13 集合与常用逻辑用语考点例析-《中学生数理化》高考数学2024年9月刊

■北京师范大学台州附属高级中学 程伟涛 集合是高中数学中的重要概念,是研究 数学问题的基础和工具,更是高考的必考知 识。高考主要考查三个方面:一是集合的概 念与性质;二是元素与集合或集合与集合之 间的关系;三是集合的基本运算。 考点一、集合的概念与表示 例 1 已知集合 A={(x,y)|y≥x, x,y∈N*},B={(x,y)|x+y=8},则A∩ B 中元素的个数为( )。 A.2 B.3 C.4 D.6 解析:集合A 表示在直线y=x 上及其 上方的所有正整数点的集合,集合B 表示直 线x+y=8上所有点的集合,所以A∩B= {(4,4),(3,5),(2,6),(1,7)}。故选C。 点评:同学们在用描述法表示集合时,要 正确 认 识 元 素 的 属 性,特 别 要 注 意 区 分: x|y=f(x) 为数集,表示函数y=f(x)的 定义域;{y|y=f(x)}为数集,表示函数y= f(x)的值域;{(x,y)|y=f(x)}为点集,表 示函数y=f(x)图像上的点的集合。 考点二、元素与集合或集合与集合之间 的关系 例 2 已知集合M={1,2,3},N={0, 1,2,3,4,7},若 M⊆A⊆N,则满足集合 A 的个数为( )。 A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 解析:满足 M⊆A⊆N 的集合A 的个数 本质是{0,4,7}的子集个数,故集合 A 的个 数为23=8。故选D。 点评:一般地,若card(A)=n,则 A 的 子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真 子集的个数为2n-2。 考点三、集合的基本运算 例 3 (2024年新课标Ⅰ卷)已知集合 A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2, 3},则A∩B=( )。 A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 解析:先解出不等式化简集合 A,得到 A={x|-35<x<35},因为1<35<2,所 以A∩B={-1,0}。故选A。 点评:集合的交并补集运算是高考考查 的重点,高考试题中常把集合与不等式综合 起来命题,因此,同学们在复习过程中不仅要 加强对集合概念的理解,还要注重对解一元 二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、根 式不等式、对数不等式的训练。 考点四、充分条件与必要条件 高考对于常用逻辑用语命题的考查主要 是命题p 与命题q之间的关系判断,即关于 充分条件、必要条件和充要条件的判断,主要 基于不等式、向量、函数、数列、三角函数、立 体几何、解析几何等知识背景,考查两个命题 之间的关系;常用逻辑用语试题的命题范围 较广,形式灵活多样,是高考考查的热点,试 题难度一般不大。 例 4 (2024年全国甲卷)设向量a= (x+1,x),b=(x,2),则( )。 A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件 C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=-1+ 3”是“a∥b”的充分条件 解析:当a⊥b时,有a·b=0,即x(x+ 1)+2x=0,解得x=0或-3,故A选项中必 要性不成立,A错误;C选项中充分性成立,C 正确。当a∥b时,有2(x+1)=x2,解得x= 1± 3,故B选项中必要性不成立,B错误;D 选项中充分性不成立,D错误。故选C。 点评:判断A 是B 的什么条件的常用方 法:记A={x|x 满足条件p},B={x|x 满 足条件q}。若A⊆B,则p 是q的充分条件; 若B⊆A,则p 是q的必要条件;若A=B,则 p 是q的充要条件。 13 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年9月 􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟􀤟 例 5 记Sn 为数列{an}的前n 项和, 设甲:{an}为等差数列;乙: Sn n 为等差数列, 则( )。 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必 要条件 解析:由甲:{an}为等差数列,不妨设其 首项为a1,公差为d,则Sn=na1+ n(n-1) 2 · d, Sn n =a1+ n-1 2 d ,所以Sn+1 n+1- Sn n = d 2 ,即 Sn n 为等差数列,所以甲是乙的充分条件。 反之,乙:Sn n 为等差数列,由等差数列通项 公式的性质,不妨设Sn n=An+B ,则Sn=An2 +Bn,所以Sn+1-Sn=2An+A+B=an,因此 {an}为等差数列,所以甲是乙的必要条件。 综上可知,甲是乙的充要条件。故选C。 点评:本题以等差数列及前n项和为载体, 考查充分条件与必要条件,解决问题的关键是 利用等差数列的概念和性质进行推理论证。因 此,同学们在高考复习中需要关注公式的推导 过程及公式的拓展应用。 (责任编辑 王福华) 23 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年9月