内容正文:
聚焦2024年高考数学中的不等式问题
■江苏省天一中学 谢志平
不等式的基本性质、各类不等式的解法、
基本不等式的应用等问题,常常直接或间接
出现在高考试题中。本文结合2024年高考
数学真题,从不等式的常见问题与不等式的
融合问题两个方向进行评析与阐述。
一、常见的不等式问题
不等式是不等关系的重要数学模型,
2024年高考数学试题考查了解不等式、基本
不等式、绝对值不等式、不等式的基本性质等
基础知识。
1.不等式的基本性质
例 1 (2024年天津卷)若a=4.2-0.3,
b=4.20.3,c=log4.2 0.2,则a,b,c的大小关
系为( )。
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
解析:因为y=4.2x 在R上单调递增,且
-0.3<0<0.3,所以0<4.2-0.3<4.20<
4.20.3,所以0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0<a<
1<b。因为y=log4.2 x 在(0,+∞)上单调递
增,且0<0.2<1,所以log4.2 0.2<log4.2 1=
0,即c<0,所以b>a>c。故选B。
评注:此题先判断出a,b均大于0,再由对
数函数的性质判断出c小于0,从而借助不等式
的传递性进行比较。常见的比较大小的方法有
作差、作商、中间值比较、函数单调性、同构等。
2.绝对值不等式
例 2 (2024年全国甲卷·理科)有6
个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从
中无放回地随机取3次,每次取1个球。记
m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为
取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 之
差的绝对值不大于
1
2
的概率为 。
解析:从6个不同的球中不放回地抽取3
次,共有 A36=120(种)。设前两个球的号码
为a,b,第 三 个 球 的 号 码 为c,由 题 意 知
a+b+c
3 -
a+b
2 ≤
1
2
,则|2c-(a+b)|≤
3,即-3≤2c-(a+b)≤3,即a+b-3≤2c
≤a+b+3。
当c=1时,a+b≤5,则(a,b)
为:(2,3),(3,2),故有2种;当c=2时,有1
≤a+b≤7,则(a,b)为:(1,3),(1,4),(1,
5),(1,6),(3,4),(3,1),(4,1),(5,1),(6,
1),(4,3),故有10种;当c=3时,有3≤a+
b≤9,则(a,b)为:(1,2),(1,4),(1,5),(1,
6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),(2,1),(4,
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解题篇 经典题突破方法
高考数学 2024年9月
1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,
4),故有16种;当c=4时,有5≤a+b≤11,
同理有16种;当c=5时,有7≤a+b≤13,
同理有10种;当c=6时,有9≤a+b≤15,
同理有2种。所以 m 与n 之差的绝对值不
超过
1
2
时不同的抽取方法总数为2×(2+10
+16)=56,故所求概率为
56
120=
7
15
。
评注:本题首先得到绝对值不等式|2c-
(a+b)|≤3,再利用绝对值的几何意义去绝
对值;也可分类讨论去掉绝对值,得到关系式
a+b-3≤2c≤a+b+3,最后对c进行讨论
即可解决问题。考查同学们的数学运算及逻
辑推理能力,属于中高档题,掌握绝对值不等
式的常规解法是解决此类题的基本前提。
二、与不等式融合的相关问题
不等式作为基础知识与基本工具,在高
考中与其他知识交汇、融合,渗透在集合、常
用逻辑用语、向量、解析几何、数列、概率统
计、函数、导数等问题中,涉及问题的深度与
广度在不断加大。
1.不等式与概率统计的交汇
例 3 (2024年新高考Ⅰ卷)(多选)随着
“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多
措并举推动茶叶出口。为了解推动出口后的
亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样
本,得到推动出口后亩收入的样本均值x=
2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的
亩收入X 服从正态分布N(1.8,0.12),假设推
动出口后的亩收入Y 服从正态分布N(x,s2),
则( )。(若随机变量 Z 服从正态分布
N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841
3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.2
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.5
解析:依题可知,x=2.1,s2=0.01,所以
Y~N(2.1,0.12),所以P(Y>2)=P(Y>
2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841
3>
0.5,所以C正确,D错误;因为 X~N(1.8,
0.12),所以 P(X>2)=P(X>1.8+2×
0.1),因为P(X<1.8+0.1)≈0.841
3,所以
P(X>1.8+0.1)≈1-0.841
3=0.158
7<
0.2,而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<
P(X>1.8+0.1)<0.2,所以B正确,A错
误。故选BC。
评注:正态分布问题通常利用正态曲线
的特点,根据3σ原则加以解决。抓住正态曲
线特点:对称性、均匀变动性,找到参数μ,σ
的值,结合图形比较所求概率的不等关系,考
查同学们的数据处理与逻辑思维能力。
2.不等式与函数的交汇
例 4 (2024年新高考Ⅰ卷)已知函数
f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x
-2),且当x<3时f(x)=x,则下列结论中
一定正确的是( )。
A.f(10)>100 B.f(20)>1
000
C.f(10)<1
000 D.f(20)<10
000
解系:因为当x<3时,f(x)=x,所以
f(1)=1,f(2)=2。又因为f(x)>f(x-
1)+f(x-2),所以f(3)>f(2)+f(1)=3,
f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)
>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)
+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)
>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>
89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>
f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+
f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,
f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>
f(15)+f(14)>1
597>1
000,依次下去,可
知f(20)>1
000,所以B正确。故选B。
评注:本题常见的思路有两种:一是先利
用f(1)=1,f(2)=2,再利用题目所给的函
数性质f(x)>f(x-1)+f(x-2),代入函
数值后结合不等式同向可加性,不断递推即
可;二是利用排除法,题目的背景是斐波那契
数列,根据f(x)>f(x-1)+f(x-2)这个
不等关系,数列是发散的,f(10),f(20)可以
很大,CD明显是错误的;若A正确的话,则B
明显也是正确的,所以A错误,B正确。此题
把不等式与函数、数列结合起来,指明了高考
中“多想一点可以少算一点”的出题方向。
总之,注重课本例题与习题,掌握好不等式
问题的常见策略,是解决好不等式与其他数学
知识融合问题的前提。 (责任编辑 王福华)
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解题篇 经典题突破方法
高考数学 2024年9月