15 归类高考中的函数概念与性质问题-《中学生数理化》高考数学2024年9月刊

■江苏省天一中学 孙承辉 函数是贯穿高中数学课程的主线知识之 一。函数的概念与性质一直是高考的重点和 热点,着重考查同学们的数学抽象、数学运算 和逻辑推理能力。本文归纳了有关函数的概 念与性质的几类热点题型,希望对同学们的 复习有所帮助。 题型一、考查函数的单调性 函数的单调性刻画了在一个指定区间 内,函数值变化与自变量变化的关系。与此 相关的考题类型通常有判断函数的单调性、 根据函数的单调性求参数的范围等。解决这 类问题的策略是根据初等函数的图像特征以 及复合函数的“同增异减”原则,结合单调性 定义或者导数进行求解。 例 1 (2024年新高考I卷)已知函数 f(x)= -x2-2ax-a,x<0, ex+ln(x+1),x≥0 在 R 上单调 递增,则a的取值范围是( )。 A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 解析:因为f(x)在 R上单调递增,所以 - -2a 2×(-1)≥0 , -a≤e0+ln 1, 解得-1≤a≤0,即a 的取 值范围是[-1,0]。故选B。 点评:本题考查分段函数的单调性,根据 函数在每一段上的单调性和分界点两侧函数 值的大小关系即可得到不等式组,解出a 的 范围即可。 例 2 (2024年北京卷)记水的质量为 d= S-1 ln n ,并且d 越大,水的质量越好。若S 不变,且d1=2.1,d2=2.2,则n1 与n2 的关 系为( )。 A.n1<n2 B.n1>n2 C.若S<1,则n1<n2;若S>1,则n1>n2 D.若S<1,则n1>n2;若S>1,则n1<n2 解析:由d= S-1 ln n 可得n 关于d 的函数 关系为n = e S-1 d 。若S<1,则n 关于d 在 (0,+∞)上单调递增,由d1<d2 可知n1< n2;若S=1,则n1=n2=1;若S>1,则n 关 于d 在(0,+∞)上单调递减,由d1<d2 可知 n1>n2。 故选C。 点评:根据题干和选项,本题应先将原式 改写为n关于d 的函数关系式,然后对参数 S 与1的大小关系进行分类讨论,得到该函 数的单调性,最后根据d1<d2,结合单调性 进行分析判断。 题型二、考查函数的奇偶性和对称性 函数具有奇偶性的前提是定义域关于原 点对称,否则是非奇非偶函数。利用函数的 奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像, 从而可以直观地求解相关问题。在求解有关 函数对称性的问题时,应根据题目所给的条 件,结合对称性的定义,求出对称轴的方程或 对称中心的坐标。 例 3 (2024年天津卷)下列函数是偶 函数的是( )。 A.y = ex-x2 x2+1 B.y= cos x+x2 x2+1 C.y = ex-x x+1 D.y = sin x+4x e|x| 解析:A选项,设函数f(x) = ex-x2 x2+1 , 其定义域为R,因为f(-1) = e-1-1 2 ,f(1) = e-1 2 ,所以f(-1)≠f(1),f(x)不是偶函 43 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年9月 数,故A错误。 B选项,设函数g(x)= cos x+x2 x2+1 ,其定 义域为R,因为g(-x)= cos(-x)+(-x)2 (-x)2+1 = cos x+x2 x2+1 =g(x),所以g(x)为偶函数, 故B正确。 C选项,设函数h(x) = ex-x x+1 ,其定义 域为{x|x≠-1},不关于原点对称,所以 h(x)不是偶函数,故C错误。 D选项,设函数φ(x) = sin x+4x e|x| ,其 定义域为R,因为φ(1) = sin 1+4 e ,φ(-1) = -sin 1-4 e ,所以φ(1)≠φ(-1),所以 φ(x)不是偶函数,故D错误。 故选B。 点评:本题主要考查函数的奇偶性。如 果要说明函数是偶函数,那么需要结合定义 进行严格证明;反之,要说明某函数不是偶函 数,只 需 在 定 义 域 内 找 到 一 个 x0,使 得 f(-x0)≠f(x0)即可。另外,在判断函数奇 偶性 的 运 算 中,可 以 转 化 为 判 断 f(x)+ f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0 (偶函数)是否成立。 例 4 (2024年新高考Ⅱ卷·多选题) 设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则( )。 A.当a>1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得 x=b 为 曲 线y= f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y= f(x)的对称中心 解析:A选项,f'(x)=6x2-6ax=6x· (x-a),由于a>1,故f(x)在(-∞,0), (a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减。 因为f(0)=1>0,f(a)=1-a3<0,所以 f(0)f(a)<0,由零点存在定理知f(x)在 (0,a)上有一个零点。又f(-1)=-1-3a <0,f(2a)=4a3+1>0,则f(-1)f(0)< 0,f(a)f(2a)<0,则f(x)在(-1,0),(a, 2a)上各有一个零点。于是当a>1时,f(x) 有三个零点,A选项正确。 B选项,f'(x)=6x(x-a),当a<0时, f(x)在(a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单 调递增,所以f(x)在x=0处取到极小值,B 选项错误。 C选项,假设存在a,b,使得x=b为曲 线y=f(x)的对称轴,则f(x)=f(2b-x), 即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2 +1,等式两边x3 的系数不相等,原等式不可 能恒成立,于是不存在a,b,使得x=b为曲 线y=f(x)的对称轴,C选项错误。 D选项,f(1)=3-3a,若存在a,使得点 (1,3-3a)为曲线y=f(x)的对称中心,则 f(x)+f(2-x)=6-6a,化简整理得(12- 6a)x2+(12a-24)x+18-12a=6-6a,即 12-6a=0, 12a-24=0, 18-12a=6-6a, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a=2,即存在a=2, 使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中 心,D选项正确。 故选AD。 点评:本题的CD选项考查函数的对称 性,解题的方法是抓住定义,即“x=b是y= f(x)的对称轴”等价于“f(x)=f(2b-x)”, “点(1,f(1))为y=f(x)的对称中心”等价 于“f(x)+f(2-x)=2f(1)”,然后根据等 式恒成立求参数的值。对于D选项,也可以 利用结论:任何三次函数都有对称中心,对称 中心的横坐标是二阶导数的零点,解法如下: f″(x)=12x-6a,由f″(1)=0得a=2,即 存在a=2使得点(1,f(1))是曲线y=f(x) 的对称中心。 题型三、考查函数的图像 高考对函数图像的考查,主要体现在作 图、识图和用图上。作图是通过描点法或图 像变换法画出函数的图像,图中要体现图像 的特征以及特殊的点和线。识图就是观察函 数图像的变化趋势,发现函数的极值、最值、 奇偶性、单调性和周期性等。用图是借助函 数图像研究方程根的个数、不等式的解等综 53 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年9月 合性问题。 例 5 (2024年全国甲卷)函数f(x) =-x2+(ex-e-x)sin x 在区间[-2.8, 2.8]上的大致图像为图1中的( )。 图1 解析:因为f(-x)=-x2+(e-x-ex)· sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x), 函数的定义域为[-2.8,2.8],所以该函数为 偶函数,可排除A、C。 又f(1)=-1+ e- 1 e sin 1>-1+ e- 1 e sinπ6=e2-1-12e>14-12e>0,可 排除D。故选B。 点评:根据函数表达式选择正确的函数 图像,一般先从函数的定义域入手,然后研究 函数的奇偶性、单调性、极值和最值,也可以 选择特殊的点代入验证。当然,上述顺序不 是固定的,要根据研究的难易程度灵活调整。 题型四、考查函数的零点 函数f(x)的零点是方程f(x)=0的实 数根,也是函数y=f(x)的图像与x 轴的交 点的横坐标。函数的零点问题通常包括确定 零点的个数,确定零点所在的区间,以及根据 零点个数求参数的值或范围等。解决这类问 题的策略是灵活运用函数的图像与性质,用 数形结合的方法解决。 例 6 (2024年新高考Ⅱ卷)设函数 f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax, 当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y= g(x)恰有一个交点,则a=( )。 A.-1 B. 1 2 C.1 D.2 解析:令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+ a-1-cos x,x∈(-1,1),原题意等价于 h(x)有且仅有一个零点。因为h(-x)= a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1- cos x=h(x),所以h(x)为偶函数。根据偶 函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,即 h(0)=a-2=0,解得a=2。 若a=2,则h(x)=2x2+1-cos x,x∈ (-1,1)。又因为2x2≥0,1-cos x≥0,当且 仅当x=0时,等号成立,可得h(x)≥0,当且 仅当x=0时,等号成立,即h(x)有且仅有一 个零点0,所以a=2符合题意。 故选D。 点评:本题将曲线y=f(x)与y=g(x) 恰有一个交点转化为函数h(x)=f(x)- g(x)有且仅有一个零点,再结合偶函数的特 征得到零点必为0,从而求出a 的值。此题 也可以转化为F(x)=ax2+a-1与G(x)= cos x 的 图 像 恰 有 一 个 交 点,而 F(x)与 G(x)都是偶函数,所以该交点只能在y 轴 上,即可得a=2。 例 7 (2024年全国甲卷)曲线y=x3 -3x 与y=-(x-1)2+a 在(0,+∞)上有 两个不同的交点,则a的取值范围为 。 解析:令x3-3x=-(x-1)2+a,即 a=x3+x2-5x+1。 令g(x)=x3+x2-5x+1(x>0),则 g'(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1)。 令g'(x)=0(x>0),得x=1。 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递 减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调 递增,且g(0)=1,g(1)=-2。 因为曲线y=x3-3x 与y=-(x-1)2 图2 +a在(0,+∞)上有两个不同 的交点,所以等价于y=a 与y =g(x)有两个交点,如图2所 示,所以a∈(-2,1)。 点评:本题原有的两个函数 作图后不便于观察交点个数,所以将函数转化 为方程,令x3-3x=-(x-1)2+a,然后再分 离参数,构造新函数g(x)=x3+x2-5x+1 (x>0),运用导数工具求出g(x)的单调区间, 画出大致图形即可求解,体现了等价转化和数 形结合的思想。 (责任编辑 王福华) 63 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年9月