06 借助技巧方法，判断充要条件-《中学生数理化》高考数学2024年9月刊

■江苏省兴化市楚水实验学校 邵春华 充分条件、必要条件或充要条件是高中 数学的一个重要概念,是高考的常考内容之 一。高考对这部分知识主要以其他知识为载 体进行两类问题的考查:一类是充分条件、必 要条件或充要条件的判断;一类是有关充要 性命题的综合应用或证明等。大多以考查充 分条件、必要条件或充要条件的判断为主。 下面介绍几种常见的判断充分条件、必要条 件或充要条件的方法。 一、特值法 由于对充分条件与必要条件的判断多以 选择题的形式出现,因此,在解决一些相应的 问题时可用特值法进行筛选,该方法简单易 行。 例 1 已知a,b 是实数,则“a>b”是 “a2>b2”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 分析:根据题目中对应的不等式,直接取 满足条件的元素值进行判断,简单快捷。 解:当a>b时,不妨取a=0,b=-1,此 时a2>b2 不成立;反之,当a2>b2 时,不妨取 a=-1,b=0,此时a>b 不成立。综上可 得,“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要 条件。 故选D。 点评:由于特值法具有片面性和局限性, 因此,在实际判断条件关系时容易出错。注 意在使用特值法时,要分正向与反向两个层 面加以判断,这样就能更有效地保证判断条 件关系的正确性。 二、定义法 给出条件p、q,根据定义,只要判断“p 能否推出q”与“q 能否推出p”,从而确定条 件p、q 的充分性与必要性的关系。数学概 念的定义具有对称性,即数学概念的定义可 以看成充要条件,既是概念的判断依据,又是 概念所具有的性质。 例 2 设A,B,C 是三个集合,则“A∩ B=A∩C”是“B=C”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析:根据题设条件,直接由两个命题的 位置关系,分别分析“p 能否推出q”与“q 能 否推出p”,进而利用定义来判断对应的条件 关系。 解:依题意,由A∩B=A∩C,不一定能 得到B=C;反之,由B=C,一定可得A∩B =A∩C。综上可得,“A∩B=A∩C”是“B =C”的必要不充分条件。 故选B。 点评:定义法是判断充分条件与必要条 件应用问题中最基本的方法之一,也是解决 此类问题中最常用的方法之一。要分别确定 条件与结论、结论与条件之间是否存在推出 关系,进而加以综合分析与判断。特别在判 断一个命题不成立时,往往只需要举出一个 反例就可以达到目的。 三、集合法 设满足条件p 的元素构成集合P,满足 条件q 的元素构成集合Q,把判断条件p、q 的充分、必要关系转化为判断集合P、Q 间的 关系。 例 3 设命题p:x2-x-20>0,命题 q: 1-x2 |x|-2<0 ,则命题p 是命题q的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 51 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年9月 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 分析:根据题设条件,通过解不等式分别 求出两命题所对应的解集,利用数轴确定集 合之间的基本关系,最后利用集合法判断充 分条件与必要条件的关系。 解:已知命题p:x2-x-20>0⇒x< -4或x>5,命题q: 1-x2 |x|-2<0⇒x<-2 或 -1<x<1或x>2。借助数轴可知,条件集 {x|x<-4或x>5}是结论集{x|x<-2或 -1<x<1或x>2}的真子集,所以命题p 是命题q的充分不必要条件。 故选A。 点评:利用集合的观点,把问题中的命题 转化为集合间的基本关系问题,有时还可以 结合图形(数轴法或 Venn图法等),使得问 题变得更加直观明了,处理起来更加简便快 捷。 四、传递法 充分条件与必要条件具有传递性,即由 p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn。当然充要条 件也有传递性。对于比较复杂的有一定连锁 关系的命题,两个命题间的关系的判断可用 传递法来处理。 例 4 已知p 是r的充分不必要条件, s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p 是q成立的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 分析:根据题目条件,通过复杂的连锁式 命题,列出对应的递推关系式,根据传递法判 断不同的两个条件之间的关系。 解:依题意,可得p⇒r,r⇒s,s⇒q,则有 p⇒r⇒s⇒q。由于r⇒/ p,则知q⇒/ p,所以p 是q成立的充分不必要条件。 故选A。 点评:对于两个以上的较复杂的连锁式 命题,利用传递性结合推出符号与推不出符 号,画出它们之间的关系结构图进行判断,可 以直观快捷地处理问题,使问题简单化。当 然,有时也可以综合应用其他的判断方法加 以解决。 五、图形法 在判定充要条件时,有时可以结合Venn 图、数轴、平面区域、图表等来加以直观分析, 通过对应图形间的关系来判定相关的充要条 件问题。 例 5 设U 为全集,A,B 是集合,则 “存在集合C 使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B =⌀”的( )。 A.充分不必要的条件 B.必要不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 分析:根据题设条件,利用集合的性质可 以由“存在集合C 使得A⊆C,B⊆∁UC”⇒ “A∩B=⌀”;反之,通过Venn图,利用举特 例来确定存在问题,进而判断两个命题之间 的条件关系。 解:若存在集合C 使得A⊆C,B⊆∁UC, 图1 则可以推出 A∩B=⌀;若 A∩ B=⌀,由 Venn图(如图1)可 知,存在 A=C,同时满足 A⊆ C,B⊆∁UC。所以“存在集合C 使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=⌀”的充要 条件。 故选C。 点评:在判定两命题的充分、必要与充要 条件时,结合相应的图形来分析与判断,更加 直观形象,效果更加良好。在使用图形法处 理此类问题时,往往还会以数轴、图表、区间 (角度)等形式出现,要加以正确分析。 判断一个命题的充分条件、必要条件或 充要条件,首先要分清命题的条件和结论。 若从条件⇒结论,则充分性成立;若从结论⇒ 条件,则必要性成立。处理充分条件、必要条 件问题时,要分清条件与结论,或用集合显示 其关系,或用等价命题推理和判断。对于如 何判断充分条件与必要条件,由于方法比较 多,形式不一,因此同学们要加以正确掌握。 (责任编辑 王福华) 61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年9月