09 巧妙变形转化，特殊函数构建——基于抽象函数的应用-《中学生数理化》高考数学2024年9月刊

■山东省济南市长清第一中学 房 超 抽象函数场景及其综合应用问题,是近 年来新高考数学试卷中比较常见的一类考查 题型。此类问题多以多项选择题或填空题的 形式来创设与应用,考查的知识点更加丰富, 思想方法更加多样,备受各方关注。而借助 特殊思维,合理构建与题设相吻合的特殊函 数,是解决此类问题的一种“巧技妙法”。有 时,由于场景创设的复杂性与特殊性,无法直 接构建特殊函数模型,经常要利用抽象关系 式的变形与转化,通过变换处理,转换视角, 进而探寻满足一些比较常规的特殊函数模型 特征,如指数、对数及三角函数等,给进一步 通过特殊思维处理此类问题创造条件。 一、指数运算性质 抓住抽象函数中关系式的变形与转化, 依托函数的构建与变换,使之满足指数运算 性质f(x+y)=f(x)f(y)等,为进一步构 造指数函数模型创造条件。 例 1 (2024年浙江省县域教研联盟 高三年级第二学期模拟考试数学试卷)(多选 题)已知函数f(x)的定义域为 R,f(1)=1, 且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)· f(y),则( )。 A.f(0)=-1 B.f(-x)f(x)≤0 C.y= f(x) f(x)+2 为奇函数 D.∑ 5 k=1 f 2k-1 2 <2 11 2 解析:依题意,由f(x+y)=f(x)+ f(y)+f(x)f(y),可得f(x+y)+1= [f(x)+1][f(y)+1]。令 函 数 g(x)= f(x)+1,则有g(x+y)=g(x)g(y),此时 联想到指数函数的运算性质,构建特殊函数 g(x)=ax(a>0且a≠1)。由f(1)=1,可 得g(1)=f(1)+1=2,即a1=2,解得a=2, 即g(x)=2x,亦即 f(x)=2x-1。可得 f(0)=20-1=0,故选项A错误。 而f(-x)f(x)=(2-x-1)(2x-1)= 2-(2x+2-x)≤2-2 2x×2-x =0,故选项 B正确; 而y= f(x) f(x)+2 = 2x-1 2x+1 ,显然此函数为 奇函数,故选项C正确; 由 于 f 2k-1 2 = 2k- 1 2 -1,则 有 ∑ 5 k=1 f 2k-1 2 =(2 1 2 -1)+(2 3 2 -1)+(2 5 2 - 1)+(2 7 2 -1)+(2 9 2 -1)= 2 1 2 ×(1-25) 1-2 - 5=2 11 2 -2 1 2 -5<2 11 2,故选项D正确。 故选BCD。 点评:若无法直接构建特殊函数模型来 处理问题时,同学们可以借助题设中对应的 抽象函数关系式加以恒等变换与转化,借助 新函数的构建与转化,使得新函数场景下满 足对应的指数运算性质,给特殊函数模型的 构建与应用指明方向。注意抽象函数关系式 的恒等变形是问题突破的关键,也是解题经 验与数学运算能力的全面体现。 二、对数运算性质 抓住抽象函数中关系式的变形与转化, 依托函数的构建与变换,使之满足对数运算 性质f(xy)=f(x)+f(y)等,为进一步构 建对数函数模型创造条件。 例 2 (2024年浙江省温州市普通高 中高三第三次适应性考试数学试卷)已知定 义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:f(xy)= f(x)+f(y)-1,且有f(4)=2,则f 1 2 = 。 12 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年9月 解析:依题意,由f(xy)=f(x)+f(y) -1,可得f(xy)-1=f(x)-1+f(y)-1。 令函数g(x)=f(x)-1,则有g(xy)= g(x)+g(y),此时联想对数函数的运算性 质,构建特殊函数g(x)=loga x(a>0且 a≠1)。 由f(4)=2,可得g(4)=f(4)-1=1, 即loga 4=1,解得a=4,即g(x)=log4 x。 所以f 1 2 =g 12 +1=log4 12+1= log4 -12+1=- 1 2+1= 1 2 。 故填 1 2 。 点评:该题直接通过赋值法处理,也是一 种不错的选择,难度也不大。而借助抽象函 数关系式的恒等变形与转化,结合新函数的 构建与应用,创设吻合对数运算性质的条件, 给对数函数模型的构建奠定基础。在构建对 数函数模型时,要注意函数定义域的限制。 三、三角运算性质 抓住抽象函数中关系式的变形与转化, 依托函数的构建与变换,使之满足三角运算 性质,例如,正弦平方差公式f2(x)-f2(y) =f(x+y)f(x-y),两角和与差的余弦公 式f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)等比 较常见的三角函数场景,为进一步构建三角 函数模型创造条件。 例 3 (原创题)(多选题)已知函数 f(x)的定义域为R,满足f(x+y)+f(x- y)=2f(x)f(y)+2f(x)+2f(y),且有 f(1)=-2,则( )。 A.f(0)=0 B.f(x)为奇函数 C.∑ 2 024 n=1 f(n)=-2 024 D.[f(x)+1]2+ f x+ 1 2 +1 2 =1 解析:依题意,由f(x+y)+f(x-y) =2f(x)f(y)+2f(x)+2f(y),可得f(x +y)+1+f(x-y)+1=2[f(x)+1]· [f(y)+1]。 令函数g(x)=f(x)+1,则有g(x+y) +g(x-y)=2g(x)g(y),此时联想三角函 数的 运 算 性 质,构 建 特 殊 函 数 g(x)= cos ωx。 由f(1)=-2,可得g(1)=f(1)+1= -1,即cos ω=-1,取ω=π满足条件,即 g(x)=cos πx,亦即f(x)=cos πx-1,可得 f(0)=cos 0-1=0,故选项A正确。 函数f(x)=cos πx-1为偶函数,则选 项B错误。 函数f(x)的最小正周期为T= 2π π=2 , 又f(2)=f(0)=0,故 ∑ 2 024 n=1 f(n)=1 012× [f(1)+f(2)]=1 012× (-2+0)= -2 024,则选项C正确。 [f (x)+1]2 + f x+ 1 2 +1 2 = (cos πx)2 + cosπ x+ 1 2 2 =cos2πx+ cos2 πx+ π 2 =cos2πx+sin2πx=1,则选项 D正确。 故选ACD。 点评:三角函数特殊模型,往往离不开函 数的奇偶性与周期性等,特别是函数的周期 性,这与三角函数中最常见的正弦函数、余弦 函数的基本性质密切相关。在利用特殊三角 函数模型的构建与应用时,要熟悉一些相应 的三角函数公式,特别是三角恒等变换公式 与结构特征,这是特殊思维的基础与根本。 总之,对于此类抽象函数的场景创设与 综合应用问题,常见的思维方式是赋值归纳 法,但解题过程往往比较繁杂,浪费比较多的 宝贵时间。而相比于赋值归纳法,特殊函数 模型的构建与应用更加有效,更加具体化。 对于一些复杂的抽象函数问题,合理的变换 与转化,可以进一步给特殊函数的构建创造 条件。当然,特殊函数的构建具有非常明显 的优点,但有时也不具备严谨性,在实际操作 过程中,要基于自身的解题经验或直觉思维 来进行深层理解与巧妙掌握,必要时加以科 学验证与证明。 (责任编辑 王福华) 22 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年9月