16 掌握通法 提升素养-《中学生数理化》高考数学2024年9月刊

■杭州市余杭高级中学(临平中学) 杜 慧 由于2024年九省联考试卷采取了19题 的新模式,试题题量压缩,最后一题设置综合 性难题,同时联考卷将导数题前移。在大家 猜测函数与导数会降低难度、位置前移的背 景下,函数与导数再次回归倒数第二题的位 置,分值高达17分,可谓在意料之外,却又在 情理之中。下面通过对这道试题的求解分 析,谈谈对新高考模式的理解与感悟,以及对 后续高考备考的启示。 一、真题再现 题目 已知函数f(x)=ln x 2-x+ax+ b(x-1)3。 (1)若b=0,且f'(x)≥0,求a 的最小 值; (2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图 形; (3)若f(x)>-2,当且仅当1<x<2, 求b的取值范围。 试题总览:试题设置三问,考查了函数与 导数应用中求导、求最值、函数性质判断与证 明,以及利用函数、方程与不等式的关系求解 参数范围,试题难度拾级而上,步步深入。试 题全面考查了基础知识、基本技能和基本思 想,同时试题难度较大,具有很好的区分度, 体现了高考的选拔功能。 二、多角度求解 (1)当b=0时,f(x)=ln x 2-x+ax 。 正确求导是第一步,可以有 f'(x)= 2-x x x 2-x '+a,也可以化为f(x)=ln x -ln(2-x)+ax 再求导。 总之,迈 好 第 一 步,得 到 f'(x)= 2 x(2-x)+a≥0 恒成立,或f'(x)= 1 x+ 1 2-x+a≥0 恒成立的形式。 下面求a的最小值。 解法1:(利用二次函数性质)参变分离 后得 a≥ 2 x(x-2) 恒 成 立。令 g(x)= 2 x(x-2)= 2 (x-1)2-1 ,x∈(0,2),则在x∈ (0,1)上,g(x)单调递增,在x∈(1,2)上, g(x)单调递减。所以a≥g(x)max=g(1)= -2,即a的最小值为-2。 解法2:(利用基本不等式)因为 2 x(2-x) = 1 x+ 1 2-x= 1 x+ 1 2-x [x+(2-x)]· 1 2 = 1 + 1 2 2-x x + x 2-x ≥ 1 + 2-x x · x 2-x=2 ,所以当 f'(x)≥0时, a≥-2,即a的最小值为-2。 (2) 逐个分析,猜想+证明。 由函数y=ln x 2-x 的定义域为(0,2), 猜想其关于(1,0)中心对称,又y=ax 关于 其图像上任意一点成中心对称,y=b(x- 1)3 关于(1,0)中心对称,猜想:f(x)关于(1, a)中心对称。 解法1:(应用中心对称关系直接证明) 因为f(1+x)+f(1-x)=ln 1+x 1-x+2a (1 73 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年9月 +x)+bx3+ln 1-x 1+x+2a (1-x)+b(-x)3 =2a,所以f(x)关于(1,a)中心对称。 解法2:(转化为点对称问题)已知f(x) =ln x 2-x+ax+b (x-1)3 的定义域为(0, 2)。设P(m,n)为y=f(x)图像上任意一 点,P(m,n)关于(1,a)的对称点为Q(2-m, 2a-n)。因为P(m,n)在y=f(x)的图像 上,所以n=ln m 2-m+am+b (m-1)3,而 f(2-m)=ln 2-m m +a (2-m)+b(2-m- 1)3=- ln m 2-m+am+b (m-1)3 +2a= -n+2a,所以 Q(2-m,2a-n)也在y= f(x)的图像上。由点 P 的任意性可得曲 线y=f(x)为中心对称图形,且对称中心 为(1,a)。 (3)由(2)知y=f(x)为中心对称图形。 因为f(x)>-2,当且仅当1<x<2,所以当 0<x<1时,f(x)<-2。由函数的连续性 知f(1)=-2,代入原函数,得a=-2。 下面求b的取值范围。 解法1:(分类讨论)求导得 f'(x)= (x-1)2(-3bx2+6bx+2) x(2-x) 。 令h(x)=-3bx2+6bx+2。 ①当b=0时,h(x)=2≥0,此时f'(x) ≥0,f(x)>f(1)=-2,成立。 ②当b>0时,h(x)在(1,2)上单调递 减,h(1)=3b+2>0,h(2)=2>0,此时 h(x)>0,即f'(x)≥0,故f(x)在(1,2)上 单调递增,则f(x)>f(1)=-2,成立。 ③当 b<0时,h(x)在(1,2)上单调递 增,h(1)=3b+2。 若3b+2≥0,即- 2 3≤b<0 ,则h(x)> 0,此时f'(x)≥0,故f(x)在(1,2)上单调递 增,则f(x)>f(1)=-2,成立; 若b<- 2 3 ,则h(1)<0,h(2)>0,因此 ∃x0∈(1,2),使得h(x0)=0,f(x)在(1, x0)上单调递减,此时f(x)<f(1)=-2,不 成立。 综 上 可 得,b 的 取 值 范 围 为 - 2 3 ,+∞ 。 解法2:(适当换元后简化运算)f(x)> -2,当且仅当1<x<2,即为ln x 2-x+2 (1 -x)+b(x-1)3>0在(1,2)上恒成立。 设t=x-1∈(0,1),则ln t+1 1-t-2t+ bt3>0在(0,1)上恒成立。 设g(t)=ln t+1 1-t-2t+bt 3,t∈(0,1), 求 导 得 g' (t)= 2 1-t2 -2+3bt2 = t2(-3bt2+2+3b) 1-t2 。 若b≥0,则-3bt2+2+3b≥-3b+2+ 3b=2>0,故g'(t)>0恒成立,故g(t)在(0, 1)上为增函数,故g(t)>g(0)=0,即f(x) >-2在(1,2)上恒成立。 若- 2 3≤b<0 ,则-3bt2+2+3b≥2+ 3b≥0,故g'(t)≥0恒成立,故g(t)在(0,1) 上为增函数,故g(t)>g(0)=0,即f(x)> -2在(1,2)上恒成立。 若b<- 2 3 ,则当0<t< 1+ 2 3b<1 时,g'(t)<0,故在 0,1+ 2 3b 上g(t)为减 函数,故g(t)<g(0)=0,不合题意。 所以当f(x)>-2在(1,2)上恒成立 时,b≥- 2 3 。 而当b≥- 2 3 时,由上述过程可得g(t) 在(0,1)上单调递增,故g(t)>0的解为(0, 1),即f(x)>-2的解集为(1,2)。 综 上 可 得,b 的 取 值 范 围 为 - 2 3 ,+∞ 。 解法3:(必要先行)由函数的连续性及 题意知,f(1)=-2,代入原函数,得a=-2。 令t=x-1,则g(t)=ln 1+t 1-t-2t+bt 3 83 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年9月 -2>-2,于是问题转化为:当且仅当t∈(0, 1)时,h(t)=ln 1+t 1-t-2t+bt 3>0 (*)恒 成立。 注意到h(0)=0,若h(t)>0在t∈(0, 1)上恒成立,则有h'(0)≥0。 由h'(t)= 2 1-t2 -2+3bt2 (**),得 到h'(0)=0,因而存在正数δ,在(0,δ)上, h'(t)≥0恒成立,即h″(t)= 4t (1-t2)2 +6bt ≥0恒成立,也就是 2 (1-t2)2 +3b≥0 (***) 恒成立,得b≥- 2 3 。 下面证明充分性: 当b≥- 2 3 时,h'(t) = 2 1-t2 -2 + 3bt2≥ 2 1-t2 -2-2t2 = 2(t4-t2 + 1) 1-t2 >0,从 而h(t)在(0,1)内单调递增,故h(t)>h(0) =0成立。 而b<- 2 3 时,由(*)(**)(***) 知,一定存在正数 m,在(0,m)上,h(t)<0, 由于h(0)=0,这时不符合题意。 综 上 可 得,b 的 取 值 范 围 为 - 2 3 ,+∞ 。 解法4:(分离参数) 由函数的连续性及 题意知,f(1)=-2,代入原函数,得a=-2。 问题转化为:当且仅当t∈(0,1)时,h(t) =ln 1+t 1-t-2t+bt 3>0恒成立,参变分离得 b> 1 t3 2t-ln 1+t 1-t 。 令φ(t)= 1 t3 2t-ln 1+t 1-t ,则φ'(t)= 1 t4 3ln 1+t 1-t- 2t 1-t2 -4t 。 令 p(t)=3ln 1+t 1-t- 2t 1-t2 -4t,则 p'(t)= 4-8t2 (1-t2)2 -4= -4t4 (1-t2)2 <0,于 是 p(t)在(0,1)内单调递减,则p(t)<p(0)= 0,从而φ'(t)<0,φ(t)在(0,1)内单调递减, 从而得φ(t)<φ(0)=lim t→0 1 t3 2t-ln 1+t 1-t = lim t→0 -2 3(1-t2)2 =- 2 3 。 因此b的取值范围为 - 2 3 ,+∞ 。 三、复习启示 通过分析近几年的全国卷,可以感受 到全国卷一直尝试着打破模式,做到年年 有新意,难度和考查方向不断调整与变化。 这其实是为了打破教师与学生对导数与函 数的固化印象。试卷中各个模块题序的固 化会强化题型训练,造成深挖洞,使某些知 识板块人为加强,而有些知识则无人问津, 这严重影响到基础知识的全面掌握。虽然 2024年高考中函数与导数出现在倒数第 二题的位置,但是并不意味着2025年高考 一定会继续。分析近几年的高考试卷,会 发现导数在研究函数性质中的应用一直是 考查的核心点。因此,同学们需要关注函 数与导数本身的知识点,以及导数在函数 研究中的作用与呈现方式。 高考的核心是“立德树人、服务选拔、导 向教学”,“双减”背景下的高考按照课标命 题,体现“低起点”特征,选择题、填空题、解答 题的起始题起点低、入口宽,面向全体考生, 重在考查数学概念、基本方法。同时高考又 突出主干知识,体现综合性,考查“多层次”, 重视难度与思维的水平,大多数试题有多种 求解途径,体现不同的思维层次。因此,同学 们在复习备考过程中,需要遵循课标,深化基 础,切实回归课标、回归教材,深刻理解内容, 培养善于观察、思考、探究、总结等思维习惯。 同时还需要关注各个知识模块之间的交叉融 合,注重理解新颖自然的综合情境,理解数学 学科知识的综合运用、数学与其他学科知识 的交叉综合,以及数学知识与社会生活实际 的结合等方面内容,培养自身思维的深刻性、 灵活性,积累处理相对复杂问题的基本经验 和策略。 (责任编辑 王福华) 93 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年9月