11 函数中的常见错误归类解析-《中学生数理化》高考数学2024年9月刊

■陕西省榆林市绥德县教学研究室 白玉萍 函数是高中数学中最重要最核心的内容 之一,此部分内容特别丰富,而且知识点众 多,但由于函数本身的抽象性,许多同学在解 题时经常会出现一些错误。本文将常见易错 点归类剖析如下,供同学们复习时参考。 一、忽视函数概念的本质致错 例 1 (2024年吉林白山模考)(多选 题)若存在函数f(x),对任意x∈R,都有 f(g(x))=x,则 函 数 g(x)不 可 能 为 ( )。 A.cos x B. -x2,x≥0, x2,x<0 C.x3-x D.ex-e-x 易错点提醒:本题表面上是考查函数解 析式的求解,实质上是考查同学们对函数概 念的本质理解,关键是根据题意准确寻求函 数g(x)所具有的特点,即“对于定义域为 R 的函数g(x),当x 与g(x)是一一对应时,存 在函 数 f(x)满 足 对 任 意 x∈R,都 有 f(g(x))=x”,否则,将无从下手,从而造成 错解。 解析:根据题意知,对于定义域为R的函 数g(x),当x 与g(x)是一一对应时,存在函 数f(x)满足对任意x∈R,都有f(g(x))= x。由此分析四个选项中的函数g(x)。 对于A:g(x)=cos x,x 与g(x)之间不 是一一对应的,则不存在函数f(x)满足对任 意x∈R,都有f(g(x))=x; 对于B:g(x)= -x2,x≥0, x2,x<0, 易知g(x) 是R上的减函数,则x 与g(x)之间是一一 对应的,故存在函数f(x)满足对任意x∈R, 都有f(g(x))=x; 对于C:g(x)=x3-x,x 与g(x)之间 不是一一对应的,则不存在函数f(x)满足对 任意x∈R,都有f(g(x))=x; 对于D:g(x)=ex-e-x,易知g(x)是R 上的增函数,则x 与g(x)之间是一一对应 的,故存在函数f(x)满足对任意x∈R,都有 f(g(x))=x。 所以函数g(x)不可能为cos x 和x3- x。故选AC。 二、忽视挖掘隐含条件致错 例 2 (2024年汉中四0五学校模考) 设α,β是方程x2-2kx+k+6=0的两个实 根,则(α-1)2+(β-1)2 的最小值是( )。 A.8 B.18 C.- 49 4 D. 不存在 易错点提醒:一般情况下,某个数学题目 的语言叙述越精练,往往获取的有用信息越 有限,常常导致无从下手,这个时候就要注意 挖掘题目所涉及知识点包含的隐含条件。审 题过程中,只要能找出并熟练运用这些隐含 条件,往往能拓宽解题思路。本题的隐含条 件是Δ≥0的正确运用,否则易错选C。 解析:利用一元二次方程根与系数的关 系得α+β=2k,αβ=k+6,所以(α-1)2+(β -1)2=α2-2α+1+β2-2β+1=(α+β)2- 2αβ-2(α+β)+2=4k- 3 4 2 - 49 4 。 又因为原方程有两个实根α,β,所以Δ= 4k2-4(k+6)≥0⇒k≤-2或k≥3。 当k≥3时,(α-1)2+(β-1)2 的最小值 是8;当k≤-2时,(α-1)2+(β-1)2 的最 小值是18。故选A。 三、忽视新元的取值范围致错 例 3 (2024年浙江强基联盟联考)已 知函数f(x)=1+cos 4x+2sin 2x(x∈[0, a])的值域为 2, 5 2 ,则实数a 的取值范围 为( )。 A.π6 ,π 2 B.π12,π2 C.π12 ,π 6 D.5π12,π 52 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年9月 易错点提醒:换元法是一种重要的数学解 题方法,是转化与化归思想的一种具体体现。 在解题过程中,利用换元法可以将运算“化繁 为简”“化难为易”,大大提高解题效率。需要 注意的是,换元的目的是优化解题过程,但绝 不能改变原来变量的取值范围。因此,在换元 过程中,新元的取值范围直接关乎解题的成与 败。本题是通过三角换元将原问题转化为二 次函数问题,但需要注意新元的取值范围。 解析:由题设可知,a>0,f(x)=2- 2sin22x+2sin 2x=-2sin 2x- 1 2 2 + 5 2 。 令t=sin 2x,g(t)=-2t- 1 2 2 + 5 2 , 易知g(0)=2,g 1 2 =52,g(1)=2。 当0<a< π 12 时,t∈[0,sin 2a],其中 sin 2a< 1 2 ,此时g(t)的值域不是 2, 5 2 ; 当 π 12≤a≤ π 2 时,t∈[0,max{sin 2a,1}],其 中 1 2≤sin 2a≤1,此时g(t)的值域是 2, 5 2 ; 当a> π 2 时,存在a0∈ π 2 ,+∞ ,使得 sin 2a0<0,g(t)<2,此时g(t)的值域不是 2, 5 2 。 综上所述,π 12≤a≤ π 2 。故选B。 四、有关分段函数的单调性问题忽视端 点值致错 例 4 (2024年陕西高中教育联盟联 考)已知函数f(x)= x2-2ax,x≥1, a 2x-1 ,x<1 是 R 上的增函数,则实数a的取值范围是( )。 A.0, 4 5 B.0,45 C.(0,1) D.(0,1] 易错点提醒:有关分段函数的单调性问 题,不仅要考虑使得每段函数在相应定义域 内单调性所满足的条件,而且还要考虑其在 端点处函数值的大小关系,否则,就会出错。 解 析: 因 为 函 数 f (x ) = x2-2ax,x≥1, a 2x-1 ,x<1 是 R 上 的 增 函 数,所 以 a≤1, a 2>0 , 1-2a≥ a 2-1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得0<a≤ 4 5 。故选B。 五、混淆原函数与导函数的有关性质 致错 例 5 (2024年陕西学林模考)已知定 义在R上的奇函数f(x)满足f(6+x)+ f(-x)=0,若 f'(3)=2,则 f(-3)+ f'(2 025)= 。 易错点提醒:充分利用原函数与导函数 的有关性质:①若函数f(x)的图像关于直线 x=a 对称,则导函数f'(x)的图像关于点 (a,0)对称,特别地,偶函数的导函数是奇函 数;②若函数f(x)的图像关于点(a,t)对称, 则导函数f'(x)的图像关于直线x=a对称, 特别地,奇函数的导函数是偶函数;③若函数 f(x)的周期为T,则其导函数f'(x)的周期 也为T;需要注意,若导函数f'(x)的周期为 T,但函数f(x)的周期不一定为T。 解析:由f(6+x)+f(-x)=0,令x= -3,得f(3)+f(3)=2f(3)=0,即f(3)=0。 因为f(x)为奇函数,所以f(6+x)= -f(-x)=f(x),故f(x)是以6为周期的 周期函数,则f(-3)=f(3)=0。 对f(6+x)=f(x)求导,得f'(6+x)= f'(x),故f'(x)是以6为周期的周期函数。 又f'(3)=2,所以f(-3)+f'(2 025) =f(-3+6)+f'(337×6+3)=f(3)+ f'(3)=0+2=2。故填2。 六、忽视指数函数、对数函数的底数讨论 致错 例 6 (2024年汉中四0五学校模考) 若log(2x-1)(2x-1)>0,则实数x 的取值范围 是 。 易错点提醒:指数函数与对数函数的底 数大于0且不等于1,本题中的对数式的底数 62 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年9月 中也含有变量x,所以应对底数的范围进行 讨论。另外,对数函数还要求真数大于0。 解析:当 2x-1>1,即 x>1 时,由 log(2x-1)(2x-1)>0,即log(2x-1)(2x-1)> log(2x-1) 1,得2x-1>1,解得x>1;当0<2x -1<1,即 1 2<x<1 时,由log(2x-1)(2x-1) >0,即log(2x-1)(2x-1)>log(2x-1) 1,得0< 2x-1<1,解得0<x<1,所以 1 2<x<1 。 综 上 所 述,实 数 x 的 取 值 范 围 是 1 2 ,1 ∪(1,+∞)。故答案为 12,1 ∪(1, +∞)。 七、不会用图像解决嵌套函数的零点问 题致错 例 7 (2024年全国名校模考)已知函 数f(x)= xln x,x>0, 1 x-x ,x<0, 若函数g(x)= f(f(x))-af(x)+1有唯一零点,则实数a 的取值范围是 。 易错点提醒:解决嵌套函数问题的关键 在于数形结合,但嵌套函数的图像一般都难 以直接得到,因此要换元,结合换元后的图像 逐步解决问题,嵌套函数题目要多次利用图 像。如本题,通过换元转化为a=h(t),t= f(x)的图像解决,准确画出h(t),f(x)的图 像是本题的关键。另外,a 的取值会影响交 点的个数,因此要分类讨论让参数的值动起 来,此时要格外注意端点值的取舍,若端点值 取舍出错,那么最终结果大概率也是错误的。 解析:令f(x)=t,则f(f(x))-af(x) +1=0可转化为f(t)-at+1=0。 所以at=f(t)+1= tln t+1,t>0, 1 t-t+1 ,t<0, 即a= ln t+ 1 t ,t>0, 1 t2 + 1 t-1 ,t<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 其中t=f(x)= xln x,x>0, 1 x-x ,x<0。 令h(t)= ln t+ 1 t ,t>0, 1 t2 + 1 t-1 ,t<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 分别画出 f(x),h(t)的图像,如图1,图2所示。 图1 由图2可知,当a=- 5 4 时,观察h(t)的图像可知t= -2,此时由f(x)的图像可知, 只有1个解,满足题意;当- 5 4 图2 <a<-1时,观察h(t)的 图像可知,t1∈(-2,-1), t2∈(-∞,-2),此 时 由 f(x)的图像可知,有2个 解,不满足题意;当-1≤a <1时,观察h(t)的图像可 知t∈ -1,- 1 2 ,此时由f(x)的图像可 知,只有1个解,满足题意;当a=1时,观察 h(t)的图像可知,t1=- 1 2 ,t2=1,此时由 f(x)的图像可知,有3个解,不满足题意;当 a>1 时,观 察 h(t)的 图 像 可 知,t1 ∈ - 1 2 ,0 ,t2∈(0,1),t3∈(1,+∞),此时由 f(x)的图像可知,至少有5个解,不满足题 意。 综 上 可 得,实 数 a 的 取 值 范 围 为 a|-1≤a<1或a=- 5 4 。 故 答 案 为 a|-1≤a<1或a=- 5 4 。 函数部分除上述几类典型的易错问题以 外,常见的易错点还有忽视函数的定义域,混 淆函数中的恒成立与有解,忽视对二次项系 数是否为0的讨论,无法准确使用抽象函数 的性质,误用复合函数的性质,忽视函数的有 界性、指数函数图像的“渐近线”、对数式的等 价变形、幂函数的系数为1等问题,由于篇幅 所限,在此不作赘述。总之,同学们在学习中 要善于总结,只有明确了这些易错点,弄清致 错根源,才能在后续解题中有效避免类似错 误的出现。 (责任编辑 王福华) 72 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年9月