07 借助集合观点，解决逻辑问题-《中学生数理化》高考数学2024年9月刊

■江苏省泗阳县实验高级中学 王 燕 常用逻辑用语问题在每年的高考中是常 考内容之一,主要是与其他知识相结合,全面 考查命题的真假判定、充分条件与必要条件 的判断,以及全称命题与存在命题的判断等, 注重知识之间的联系。本文结合几个实例来 剖析如何借助集合观点来解答常用逻辑用语 问题中的一些特殊问题,通过创新思维,进行 巧妙应用。 一、借助集合的基本关系判断逻辑条件 集合基本关系法是判断逻辑条件比较常 用的一种基本技巧方法。其判断依据如下: 对于集合A={x|x 满足条件p},B={x|x 满足条件q},具体情况如下:(1)若A⊆B,则 p 是q 的充分条件;(2)若 A⊇B,则p 是q 的必要条件;(3)若A=B,则p 是q 的充要 条件;(4)若A⫋B,则p 是q 的充分不必要 条件;(5)若A⫌B,则p 是q 的必要不充分 条件。 例 1 设集合 M={x|0<x≤3},N= {x|0<x≤2},则“a∈M”是“a∈N”的 ( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由于集合 M={x|0<x≤3},N= {x|0<x≤2},所以 N⫋M,所以“a∈M”是 “a∈N”的必要不充分条件。故选B。 点评:利用集合的基本关系判断两个命 题之间的条件关系,关键是利用对应集合之 间的包含关系来转化与确定。 二、借助集合中的补集思想解决命题 问题 在某些涉及多个命题真假的判断问题 中,若从正面入手比较复杂,而问题的反面求 解比较容易,则不妨先求解问题的反面,再利 用补集思想,求出涉及多个命题所满足的集 合即可。 例 2 已知命题p:x2-2x+9-a= 0,命题q:ax2-4x+1=0,a≠0,若命题p,q 中至少有一个成立的x,则实数a 的取值范 围是 。 解析:依题意,设命题p,q 中所对应的 两个集合分别为A={x| x2-2x+9-a= 0},B={x|ax2-4x+1=0,a≠0}。若集合 A={x| x2-2x+9-a=0}是一个空集,则 方程x2-2x+9-a=0没有实数根,可知判 别式Δ1=4-4(9-a)<0,解得a<8;若集合 B={x|ax2-4x+1=0,a≠0}是一个空集, 则方程ax2-4x+1=0,a≠0没有实数根, 可知判别式Δ2=16-4a<0,解得a>4。综 上可知,当集合A,B 都是空集时,实数a 的 取值范围为{a|4<a<8}。利用补集思想可 知,当集合 A,B 中至少有一个是非空集合 时,有a∈{a|a≤4或a≥8,且a≠0}。故填 {a|a≤4或a≥8,且a≠0}。 点评:在处理此类涉及“至少”“至多”“唯 一”等词语出现的命题及其综合应用问题时, 若正面考虑问题的情况较多,则合理运用逆 向思维,确定反面所满足的情况,进而利用补 集思想,实现解题的优化与问题的破解。 三、借助集合直观思维破解综合问题 借助集合表示中的 Venn图法或数轴 法,利用直观思维来表示集合及集合间的关 系,为解决一些与之相关的常用逻辑用语综 合问题提供条件,使之更加直观形象,处理起 来更加方便快捷。 例 3 设非空集合A,B 满足A∩B= A,则( )。 A.∀x∈B,有x∈A B.∀x∉B,有x∉A C.∃x∉B,使得x∈A D.∃x∈A,使得x∉B 71 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年9月 图1 􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶 解析:依题意,由于A∩B=A,则有A⊆ B,集合A,B 之间的基本关系如图 1所示,利用集合间的基本关系及对 应元素之间的关系,数形结合分析。 对于选项A,∀x∈B,可能x∈ A,也可能x∉A,故选项A错误; 对于选项B,∀x∉B,则必有x∉A,故 选项B正确; 对于选项C,∃x∉B,则必有x∉A,故 选项C错误; 对于选项D,∃x∈A,则必有x∈B,故 选项D错误。 故选B。 点评:借 助 集 合 中 的 直 观 思 维,利 用 Venn图或数轴直观表示,往往可以将集合中 抽象的数学符号、数学运算或数学语言转化 为直观形象的图形,给与之相关的常用逻辑 用语综合问题的解决提供更加直观形象的空 间,对于解决问题更加直接明了。 借助集合观点来理解、分析、解答常用逻 辑用语问题是一种非常有用的方法,可以避 免常用逻辑用语问题中的复杂关系,利用集 合概念与基本关系、补集思想及集合运算等 相关知识来处理,转化之巧妙,耐人寻味,令 人叫绝。 (责任编辑 王福华) 81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年9月