内容正文:
■河南省南阳市第一中学校 方 宇
高考注重培养支撑终身发展,适应时代
要求的关键能力,通过优化考查内容、丰富呈
现方式、创新设问角度等途径,在考查学科基
础知识和基本能力的基础上,强化关键能力
培养,让善于独立思考与认知能力强的同学
脱颖而出,有效鉴别同学们的发展潜能。
通过对高考真题的研究,面对即将开启
的高三一轮复习,建议同学们做好以下几点。
1.狠抓基础,完善知识体系
纵观近几年高考导数试题,考查方向主
要有八个方面:一是导数的概念及几何意义;
二是导数与函数的单调性;三是函数的极值;
四是函数的最值;五是利用导数解决恒成立
(存在性)问题;六是利用导数研究函数的零
点;七是利用导数证明不等式;八是生活中最
优解问题。因此,在一轮复习中要狠抓基础,
熟练掌握利用导数的几何意义求切线方程问
题,紧紧抓住导数与函数单调性的关系,这是
导数问题的核心,用好参变分离的方法把不
等式成立问题转化为函数最值问题。高考命
题特点:热点问题不回避,重点内容重点考。
一轮备考需要摸准命题的特点与视角,磨炼
出精准把握命题意图的能力。
例 1 (隐零点方程多次用)已知函数
f(x)=e2x-aln
x。
(1)讨论f'(x)的零点个数;
(2)证 明:当 a>0时,f(x)≥2a+
aln
2
a
。
解析:(1)讨论过程略。
(2)当a>0时,由(1)知f'(x)在(0,
+∞)上有且仅有一个零点,设为x0,满足
2x0e2x0=a。且当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,
当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)
≥f(x0)=e2x0-aln
x0。 (※)
隐零点方程2x0e2x0=a,第一次用:e2x0=
a
2x0
,第二次用:两边取对数得ln
x0=-2x0
01
知识篇 科学备考新指向
高考数学 2024年9月
+ln
a
2
,代入(※)式可得f(x)≥f(x0)=
e2x0 - aln
x0 = a
1
2x0
+2x0+ln
2
a ≥
a2+ln
2
a ,当且仅当x0=12时等号成立。
例 2 (隐零点方程逆用)已知函数
f(x)=ex+ax,当x≥0时,f(x)≥x2+1,
求实数a的取值范围。
解析:构造函数g(x)=ex-x2+ax,则
g'(x)=ex-2x+a,g″(x)=ex-2。
当x∈(0,ln
2)时,g″(x)<0,当x∈
(ln
2,+∞)时,g″(x)>0,所以 g'(x)≥
g'(ln
2)=2-2ln
2+a。
①若2-2ln
2+a≥0,即a≥2ln
2-2,
则g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以
g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)≥g(0)
=1,符合题意。
②若2-2ln
2+a<0,且g'(0)=1+a
≤0,则当x∈(0,ln
2)时,g'(x)<0,g(x)在
(0,ln
2)上单调递减,g(x)<g(0)=1,与题
设矛盾,舍去。
③若2-2ln
2+a<0,且g'(0)=1+a
>0,则∃x1∈(0,ln
2),x2∈(ln
2,+∞),使
得g'(x1)=g'(x2)=0,即ex2-2x2+a=0。
当x∈(0,x1)时,g'(x)>0,当x∈(x1,x2)
时,g'(x)<0当x∈(x2,+∞)时,g'(x)>
0。又因为g(0)=1,所以需满足g(x2)≥1,
即g(x2)-1=ex2 +ax2-x22-1=(1-
x2)(ex2-x2-1)≥0,解得ln
2<x2≤1。而
a = 2x2 - ex2,令 p (x)= 2x -
ex(ln
2<x≤1),可得a∈[2-e,2ln
2-2)。
综上可得,a∈[2-e,+∞)。
例 3 (隐零点方程变形用)若当x∈
(0,+∞)时,ax+ln
x≤exx-1恒成立,则a
的取值范围为 。
解析:原式等价于a≤ex-
1
x-
ln
x
x
,令
g(x)=ex -
1
x -
ln
x
x
,则 g'(x)=
exx2+ln
x
x2
。
令h(x)=exx2+ln
x,则h'(x)=ex(x2
+2x)+
1
x>0
,所以h(x)在(0,+∞)上单调
递增。又h 12 = e4-ln
2<0,h(1)=e>
0,故∃x0∈
1
2
,1 ,使得h(x0)=0,即ex0x20
+ln
x0=0。当x∈(0,x0)时,h(x)<0,
g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(x0,+∞)
时,h(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增,所
以g(x)≥g(x0)=
ex0x0-ln
x0-1
x0
。 (※)
由ex0x20+ln
x0=0,得ex0x20+x0+
2ln
x0=x0+ln
x0。令l(x)=x+ln
x,可知
l(x)在(0,+∞)上单调递增,又ex0x20+x0+
2ln
x0=x0+ln
x0 等价于l(ex0x20)=l(x0),
所以ex0x20=x0,两边取对数得x0+ln
x0=0,
代入(※)式可得g(x0)=
1-1-ln
x0
x0
=1。
所以a≤1,即a∈(-∞,1]。
2.回归数学本质,注重思想方法
近三年高考一直在改革,2024年高考是
打破常规,减量增质的新高考,主要体现了:
(1)三考:考主干,考能力,考素养;(2)三重:
重思维,重创新,重应用;(3)三突出:突出思
维过程,突出思维方法,突出创新能力。因
此,在一轮复习时同学们应注重思维过程,减
少死记硬背和机械刷题。
例 4 设函数f(x)=(x+a)ln(x+
b),若 f(x)≥0,则 a2+b2 的 最 小 值 为
( )。
A.
1
8 B.
1
4 C.
1
2 D.1
解法1:由 题 意 知,f(x)的 定 义 域 为
(-b,+∞),令x+a=0,解得x=-a;令
ln(x+b)=0,解 得 x=1-b。若 -a≤
-b,则当x∈(-b,1-b)时,可知x+a>0,
ln(x+b)<0,此时f(x)<0,不合题意。若
-b<-a<1-b,则当x∈(-a,1-b)时,可
知x+a>0,ln(x+b)<0,此时f(x)<0,不
合题意。若-a=1-b,则当x∈(-b,1-b)
时,可知x+a<0,ln(x+b)<0,此时f(x)
>0;当x∈[1-b,+∞)时,可知x+a≥0,
ln(x+b)≥0,此时f(x)≥0,即当-a=1-
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b时,符合题意。若-a>1-b,则当x∈(1
-b,-a)时,可知x+a<0,ln(x+b)>0,此
时f(x)<0,不合题意。综上所述,当-a=
1-b,即b=a+1时,有 a2+b2=a2+
(a+1)2=2a+
1
2
2
+
1
2≥
1
2
,当且 仅 当
a=-
1
2
,b=
1
2
时,等号成立。故选C。
解法2:由 题 意 知,f(x)的 定 义 域 为
(-b,+∞),令x+a=0,解得x=-a;令
ln(x+b)=0,解 得 x=1-b。则 当 x∈
(-b,1-b)时,ln(x+b)<0,故x+a≤0,所
以1-b+a≤0;当x∈(1-b,+∞)时,ln(x
+b)>0,故x+a≥0,所以1-b+a≥0。
故1-b+a=0,
以下同解法1。
解法3:令f(x)=0,解得x1=-a,x2=
1-b,而y1=x+a,y2=ln(x+b)均为增函
数,所以-a=1-b,以下同解法1。
评注:本题含有两个参数,如果抓住两项
乘积同号,且两函数单调性一致的本质,可秒
杀。如果盲目求导,很可能小题大做,或中途
放弃。所以回归问题本质显得非常重要。
3.打通知识脉络,实现融会贯通
知识是相通的,能力是各方面共同促进
的。导数是研究数学问题的工具,导数与函数
对称性、单调性一脉相承,数列也是函数,所以
导数与数列结合的证明题屡见不鲜,解析几何
中的切线问题用导数解决事半功倍。
例 5 已知函数f(x)=ex-ax-1(a
为常数),曲线y=f(x)在与y 轴的交点A
处的切线斜率为-1。
(1)求a的值及函数f(x)的单调区间;
(2)证明:当x>0时,ex>x2+1;
(3)证明:当n∈N*时,1+
1
2+
1
3+
…+
1
n>ln
(n+1)3
(3e)n
。
解析:(1)(2)过程略。
(3)记Sn=ln
(n+1)3
(3e)n
,利用数列求通项
的 方 法 求 出 an =ln
(n+1)3
3e·n3
,即 证 1
n >
ln
(n+1)3
3e·n3
,即证3e
1+1n > 1+
1
n
3
,构造函数
h(x)=ex-
1
3x
3。
首先证明:当x>0时,恒有ex>
1
3x
3。
令h(x)=ex-
1
3x
3,则h'(x)=ex-x2。
由(2)知,当 x>0 时,ex >x2,所 以
h'(x)>0,即h(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以h(x)>h(0)=1>0,即ex>
1
3x
3,所以
x>ln 13x
3 ,即x+ln 3>3ln x。
依次取x=
2
1
,3
2
,…,n+1
n
,则2
1+ln
3
>3ln
2
1
,3
2+ln
3>3ln
3
2
,…,n+1
n +ln
3>
3ln
n+1
n
。以上 各 式 相 加,有2
1+
3
2+
…
+
n+1
n +nln
3>3ln 21×
3
2×
…×
n+1
n ,
所以 n+ 1+
1
2+
1
3+
…+
1
n +nln
3>
3ln(n+1),即 1+
1
2 +
1
3 +
… +
1
n >
ln
(n+1)3
3nen
。
4.加大思维深度,锻炼一题多解
一轮复习时应以经典题为模板,深入挖掘
和提炼多种方法,完善知识结构,例如:隐零点、
端点效应、特值探路、主元轮换、放缩技巧等。
磨炼精准把握命题意图的能力,以便在考场上
随机应变,快速辨别出最有效的做题思路。
例 6 已知f(x)=lnx2+
1
2
,g(x)=
ex-2,若g(m)=f(n)成立,求n-m 的最小值。
解析:设t=ln
n
2+
1
2=e
m-2,则m=ln
t
+2,n=2e
t-12,故n-m=2e
t-12-ln
t-2,构
造新函数可得n-m 的最小值为ln
2。
总之,导数的选拔功能主要体现在考查
同学们数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心
素养,高三备考,要抓住解决此类问题的核心
点———导数与函数的单调性,夯实基础,勤于
总结,提升解决问题的关键能力,分解难点,
让高考顺利通关! (责任编辑 王福华)
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