03 浅析函数一轮复习的备考策略和建议-《中学生数理化》高考数学2024年9月刊

■河南省南阳市第一中学校 王松棚 高三一轮复习是对课程标准中所有知识 点、题型整体复习和系统化梳理的一个过程, 具有全面化、系统化、零碎化、归纳化、重难点 突出化等特点,所以知识的学习不再是重复 以前的模块化学习,而是需要将知识并入同 学们已有的知识体系中,形成一种提纲挈领、 牵一发而动全身的学习技巧。 一、考情分析 纵观高中数学,函数性质贯穿于整个数 学内容,涵盖各个方面,是同学们最头疼的内 容。从近几年的高考情况来看,也是高考当 中最能拉开分值的考点之一。通常以选择 题、填空题的形式出现,占有的分数比重较 高,容量较大。考查的知识点往往以函数的 奇偶性问题、零点问题、恒成立问题、周期性 问题、图像的对称性问题及单调性问题为核 心,容易把实际问题与相应的函数性质相结 合。而函数的性质与导数相交汇问题,会在 小题的压轴题中呈现,难度较大。这些题型 考查数据分析、逻辑推理、数学抽象、数学运 算的核心素养。解题时要充分运用转化思想 和数形结合思想,灵活求解。 二、备考策略 1.抓住概念———弄清内涵外延 例 1 设函数f(x)=x|x|-2x,则 f(x)是( )。 A.偶函数,且在(1,+∞)上单调递增 B.奇函数,且在(-1,1)上单调递减 C.偶函数,且在(-∞,-1)上单调递增 D.奇函数,且在(-∞,-1)上单调递减 解析:因为函数f(x)=x|x|-2x 的定 义域 为 R,且 f(-x)=-x|x|+2x= -(x|x|-2x)=-f(x),所以f(x)是奇函 数。又 因 为 f (x)=x|x|-2x = x2-2x,x≥0, -x2-2x,x<0, 作出函数f(x)的图像,如 图1所示。由图知,函数f(x)在(-∞,-1) 图1 和(1,+∞)上单调递增,在 (-1,1)上单调递减。故选 B。 点睛:奇函数、偶函数、单 调区间等概 念 是 基 础 知 识,必 须 熟 练 掌 握。 对于新定义,必须忠实于原文去翻译条件,不 能想当然。 2.抓住图像———借力直观想象 例 2 (2024年全国模拟预测)若不等 式f(x)>0或f(x)<0只有一个整数解,则 称不 等 式 为 单 元 集 不 等 式。已 知 不 等 式 a(x+1)2-|log2 x|+1>0为单元集不等 式,则实数a的取值范围是 。 解析:根据题意可转化为满足|log2 x|< a(x+1)2+1的整数x 的个数为1。 令f(x)=|log2 x|,g(x)=a(x+1)2+ 1。当a>0时,作出函数f(x)=|log2 x|和 图2 g(x)=a(x+1)2-1 的图像,如图2所示, 数形结合知 f(x)< g(x)的解集中整数x 的个数有无数多个,不 符合题意。 当a=0时,g(x)=1,所以|log2 x|<1, 解得 1 2<x<2 ,只有一个整数解x=1,所以 a=0符合题意。 当a<0时,作出函数f(x)=|log2 x|和 图3 g(x)=a(x+1)2-1的 图像,如图3所示,要使 |log2 x|<a(x+1)2+1 的整数解只有一个,只 需满足 g(1)>0, f(2)≥g(2), 即 4a+1>0, 1≥9a+1, 结合a<0,可得-14<a<0。 综 上 所 述,实 数 a 的 取 值 范 围 是 7 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年9月 - 1 4 ,0 。 点睛:根据函数的零点个数求解参数范 围的一般方法:(1)转化为函数最值问题,利 用导数解决;(2)转化为函数图像的交点问 题,数形结合解决;(3)参变分离法,结合函数 最值或范围解决。 例 3 已 知 函 数 f (x)= 1 2 x ln 12 ,x≤0, 4ln2x,x>0, 若函数g(x)=f(x) -mx 有 4 个 零 点,则 m 的 取 值 范 围 为 ( )。 A.m m≥ 16 e2 B.m m≥eln22 C.m eln22<m< 16 e2 D.m m=eln22或m= 16 e2 图4 解析:作出f(x)的图 像,如图4所示。 令g(x)=f(x)-mx =0,可得f(x)=mx,由题 意知,函数g(x)的零点个 数即为y=f(x)与y=mx 的交点个数。 若x>0,则f(x)=4ln2x,可得f'(x)= 8ln x x 。设切点坐标为(x1,4ln2x1),x1>1, 切线斜率为k1= 8ln x1 x1 ,则切线方程为y- 4ln2x1= 8ln x1 x1 (x-x1),代入点O(0,0),可 得-4ln2x1=-8ln x1,解得x1=e2,此时切 线斜率为k1= 16 e2 。 若 x≤0,则 f(x)= 1 2 x ln 1 2 = -ln 2· 12 x ,可得f'(x)=ln22· 1 2 x 。 设切点坐标为 x2,-ln 2· 12 x2 ,x2≤0, 切线斜率为k2=ln22· 1 2 x2 ,则切线方程为 y+ln 2· 12 x2 =ln22· 12 x2 (x-x2),代 入点O(0,0),可得ln 2· 12 x2 =ln22· 1 2 x2 (-x2),解得x2=- 1 ln 2=-log2 e,此 时切线斜率为k2=e·ln22。 结 合 图 像 可 知,m 的 取 值 范 围 为 m|m=eln22或m= 16 e2 。故选D。 点睛:数形结合是通过数与形之间的对应 和转化来解决数学问题。它包含以形助数和 以数解形两个方面。一般来说,涉及函数、不 等式、确定参数取值范围、方程等问题时,可考 虑数形结合法。运用数形结合法解题一定要 对有关函数图像、方程曲线、几何图形较熟悉, 否则,错误的图像导致错误的选择。 3.抓住性质———深度理解函数 例 4 已知函数f(x)=ex-1-e1-x+ x3-3x2+3x,若实数x,y 满足f(x2)+ f(2y2-1)=2,则 x 1+y2 的 最 大 值 为 ( )。 A. 32 2 B. 32 4 C. 52 4 D. 53 4 解析:已知f(x)=ex-1-e1-x+x3-3x2 +3x=ex-1-e1-x+1+(x-1)3。 记g(x)=ex-1-e1-x,h(x)=(x-1)3, 则g(x)+g(2-x)=ex-1-e1-x+e1-x-ex-1 =0,h(x)+h(2-x)=(x-1)3+(1-x)3= 0,且y=ex-1 单调递增,y=- 1 ex-1 单调递增, 则g(x)与h(x)都关于(1,0)中心对称且为 R上的增函数,所以f(x)+f(2-x)=g(x) +h(x)+1+g(2-x)+h(2-x)+1=2,故 f(x)关于(1,1)中心对称且为 R上的增函 数。由f(x2)+f(2y2-1)=2,可得x2+ 2y2-1=2,即x2+2y2=3。 记A=x 1+y2,则A2=x2(1+y2)= 1 2x 2(2+2y2)≤ 1 2 x2+2+2y2 2 2 = 25 8 ,可 得 A ≤ 52 4 ,当 且 仅 当 x>0, x2=2+2y2, x2+2y2=3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 8 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年9月 x= 10 2 , y=± 1 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 时取等号,故x 1+y2的最大值 为 52 4 。故选C。 例 5 已知f(x)是定义在 R上的函 数,满足f(x+1)= 1-f(x) 1+f(x) 。 (1)证明:2是函数f(x)的周期; (2)当x∈[0,1)时,f(x)=x,求f(x) 在x∈[-1,0)上的解析式,并写出f(x)在 x∈[2k-1,2k+1)(k∈Z)上的解析式; (3)对于(2)中的函数f(x),若关于x 的 方程f(x)=ax 恰好有20个解,求实数a的 取值范围。 解析:(1)已知f(x+1)= 1-f(x) 1+f(x) ,令 x 取x+1,得 f(x+2)= 1-f(x+1) 1+f(x+1) = 1- 1-f(x) 1+f(x) 1+ 1-f(x) 1+f(x) =f(x),所以2是函数f(x)的 周期。 (2)当x∈[-1,0)时,x+1∈[0,1),则 f(x+1)=x+1。 又f(x+1)= 1-f(x) 1+f(x) ,即1-f (x) 1+f(x) = x+1,解得f(x)=- x x+2 ,所以当x[-1, 0)时,f(x)=- x x+2 。 所以f(x)= - x x+2 ,x∈[-1,0), x,x∈[0,1)。 因为f(x)的周期为2,所以当x∈[2k -1,2k+1)(k∈Z)时,f(x)=f(x-2k)= - x-2k x-2k+2 ,x∈[2k-1,2k), x-2k,[2k,2k+1)。 (3)由(2)作出函数f(x)的图像,如图5 所示,则方程f(x)=ax 解的个数就是函数 f(x)的图像与直线y=ax 的交点个数。 若a=0,则x=2k(k∈Z)都是方程的 图5 解,不合题意。 若a>0,则x=0 是方程的解。要使 方 程恰好有20个解,在 区间[1,19)上,f(x)有 9个周期,每个周期有2个解,在区间[19, 21)上有且仅有一个解,则 19a<1, 21a>1, 解得121< a< 1 19 。 若a<0,同理可得- 1 19<a<- 1 21 。 综上可得,a∈ - 1 19 ,- 1 21 ∪ 121,119 。 点睛:本题考查了函数的周期性及解析 式,方程的根与函数图像交点之间的转化问 题,考查了数形结合思想,推理能力与计算能 力,属于难题。 4.抓住联系———学会转化化归 例 6 已知函数f(x)=3x ,则函数y =f(x-1)+1的图像( )。 A.关于点(1,1)对称 B.关于点(-1,1)对称 C.关于点(-1,0)对称 D.关于点(1,0)对称 解析:函数f(x)= 3 x 的定义域为{x|x ≠0},又 f(-x)=- 3 x =-f (x),所以 f(x)= 3 x 为奇函数,则函数f(x)的图像关 于原点(0,0)对称。又y=f(x-1)+1的图 像是由f(x)= 3 x 的图像向右平移1个单位, 再向上平移1个单位得到,所以函数y=f(x -1)+1的图像关于点(1,1)对称。故选A。 例 7 已知f(x)是定义域为 R的单 调函数,且f(f(x)-3x)=4,若2a=log2 b =c,则( )。 A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a) C.f(a)<f(c)<f(b) D.f(c)<f(b)<f(a) 9 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年9月 图6 􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺􀤺 解析:由已知f(f(x)-3x)=4,令t= f(x)-3x。又因为f(x)是定义域为R的单 调函数,所以存在唯一t∈R,使得f(t)=4, 即f(x)=3x+t,所以f(t)=4t=4,解得 t=1,所以f(x)=3x+1。 如图6所示,作出y= 2x 与y=log2 x 的图像,因 为它们互为反函数,则图像 关于直线y=x 对称,由2a =log2 b=c>0,在图中作 直线y=c,则与y=2x,y=x,y=log2 x 的 交点的横坐标依次为a,c,b,可得a<c<b。 又因为f(x)=3x+1是单调递增的,所 以f(a)<f(c)<f(b)。故选C。 三、复习建议 (1)海纳百川———掌握必备知识,培养数 学核心素养。复习每章内容前把本章知识清 单提前整理,随时复习背诵。 (2)殊途同归———强化数学能力,培养数 学核心素养。复习每章内容时,把新高考试 卷中出现的相关考题进行整理归类,及时练 习。 (3)润物无声———渗透数学思想,培养数 学核心素养。回归教材,可结合课后阅读材 料,联系相关情景类、文化类考题,拓展教材 习题,一题多变,改编创新。 (4)理解本质,抓住几何特征。注重基础 方法的使用,尝试改变做法,适当补充结论, 有意完成拔高题。 (5)加强阅读、推理、运算能力的训练。 总之,同学们既要埋头赶路,也要抬头看 路,把对知识的理解与对试题的把握结合起 来。 (责任编辑 王福华) 01 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年9月