10 同构函数巧转化，创新思维妙解决-《中学生数理化》高考数学2024年9月刊

■山东省济南市莱芜第一中学 郑慧敏 同构意识是破解数学及其综合应用问题 中一种比较特殊的解题意识与技巧方法。特 别是在解决一些涉及函数与方程、不等式等 问题时,合理对等式或不等式两边的代数式 进行恒等变形与巧妙转化,寻找代数式中的 共性,挖掘关系式中的同型,进而借助同构函 数,将所求问题转化为函数问题,借助函数的 基本性质来巧妙转化与合理应用,实现问题 的巧妙解决。 一、函数值的求解 在处理一些抽象函数值的求解问题中,结 合抽象函数关系式的结构特征,通过恒等变形 与转化,合理同构函数,借助函数的基本性质 来转化与应用,为函数值的求解创造条件。 例 1 已知函数f(x)是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有xf(x+2)=(x+2)f(x)-2x(x+2), 则f(2 025)= 。 解析:依题意,对任意实数x 都有xf(x +2)=(x+2)f(x)-2x(x+2),令x= -1,则-f(1)=f(-1)+2。又因为函数 f(x)为偶函数,所以-f(1)=f(1)+2,解 得f(1)=-1。 当x≠-2且x≠0时,由xf(x+2)= (x+2)f(x)-2x(x+2),可得 f(x+2) x+2 = f(x) x -2 ,变形可得f (x+2) x+2 +x+2= f(x) x +x。同构函数g(x)= f(x) x +x ,可得g(x +2)=g(x),所以函数g(x)是周期为2的 周期函数。 由g(1)= f(1) 1 +1=0 ,可得g(2 025) =g(2×1 012+1)=g(1)=0。 又g(2 025)=f (2 025) 2 025 +2 025=0,解 得f(2 025)=-2 0252=-4 100 625,故填 -4 100 625。 点评:巧妙借助同构函数来求解函数值 问题,往往是基于一些抽象函数及其综合应 用问题场景,利用函数关系式的变形与转化, 通过等号两边的表达式寻找共性或同型,合 理同构函数,结合对应新函数的基本性质,巧 妙处理涉及抽象函数的函数值求解问题。 二、代数式值的求解 在处理一些代数式值的求解问题中,借 助题设中的函数与方程、不等式等条件加以 恒等变形与转化,巧妙同构函数,通过求导或 函数的基本性质等来确定函数的单调性,进 而借助函数值的关系加以变形,实现代数式 值的求解与应用。 例 2 已知实数a,b∈(0,2),且满足 ea- e2 eb =ln(2-b)-ln a,则a+b 的值为 。 解析:依题意,由ea- e2 eb =ln(2-b)- ln a,恒等变形得ea+ln a=ln(2-b)+e2-b。 同构函数f(x)=ex+ln x,x∈(0,2), 由于f'(x)=ex+ 1 x>0 ,所以函数f(x)在 区间(0,2)上单调递增。 因为a,b∈(0,2),所以2-b∈(0,2),所 以f(a)=f(2-b)。 利用函数f(x)的单调性,可得a=2- b,即a+b=2。故填2。 点评:巧妙借助同构函数来求解代数式 的取值问题,是基于等式或不等式的恒等变 形与转化,借助函数的同构,利用函数的基本 性质,将相应的函数值或不等式等问题加以 合理变形与转化,进而确定对应的关系式,给 代数式的求值与应用创造条件,从而有效简 捷地处理问题。 32 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年9月 三、大小关系的比较 在处理一些涉及代数式的大小比较与判 断问题中,合理借助题设条件中的函数与方 程、不等式等条件加以恒等变形与转化,巧妙 同构函数,从而利用函数的单调性来判断对 应参数、代数式的大小关系。 例 3 已知实数a,b∈(1,+∞),且 2(a+b)=e2a+2ln b+1,则下列关系正确的 是( )。 A.1<b<a B.a<b<2a C.2a<b<a D.ea<b<e2a 解析:依题意,由2(a+b)=e2a+2ln b+ 1,可得e2a-2a-1=2(b-ln b-1)=2(eln b -ln b-1)。 同构函数f(x)=ex-x-1,x>0,求导 得f'(x)=ex-1>0,所以函数f(x)在(0, +∞)上单调递增,且f(0)=0。 由于a,b∈(1,+∞),则有ln b>0,可得 f(ln b)>0,则 有 f(2a)=2f(ln b)> f(ln b),即2a>ln b,亦即e2a>b。 又因为e2a-2a-1>2(ea-a-1),所以 f(2a)=2f(ln b)>2f(a),即ln b>a,亦即 b>ea。 综上可得,ea<b<e2a。故选D。 点评:巧妙借助同构函数来处理大小关 系的比较与判断问题,前提就是依托题设条 件中函数与方程、不等式的等价变形,合理分 离变元,并结合等式或不等式两边的代数式 的结构特征加以恒等变形,为进一步同构函 数指明方向。 四、参数最值(或范围)的确定 在解决一些含参不等式恒成立问题中, 借助恒成立不等式的等价变形与转化,利用 同构函数思维来分析与处理。通过同构法, 利用函数的单调性来简化不等式,为进一步 分离参数提供条件,使得问题更加简捷明了, 方便进一步的分析与处理。 例 4 若关于x 的不等式a(ln x+ ln a)≤2e2x 在(0,+∞)上恒成立,则实数a 的取值范围为( )。 A.(0,e] B.(0,2e] C.(0,e] D.(0,e2] 解析:依题意,由不等式a(ln x+ln a) ≤2e2x 恒等变形可得axln(ax)≤2xe2x,故 eln(ax)ln(ax)≤2xe2x。 同构函数f(x)=xex,x∈R,则eln(ax)· ln(ax)≤2xe2x 等价于f(ln(ax))≤f(2x)。 因为f'(x)=(x+1)ex,由f'(x)=0, 得x=-1,所以函数f(x)在(-∞,-1)上 单调递减,在(-1,+∞)上 单 调 递 增,则 f(x)min=f(-1)=- 1 e ,且当 x<0时, f(x)<0,当x>0时,f(x)>0。 由f(ln(ax))≤f(2x)(x>0),可得 ln(ax)≤2x,即a≤ e2x x 对任意的x∈(0, +∞)恒成立。 构建函数g(x)= e2x x ,x∈(0,+∞),则 有g'(x)= (2x-1)e2x x2 。令g'(x)=0,得 x= 1 2 ,所以函数g(x)在 0, 1 2 上单调递 减,在 1 2 ,+∞ 上单调递增,所以g(x)min= g 1 2 =2e,即a≤2e。 又依题意知a>0,所以实数a 的取值范 围为(0,2e]。故选B。 点评:利用同构函数思维来巧妙转化含 参不等式恒成立问题,关键在于对不等式进 行合理的恒等变形与转化,寻找不等式两边 中对应关系式的共性,巧妙进行同构处理,借 助同构函数,将不等式问题转化为函数问题, 借助函数的基本性质进行解题。 总之,借助同构意识来解决涉及函数与方 程、不等式等问题时,需要借助知识积累与解 题经验,在对函数与方程、不等式等恒等变形 与巧妙转化的基础上,借助慧眼,从中合理识 别、寻找、挖掘代数式的同型或共性,合理有效 同构函数,巧妙转化与应用,借助函数的基本 性质(单调性、周期性、奇偶性及最值等)来转 化与解决。在解题过程中,不断增强创新意 识、同构意识,融合知识,提升数学能力,培养 数学核心素养。 (责任编辑 王福华) 42 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年9月