵活多变。比如以-x 代替x,有反 向不等式ex≤ 1 1-x (x<1),对ex≥x+1两 边取对数转化为对数形式为ln x≤x-1。如 果感觉这个对数不等式以直代曲放缩幅度过 大,不够精细,还可以考虑以曲代曲,如以 x 代替x,有ln x≤2(x-1),以 1 x 代替x 可 以得到反向不等式ln x≥1- 1 x ,ln x≥ 21- 1 x 等。如果利用以上不等式考虑在 零点、极值点、求参数值范围、恒成立、存在性 或者不等式证明等方面对问题加以拓展延 伸,肯定可以命制难度很大、角度很新颖的问 题。而之所以这个很漂亮的“舞台”没有发挥 它的作用,应该是出于试卷整体设计考虑,可 以看出这类问题伸缩尺度很大,可以很自由 地裁量,今年没有出现难题,不意味着以后也 继续简单,只是等待时机。 ④关于点(1,f(1))选取的思考。为什么 要取点(1,f(1)),如果取函数图像上一般的 点(m,f(m)),结果会如何呢? 同理可以得 到ex≥em(x+1-m),即ex-m≥x+1-m,具 有相同的规律性,选取点(1,f(1))既简洁,又 体现规律性。 对于第(2)问。 利用导数工具研究函数性质是常见问 题,其中求极值更是典型问题,体现通性通 法。这里是给出极值的存在性、极值的符号, 反向求参数取值范围,其中,既有一般方法, 通过分类讨论确定极值点、求极值,考查利用 导数研究函数的性质的基本路径,也体现转 化思想(不等式、函数与方程),同时,也反套 路,可以不用机械的求导,突出考查函数思想 方法,通过直观想象,数形结合等处理,细微 处显素养,对数学思想方法引导下熟练利用 所学知识解决问题提出了较高的要求。 四、解题启示 适应高考数学试卷反八股的新模式。试 卷减少题量,加大思维量,各个模块位置不再 固定,可能放在任何位置上,函数与导数问题 作为传统的压轴题素材,也可以用相对简单 的形式出现,靠题型、套路、解题模板应对高 考已经成为过去。不能因为今年函数与导数 位置前移就降低学习要求,而是要以课本为 本,提升硬实力,这样才能兵来将挡水来土 掩,以不变应万变。 理解概念,熟悉基本方法,领悟思想,提 升素养。从以上求解过程可以体会到,无论 试卷形式如何变化,高考数学试题都重在考 查数学核心内容,考查高中数学主干内容,突 出数学思想方法的运用。比如函数部分,函 数是高中数学中最核心的内容之一,这部分 具有概念性强,内容丰富,与其他知识联系广 泛等特点,函数的概念与性质、函数的综合应 用是每年高考考查的重点。在复习过程中加 深对函数概念的理解,熟练掌握几种基本函 数的基本性质,要从模型背景、研究方法、个 性特征等方面进行全面、深入的复习,达到学 过的基本函数性质会熟练应用,没有学过的 会探究。导数是研究函数的工具,重在基本 方法熟练,不能主次不分,在涉及导数的所谓 技巧二级结论上下功夫。当然,利用导数解 决问题也有其特性,比如涉及的函数比较复 杂,关注函数局部性质的内容(如切线、极值 等),问题中有比较特殊的点等。 (责任编辑 王福华) 14 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年9月