12 导数及应用求解中的常见易错点归类剖析-《中学生数理化》高考数学2024年9月刊

■陕西省汉中市四〇五学校 侯有岐(特级教师、正高级教师) 导数是研究函数的重要工具,在历年高 考中都占据着重要的地位,而且这部分知识 既有难度较大的填空题,也有计算烦琐的解 答题。由于同学们对一些概念理解不透、审 题不严、考虑不周或忽视结论成立的条件等 产生思维混乱,导致求解失误。本文对导数 及应用求解中的常见易错点进行归类剖析, 希望能引起同学们的高度重视。 一、复合函数的求导不彻底致错 例 1 设函数f(x)=cos(3x+φ), 其中常数φ满足-π<φ<0,若函数g(x)= f(x)+f'(x)(其中f'(x)是函数f(x)的导 函数)是偶函数,则φ等于( )。 A.- π 3 B.- 5π 6 C.- π 4 D.- 2π 3 易错点剖析:复合函数求导时,选择中间 变量是关键,必须正确分析复合函数的复合 层次,然后从外向里逐层求导,直至求导到自 变量x,并且求导后,要把中间变量转换成自 变量的函数。该题解答过程中容易出错的地 方往 往 是 f(x)的 导 函 数 求 解,事 实 上, f'(x)=- 3sin(3x+φ)。 解析:由 题 意 可 得,g(x)=f(x)+ f'(x)=cos(3x+φ)- 3sin(3x+φ)= 2cos 3x+φ+ π 3 。 因为函数g(x)为偶函数,所以φ+ π 3= kπ(k∈Z),解得φ=kπ- π 3 (k∈Z),又-π< φ<0,所以φ=- π 3 。故选A。 二、误认为“函数的极值点”就是“导数的 零点”致错 例 2 (2024年陕西学林联考)已知函 数f(x)=x3+3ax2+bx+a2 在x=-1处 取得极值0,则f'(1)=( )。 A.6 B.12 C.24 D.12或24 易错点剖析:导数的零点不一定是函数的 极值点,例如,函数f(x)=x3,f'(0)=0,但是 0不是函数f(x)=x3 的极值点。对于可导函 数来说,f'(x0)=0是x0 为函数f(x)的极值 点的必要不充分条件,因此要进行检验。 解析:由f(x)=x3+3ax2+bx+a2,得 f'(x)=3x2+6ax+b。 因为f(x)=x3+3ax2+bx+a2 在x= -1处 取 得 极 值0,所 以 f'(-1)=0, f(-1)=0, 即 3-6a+b=0, -1+3a-b+a2=0, 解得 a=1, b=3, 或 a=2, b=9。 当 a=1, b=3 时,f'(x)=3x2+6x+3= 3(x+1)2≥0,则f(x)在 R上单调递增,函 数无极值,舍去。 当 a=2, b=9 时,f'(x)=3x2+12x+9= 3(x+3)(x+1),令f'(x)>0,得x<-3或 x>-1;令f'(x)<0,得-3<x<-1。所 以f(x)在(-∞,-3),(-1,+∞)上单调递 增,在(-3,-1)上单调递减,符合题意。 所以f'(1)=3+6a+b=24。故选C。 三、混淆 “导数值的正负”与 “函数增减 性”的逻辑关系致错 例 3 若函数f(x)=x-4x-aln x 单调递增,则实数a的取值范围为( )。 A.(-∞,0] B.(-∞,-4] C.[-4,4] D.(-∞,4] 易错点剖析:若含参函数f(x)在区间D 上单调递增(减),则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在 区间D 上恒成立。当然,也可以先求出函数 的单调递增(减)区间I,利用D⊆I 求解,注 意不是D=I。实际上,f'(x)>0(f'(x)< 0)(x∈(a,b))是f(x)在(a,b)上单调递增 (减)的充分不必要条件,常用来求函数的单 82 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年9月 调区间;可导函数f(x)在(a,b)上为单调递 增(减)函数的充要条件为“对于任意x∈(a, b),有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且f'(x)在(a, b)的任意子区间上都不恒为0”。 解析:因为f(x)=x- 4 x-aln x 单调递 增,所以f'(x)=1+ 4 x2 - a x= x2-ax+4 x2 ≥0, 即x2-ax+4≥0,即a≤ 4 x+x 对任意x>0 恒成立。因为4 x+x≥2 x ·4 x =4 (当且仅 当x=2时取“=”),所以a≤4。故选D。 四、混淆函数的“单调区间是”与函数“在 区间上单调”致错 例 4 (2024年陕西学林联考)已知函 数f(x)= 3-(a+1)x-a2x2 的单调递减 区间为[-1,1],则a的值为( )。 A.1 B.-1 C.1或-1 D.- 1 2 易错点剖析:在解决与函数的单调性有关 的问题时要注意下列几个概念的区别:“在区 间上单调”指该区间是函数相应单调区间的子 区间;“单调区间是”指该区间就是函数的最大 单调区间;“存在单调区间”指该区间内有相应 单调性,也可能有别的单调性,即该区间内可 能既有增区间,也有减 区 间。本 题 中 函 数 f(x)的单调递减区间为[-1,1],说明1和-1 就是整个单调递减区间的两个端点值。 解析:令t(x)=3-(a+1)x-a2x2,易 知y= x是定义在(0,+∞)上的单调递增 函数,因此由题意可得t(x)的单调递减区间 为[-1,1],且t(x)≥0在[-1,1]上恒成立, 易知a≠0,因此t(x)图像的对称轴只能为直 线x=1,且1为方程t(x)=0的一个根,所 以 - a+1 2a2 =-1, 3-(a+1)-a2=0, 解得a=1。故选A。 五、使用函数零点存在定理时不会赋值 致错 例 5 函数f(x)=x2+ex-3的零点 个数为 。 易错点剖析:求解有关函数零点问题的 关键是借助函数零点存在定理证明零点存 在,一般需由导数确定函数的单调性,在单 调区间内通过赋值找到两个符号相反的函 数值,得出此区间内存在一个零点。此处 的赋值一般直接猜数赋值,若行不通,则可 通过局部确定范围或消项,借助放缩法、分 析法等,探究合适的赋值。本题在寻找零 点赋值时,采用了消项法,因为ex>0恒成 立,所以令x2-3=0,故取x=± 3。当 然本题也可用数形结合法去做,同学们不 妨自己试试。 解析:因为 f(x)=x2+ex -3,所 以 f'(x)=2x+ex。因为f'(x)在 R上单调递 增,f'(0)=1>0,f'(-1)=-2+e-1<0,所 以存在x0∈(-1,0),使得f'(x0)=2x0+ ex0=0。当x<x0 时,f'(x)<0;当x>x0 时,f'(x)>0。所以f(x)在(-∞,x0)上单 调递减,在(x0,+∞)上单调递增。因为x0 ∈(-1,0),2x0+e x0=0,所以f(x0)=x20+ ex0-3=x20-2x0-3<0。因为f(3)= (3)2+e3-3>0,f(- 3)=(- 3)2+e- 3 -3>0,所以f(x)存在2个零点,设为x1, x2(x1<x2),其中x1∈(- 3,x0),x2∈(x0, 3)。故填2。 六、混淆函数的极值与最值关系致错 例 6 已知定义在 R上的函数f(x), 图1 其导函数f'(x)的大致图像 如图1所示,则下列叙述正 确的是( )。 A.f(b)>f(a)>f(c) B.函数f(x)在x=c处 取得最大值,在x=e处取得最小值 C.函数f(x)在x=c处取得极大值,在 x=e处取得极小值 D.函数f(x)的最小值为f(d) 易错点剖析:极值是函数在某一区间内 的最值,但在整个定义域内不一定是最值。 极值是否为最值,还需进一步判断。 解析:由图1可知,当x≤c时,f'(x)≥0, 92 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年9月 所以函数f(x)在(-∞,c]上单调递增。又 a<b<c,所以f(a)<f(b)<f(c),故 A错 误。因为f'(c)=0,f'(e)=0,且当x<c时, f'(x)>0;当c<x<e时,f'(x)<0;当x>e 时,f'(x)>0,所以函数f(x)在x=c处取得 极大值,在x=e处取得极小值,故B错误,C 正确。由图1可知,当d≤x≤e时,f'(x)≤0, 所以函数f(x)在[d,e]上单调递减,从而 f(d)>f(e),所以D错误。故选C。 七、解决f(x)与f'(x)共存的函数不等 式问题时因构造函数不当致错 例 7 (2024年陕西学林联考)已知函 数y=f(x-2)的图像关于点(2,0)对称, f'(x)是f(x)的导函数,当x>0时,xf'(x) +3f(x)>0恒成立,且f(1)=3,则不等式 x3f(x)-3>0的解集为 。 易错点剖析:函数中的构造问题是高考 考查的一个热点内容,在解决f(x)与f'(x) 共存的函数不等式问题时,关键是通过观察 题目所给等式或不等式的结构特征,根据复 合函数的求导法则,构造合适的函数g(x)。 一般情况下,构造的函数g(x)是由“主函数” f(x)和“辅函数”构成,常见的“辅函数”有 xn,ekx,sin x,cos x 等,常见的构成方法有 “和、差、积、商”等。本题给出的原函数与导 函数的关系式中包含xf'(x)+3f(x),是典 型的“xf'(x)+nf(x)”结构,便可构造函数 g(x)=x3f(x)。因此,我们必须掌握常见 的构造函数的技巧。 解析:令g(x)=x3f(x),则g'(x)= 3x2f(x)+x3f'(x)=x2 [xf'(x)+ 3f(x)],由题意知,当x>0时,g'(x)>0,故 g(x)在(0,+∞)上单调递增。由函数y= f(x-2)的图像关于点(2,0)对称知,函数 f(x)是奇函数,故g(x)为偶函数。又因为 f(1)=3,所以g(1)=3,即所求不等式变为 g(x)>g(1),所以g(|x|)>g(1),所以|x| >1,解得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。 八、在使用数形结合思想时因图像失真 致错 例 8 (2024年汉中四〇五学校模考) 已知函数f(x)= 1 2 x + 3 4 ,x>0, (2x-x2)ex,x≤0, 若函 数t(x)=f(x)+2k 有两个不同的零点,则 实数k的取值范围为 。 易错点剖析:合理运用数形结合思想,不 仅能优化解题思路,还能提高解题效率,但前 提是必须准确作出函数的图像。本题在使用 数形结合思想时,有些同学想当然地认为,在 g(x)=(2x-x2)ex 中,当x→-∞时,y→ +∞,而没有去充分地验证,犯了思维定式的 错误。 解析:设g(x)=(2x-x2)ex,则g'(x) =(2-x2)ex。令g'(x)=0,解得x=- 2 或x= 2(舍)。当 x∈(-∞,- 2)时, g'(x)<0,函 数 g(x)为 减 函 数;当 x∈ (- 2,0)时,g'(x)>0,函数g(x)为增函 数。所以g(x)在x=- 2处,取得极小值 g(- 2)=- 2(2+1) e2 。 当x→-∞时,y→ 0,且当x<0时,y=g(x)=(2x-x2)ex< 0。设h(x)= 12 x + 3 4 ,根据指数函数的单 调性易知,h(x)在(0,+∞)上为减函数,当x →0时,y→ 7 4 ;当x→+∞时,y→ 3 4 ,如图2 图2 所示。若函数t(x)=f(x) +2k 有两个不同的零点, 则- 2(2+1) e2 <-2k<0, 解得0<k< 2+1 e2 。故填 0, 2+1 e2 。 除了上述几类典型的易错问题,常见的 易错点还有把f'(x0)当成关于x 的变量函 数、忽视切点在曲线上的隐含条件等,由于篇 幅所限,在此不作赘述。总之,同学们在学习 中要认真总结,多加思考,明确易混易错问题 的类型,弄清致错根源,防患于未然。 (责任编辑 王福华) 03 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年9月