01 集合和常用逻辑用语高考复习备考策略-《中学生数理化》高考数学2024年9月刊

■河南省南阳市第一中学校 马东宇 从近几年的全国卷来看,集合和常用逻辑 用语是必考内容,命题稳定,以基础题为主。 一、命题分析 (1)从考查形式来看,涉及本专题知识的 考题通常以选择题的形式出现,设在试卷的 第1题或者第2题,分值5分。考查集合之 间的关系以及概念、定理、公式的逻辑推理等。 (2)从考查难度来看,集合的考查内容相对 比较单一,以集合的基本运算和基本概念为主, 同时考查不等式的求解,试题相对容易,而常用 逻辑用语主要集中在对含有量词命题真假的判 断,重点考查概念的理解及推理能力。 (3)从考查热点来看,不等式的解法和概 念、定理、公式之间的相互推理是本专题主要 考查的内容,其要求不高,重在理解。 二、备考策略 1.知识层面 集合的复习要理解、掌握集合的含义与 表示方法,能够判断集合间的基本关系,掌握 集合交集、并集、补集的运算。高考的热点依 然会集中在集合的运算上,尤其是要重点关 注集合的交集运算。集合的运算常常和不等 式相结合来命题,主要考查集合和一次、二 次、三次不等式,以及绝对值、根式不等式相 关问题的求解,但是难度较小,所以在复习中 要掌握最基本的求解二次、高次、分式、绝对 值、根式、对数、指数等各类不等式的方法。 例 1 已知集合 M={x||x|≤2}, N={x|ln x<1},则 M∩N=( )。 A.[2,e) B.[-2,1] C.[0,2) D.(0,2] 分析:集合 M 涉及绝对值不等式求解, 集合N 是基于对数不等式的计算,然后再求 解集合的交集。 解:因为 M=[-2,2],N=(0,e),所以 M∩N=(0,2]。故选D。 例 2 已知集合A={x|x<1},B= {x|log2 x<-2},则A∩B=( )。 A.0, 1 4 B.0,14 C.-∞, 1 4 D. 22,1 分析:集合 A 涉及根式不等式的求解, 集合B 是基于对数不等式的计算,然后再求 解集合的交集。 解:因为A={x| x<1}={x|0≤x< 1},B={x|log2 x<-2}= x 0<x< 1 4 , 所以A∩B= x 0<x< 1 4 。故选A。 例 3 设全集U=R,集合A={x|x2 -x-2>0},B={x|x≥1},则(∁UA)∩B= ( )。 A.{x|1≤x≤2} B.{x|1<x≤2} C.{x|x>2} D.{x|1≤x<2} 分析:集合 A 涉及二次不等式的求解, 在此基础上求解集合的补集和交集。 解:因为A={x|x2-x-2>0}={x|x> 2或x<-1},所以∁UA={x|-1≤x≤2}, 所以(∁UA)∩B={x|1≤x≤2}。故选A。 在常用逻辑用语方面,考查的频率较低, 且命题点分散,高考主要考查充分条件和必 要条件、全称量词和存在量词。因此在复习 时,要在掌握其基本概念的基础上,多注意结 合函数、平面向量、不等式、三角函数、数列、 立体几何等知识的命题,关注知识之间的联 系,试题难度中档偏易。 例 4 设Sn 为数列{an}的前n项和,q ≠0,a1≠0,则“(1-q)Sn=a1(1-qn)”是“数 列{an}是以q为公比的等比数列”的( )。 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 分析:本题表面上是考查命题的充分条 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年9月 件和必要条件,实则是考查等比数列的前n 项和公式,所以根据充要条件的判断方法和 等比数列的前n项和公式分析即得结论。 解:由“(1-q)Sn=a1(1-qn)”可知,若 q=1,等式显然成立,但是数列{an}的通项和 前n项和都不能确定,故得不出“数列{an}是 以1为公比的等比数列”的结论,即“(1-q)Sn =a1(1-qn)”不是“数列{an}是以q 为公比 的等比数列”的充分条件。由“数列{an}是以 q为公比的等比数列”可知,当q=1时,有 (1-q)Sn=a1(1-qn)显然成立,当q≠1时, 有Sn= a1(1-qn) 1-q 成立,即有(1-q)Sn= a1(1-qn)成立,故“(1-q)Sn=a1(1-qn)” 是“数列{an}是以q为公比的等比数列”的必 要条件。故选C。 例 5 (多选)命题“存在x>0,使得 mx2+2x-1>0”为真命题的一个充分不必 要条件是( )。 A.m>-2 B.m>-1 C.m>0 D.m>1 分析:根据题意,存在x>0,使得 m> 1-2x x2 ,利用二次函数的性质,求得1-2x x2 的 最小值为-1,从而求得m 的取值范围,结合 充分不必要条件的定义和选项,即可求解。 解:由题意,存在x>0,使得mx2+2x- 1>0,即 m > 1-2x x2 = 1x 2 -2× 1 x = 1 x-1 2 -1,当 1 x -1=0 ,即 x=1 时, 1-2x x2 取最小值-1,故 m>-1。所以命题 “存在x>0,使得mx2+2x-1>0”为真命题 的充分不必要条件是{m|m>-1}的真子 集,由选项可知,C和D符合条件。故选CD。 2.方法层面 (1)回归基础,深化基本概念。 对高中数 学知识点进行全面的梳理,形成完整的知识 体系,确保对基本概念、公式、公理等内容的 牢固掌握,夯实基础,对易混易错的知识点可 以通过做题、复习笔记等方式进行检查和巩 固,不留知识盲点。 (2)回归课本,回归基础题目。复习完成 课本上的例题和习题,这些很有可能是高考 题的前身。 (3)小题小作,提高做题效率。对于一些 题目可以采用特殊值代入,排除错误的选项, 缩小选择范围。 (4)数形结合,提高计算能力。加强集合计 算化简的训练,注意利用几何的直观性,会借助 Venn图、数轴等工具解决集合的运算问题。 例 6 已知集合 A= x x-1x-a<0 , 若A∩N* =∅,则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( )。 A.{1} B.(-∞,1) C.[1,2] D.(-∞,2] 分析:本题如果直接求解,需要分类讨论 1与实数a 的大小关系,相对麻烦。如果根 据选项代入验证实数a=2或者a=0,则可 以快速地得到答案。 解法1:由题意,得A={x|(x-1)(x- a)<0},当a>1时,A={x|1<x<a},因为 A∩N*=∅,所以1<a≤2;当a<1时,A= {x|a<x<1},因为A∩N*=∅,所以a<1; 当a=1时,A=∅,满足题意。综上所述,实 数a的取值范围是(-∞,2]。故选D。 解法2:(最优解)当a=2时,A={x|1 <x<2},A∩N*=∅,故排除A,B;当a=0 时,A={x|0<x<1},A∩N*=∅,故排除 C。故选D。 例 7 某学校举办了第60届运动会,期 间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共 进”。数学组教师除5人出差外,其余都参与 活动,其中有18人参加了“你追我赶”,20人参 加了“携手共进”,同时参加两个项目的人数不 少于8人,则数学组教师人数至多为( )。 A.36 B.35 C.34 D.33 图1 解析:如图1所示,设两种项 目都参加的有x 人,“你追我赶” 为集合A,“携手共进”为集合B, 则数学组共有5+18-x+x+20 -x=43-x(x≥8),显然43-x≤35。故选 B。 (责任编辑 王福华) 4 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年9月