05 集合背景下的高中数学新定义试题突破与评析-《中学生数理化》高考数学2024年9月刊

■江苏省兴化市第一中学 刘 林 对试题进行研究有助于提升同学们的解 题能力。本文基于集合背景,探究高中数学 新定义试题的考查特征,评析定义新概念、新 运算、新性质三类试题的突破方法,以期为高 中数学知识的学习提供一些参考。 一、定义新概念 例 1 设全集U={2,3,5,6,9},对其子 集引进“势”的概念:①空集的“势”最小;②非 空子集的元素越多,其“势”越大;③若两个子 集的元素个数相同,则子集中最大的元素越 大,子集的“势”就越大,最大的元素相同,则第 二大的元素越大,子集的“势”就越大,依次类 推。若将全部的子集按“势”从小到大的顺序 排列,则排在第23位的子集是 。 分析:本题主要考查集合的子集个数。 写出包含元素个数从小到大的子集个数,发 现含有小于等于2个元素的子集的个数为16 个,含有小于等于3个元素的子集的个数为 26个,故判断出排在第23位的子集在含有3 个元素的子集中,由于第23位离第26位较 近,所以从后面往前面找,进而求出结果。 解:不含任何元素的子集个数是1个,含 有1个元素的子集个数是5个,含有2个元 素的子集个数是10个,含有3个元素的子集 个数是10个。因为1+5+10+10=26>23, 所以排在第23位的子集在含有3个元素的子 集中,第26位的子集是{5,6,9},第25位的子 集是{3,6,9},第24位的子集是{2,6,9},第23 位的子集是{3,5,9}。故答案为{3,5,9}。 试题特点:①概念理解与应用:需要准确理 解集合的定义、元素的性质、子集和真子集等基 础知识,并能在具体问题中正确应用这些概念; ②集合运算能力:需要熟练掌握集合的基本运 算,包括交集、并集、补集和差集等;③逻辑推理 与关系判断:需要通过已知条件,推导出集合之 间的关系,解决涉及集合的逻辑问题;④实际应 用与创新思维:需要能够识别和建立集合模型, 利用集合运算处理具体情境中的问题。此外, 一些试题可能引入新概念或特殊集合,考查同 学们的拓展能力和创新思维。 二、定义新运算 例 2 定义两种新运算“􀱇”与“􀱋”,满 足如下运算法则:对任意的a,b∈R,有a􀱇b =ab,a􀱋b= a-b (a+b)2+1 。设全集U={c|c =(a􀱇b)+(a􀱋b),-2<a≤b<1且a,b∈ Z},A={d|d=2(a􀱇b)+ a􀱋b b ,且-1<a<b <2,a,b∈Z},B={x∈R|x2-3x+m=0}。 (1)求集合U 和A。 (2)集合A、B 是否能满足(∁UA)∩B= ∅? 若能,求出实数m 的取值范围;若不能, 请说明理由。 分析:本题考查集合新定义及集合的混 合运算。(1)利用集合新定义,分类讨论即可 求出结果;(2)由(1)知,∁UA={1,0},若 (∁UA)∩B=∅,则1,0都不是方程x2-3x +m=0的解,从而求出结果。 解:(1)首先确定集合U:由-2<a≤b< 1,且a,b∈Z,知当a=-1时,b=-1或b= 0;当a=0时,b=0。根据题中符号“􀱇”与 “􀱋”及其运算法则的定义,可得:①若a= -1,b= -1,则 c= (-1)× (-1)+ -1-(-1) (-1-1)2+1 =1;②若a=-1,b=0,则c= (-1)×0+ -1-0 (-1+0)2+1 =- 1 2 ;③若a= 0,b=0,则c=0×0+ 0-0 (0+0)2+1 =0。由① ②③可知,集合U= 1,- 1 2 ,0 。下面确定 集合A:由-1<a<b<2,且a,b∈Z,可得a =0,b=1,此时d=2(a􀱇b)+ a􀱋b b =2×0 ×1+ 0-1 (0+1)2+1 =- 1 2 ,所以A= - 1 2 。 31 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年9月 (2)若(∁UA)∩B=∅,则 B⊆A。若 B=∅,则(-3)2-4m<0,解得m> 9 4 。若 B≠∅, 则 B = A = - 1 2 , 即 - 1 2 2 -3× - 1 2 +m=0, (-3)2-4m=0, 无 解。所 以 m 的取值范围为 m|m> 9 4 。 试题特点:①新运算概念引入:需要同学们 重新理解和掌握,并能够在试题中准确运用; ②运算规则理解:需要同学们理解新运算的定 义和运算规则,并能够根据规则进行运算,求解 相关问题;③逻辑推理能力:需要同学们具备较 强的逻辑推理能力和解决问题的技巧。 三、定义新性质 例 3 已知集合A={a1,a2,…,an}(0 ≤a1<a2<…<an,n∈N*,n≥3)具有性质 P:对任意i、j(1≤i≤j≤m),ai+aj 与aj- ai 至少一个属于A。 (1)分别判断集合C={0,2,4}与 D= {1,2,3}是否具有性质P,并说明理由; (2)已知A={a1,a2,a3}具有性质P,当 a2=4时,求集合A; (3)记f(n)= an a1+a2+a3+…+an ,求 f(2 022)。 分析:本 题 考 查 集 合 的 新 性 质 问 题。 (1)结合条件中的定义证明即可。(2)由定义 知a3+a3∉A,a3-a3∈A,可得a1=0,再由 a2+a3∉A,a3-a2∈A,可得a3-a2=a2,即 得解。(3)由0≤a1<a2<…<an,可得0≤ an-an<an-an-1<…<an-a1,再由an+ an-i>an(i=1,2,…,n-1),可得an+an-i∉ A,an-an-i∈A,即可得到a1=an-an,a2= an-an-1,a3=an-an-2,…,an=an-a1,用累 加法可得a1+a2+a3+…+an,进而得到答案。 解:(1)在集合C={0,2,4}中,因为0+2 ∈C,0+4∈C,4-2∈C,0±0=0∈C,2+2 =4∈C,2-2=0∈C,4-4=0∈C,所以集合 C 具有性质P。 在集合D={1,2,3}中,因为3+3=6∉ D,3-3=0∉D,所以集合D 不具有性质P。 (2)因为a1<a2<a3,且A={a1,a2,a3} 具有性质P,所以a3+a3∉A,a3-a3=0∈ A,则a1=0,又因为a2+a3>a3,所以a2+ a3∉A,则a3-a2∈A,由集合的互异性知a3 -a2=4,而a2=4,则a3=8,故A={0,4,8}。 (3)因为A={a1,a2,…,an}(0≤a1<a2 <…<an,n∈N*,n≥3)具有性质 P,所以 an+an∉A,an-an=0∈A,则a1=0。因为 0≤a1<a2<…<an,所以0≤an-an<an- an-1<…<an-a1。因为an+an-i>an(i= 1,2,…,n-1),所以an+an-i∉A,an-an-i ∈A,所以a1=an-an,a2=an-an-1,a3=an -an-2,…,an=an-a1,故a1+a2+a3+… +an=(an-an)+(an-an-1)+(an-an-2) +…+(an-a1),即a1+a2+a3+…+an= n 2an 。所以f(n)= an a1+a2+a3+…+an = an n 2an = 2 n ,故f(2 022)= 1 1 011 。 试题特点:①新性质的理解与应用:需要 同学们准确地理解这些性质,并在具体题目 中正确应用;②推导与证明能力:需要通过给 定的性质或定理,推导出新的结论,进行简单 的证明;③运用到实际问题:需要同学们识别 问题背景,理解新性质在解决问题中的作用 和意义;④拓展和创新思维:需要同学们灵活 运用所学的新性质,在新颖或复杂的情况下 做出合理的推论或解决方案。 集合是高中数学的重要内容之一,在解 答新定义题时需要把握基本思路:(1)正确理 解新定义,仔细阅读题目,理解所给的新定义 或新概念;(2)根据新定义建立关系式,确保 关系式能够准确地反映问题的本质,并符合 新定义的条件和规定;(3)结合所学的知识、 经验将问题转化为熟悉的问题;(4)运用所学 的公式、定理、性质等合理进行推理、运算,求 得结果;(5)探讨不同条件下新定义的应用和 限制,深化对新定义的理解,培养创新思维和 应用能力。 (责任编辑 王福华) 41 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年9月