12 多角度建系 殊途同归-《中学生数理化》高二数学2024年9月刊

多角度建系　殊途同归 ■山东省郓城第一中学 杨奉利 向量法应用于立体几何问题,使一部分几 何问题得以用代数的方法解决,将复杂的空间 问题变成了简单的代数计算,是我们解决立体 几何问题的一种有效方法。对于存在三条两两 垂直直线的立方体,建系不是一件难事,此时用 向量法解决立体几何问题就显得特别简单。并 不是所有立体几何问题中的垂直关系都是明确 给出的,在一些立体几何问题中,垂直关系隐藏 在某些条件的背后,需要同学们努力挖掘才能 加以利用,在明确了垂直关系和空间各点的位 置后,用向量法解题也就“水到渠成”了。 图1 题目:如图1, 在 四棱锥 P-ABCD 中, 底面ABCD 是直角梯 形, AD∥BC,AB⊥ BC,平面PAD⊥平面 PAB,平面 PAD⊥平 面PDC。若PA=AB =AD= 3 3PB=1 ,求AC 与平面PBD 所成 角的正弦值。 分析:本题条件中没有找到垂直底面的 直线,这给建系带来了麻烦。下面通过三个 思路来解决本题:一是强制建系,先建立z 轴,至于点P,则通过方程来求解;二是利用 “若两个相交平面垂直于同一平面,则它们的 交线垂直于该平面”这一性质来找到底面的 垂线;三是利用“两个面面垂直”来构建新的 底面及其垂线,从而建立空间直角坐标系。 这三个思路分别对应着下面的三种解法。 图2 解:(解法1)以 点 A 为 坐 标 原 点, AD,BA 所 在 直 线 分别为x 轴,y 轴, 建立如图2所示的 空间直角坐标系,则 点 B (0,-1,0), D(1,0,0)。 不妨设点P(x0,y0,z0),C(a,-1,0)。 设平面PAD 的一个法向量为n1=(x,y, 1),则 n1·AD→=0, n1·AP→=0, 即 x=0 , x0x+y0y+z0=0。 解得 x=0, y=- z0 y0 。 故n1= 0,-z0y0,1 。 设平面PAB 的一个法向量为n2=(1, b,c),则: n2·AB→=0, n2·AP→=0, 即 b=0 , x0+y0b+z0c=0。 解得 c=- x0 z0 , b=0, 故n2= 1,0,-x0z0 。 又平面PAD⊥平面PAB,故n1·n2= 0,解得x0=0,即点P 在平面yAz上。 又PA=AB= 3 3PB=1 ,故∠PAB= 120°,点P 0, 1 2 ,3 2 。 设平面 PCD 的一个法向量为n3=(1, y1,z1),则: n3·DC→=0, n3·DP→=0, 即 (a-1)-y1=0, -1+ y1 2+ 3z1 2 =0 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 y1=a-1, z1= 3-a 3 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故n3= 1,a-1, 3-a 3 。 又n1·n3=0,故a= 3 2 。 设n=(x2,y2,1)为平面PBD 的一个法 向量,则: n·DB→=0, n·BP→=0, 即 x2+y2=0, 3 2y2+ 3 2=0 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x2= 3 3 , y2=- 3 3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 故n= 3 3 ,- 3 3 ,1 。 53 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年9月 又 AC→ = 32,-1,0 ,故 AC 与 平 面 PBD 所成角的正弦值为 |n·AC→| |n||AC→| = 65 13 。 (解法2)延长BA,CD,作PH1⊥PA 交 AB 于点H1,作PH2⊥PD 交CD 于点H2。 因为平面PAD⊥平面PAB,平面PAD ⊥平面PDC,所以PH1⊥平面PAD,PH2⊥ 平面PAD,故直线PH1 与直线PH2 重合。 又因为点 H1 在直线AB 上,所以点 H1 在平面ABCD 内。 同理,点 H2 也在平面ABCD 内。 所以点H1 与点H2 重合,即直线AB 与 CD 相交于点H,且PH⊥平面PAD。 图3 以点A 为原点, AD,AP 所在直线分 别为x轴,y轴,建立 如图3所示的空间直 角坐标系。 因 为 PA = AB=1,PB= 3,所 以∠PAB=120°。 解得PH= 3,AH=2,BC= 3 2 。 故 点 D (1,0,0),B 0,- 1 2 ,3 2 , C 3 2 ,- 1 2 ,3 2 ,P(0,1,0)。 设n=(x,y,1)为平面PBD 的一个法 向量,则: n·PD→=0, n·BP→=0, 即 x-y=0, 3 2y- 3 2z=0 。 解得 x= 3 3 , y= 3 3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 故n= 3 3 ,3 3 ,1 。 图4 又 因 为 AC→ = 3 2 ,- 1 2 ,3 2 ,所以AC 与平面PBD 所成角的正 弦值为 |n·AC→| |n||AC→| = 65 13 。 (解法3)如图4,过点B 作BE⊥AP 于 点E,过点C 作CF⊥PD 于点F。 因为平面PAD⊥平面PAB,平面PAD ⊥平面PDC,所以BE⊥平面PAD,CF⊥平面 PAD,故BE∥CF,即B,C,E,F 四点共面。 又AD∥BC,故AD∥平面BEFC。 而平面PAD∩平面BEFC=EF,所以 AD∥EF,故BC∥EF,即四边形BEFC 为平 行四边形。 因为 PA =AB =1,PB = 3,所 以 ∠PAB=120°,AE= 1 2 ,BC=EF= 3 2 。 图5 以点 E 为 坐 标 原 点,EF,EP,EB 所在直 线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标 系,如图5所示。 则 点 P 0, 3 2 ,0 , A0, 1 2 ,0 ,D1,12,0 ,B0,0,32 ,C 32,0,32 。 设n=(x,y,1)为平面PBD 的一个法 向量,则: n·PD→=0, n·BP→=0, 即 x-y=0, 3 2y- 3 2=0 。 解得 x= 3 3 , y= 3 3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 故n= 3 3 ,3 3 ,1 。 又AC→= 3 2 ,- 1 2 ,3 2 ,所以AC 与平面 PBD 所成角的正弦值为 |n·AC→| |n||AC→| = 65 13 。 点评:本题展现了三种不同的建系方法。 第一种方法比较直接,各点位置的坐标主要靠 方程计算得到,这种方法的好处是不太需要几 何证明,辅助线也很少,基本属于代数计算,适 合空间想象力较弱的同学。后两种方法都是通 过面面垂直这个条件来寻找空间的垂直关系, 寻找三条相互垂直的直线来构建几何体,从而 很好地认识这个四棱锥,减少了运算量。 变式训练:如图6,在四棱锥P-ABCD 中, 63 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年9月 图6 底面为直角梯形,AB∥ CD,∠BAD = 90°, AB=2CD=4,PA⊥ CD。在 锐 角 △PAD 中,E 是 边 PD 上 一 点,且 AD = PD= 3ED=32。 (1)求证:PB∥平面ACE; (2)当 PA 的长为何值时,AC 与平面 PCD 所成的角为30°? 分析:本题第二问出现了几何体内点的 位置不明确的情况,此时我们不妨根据条件 大胆设点,带着变量运算,通过一些方程或方 程组求解不明确的点的坐标。 解:(1)连接BD 交AC于点O,连接OE。 因为CD∥AB,所以 DO OB= CD AB= 1 2= DE EP , 故OE∥PB。 又 因 为 OE⊂ 平 面 ACE,PB⊄平 面 ACE,所以PB∥平面ACE。 (2)(解法1)因为CD⊥AD,CD⊥PA, AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD。 因此,平面PAD⊥平面ABCD。 图7 以点 A 为 坐 标 原点,AB,AD 所在直 线分别为x 轴,y 轴, 建立如图7所示的空 间直角坐标系,则点 A(0,0,0),C(2,32, 0),D(0,32,0)。 不妨设 点 P(0,a,b)(b>0,0<a< 32),则DC→=(2,0,0),DP→=(0,a-32,b)。 设n=(x,y,z)是平面PCD 的一个法 向量,则: n·DC→=2x=0, n·DP→=(a-32)y+bz=0。 令y=b,则n=(0,b,32-a)。 易知 AC→ = (2,32,0)。由 题 意 得 sin 30°=|cos<AC→,n>|=|AC →·n| |AC→||n| = 32b 22· b2+(32-a)2 = 1 2 。 又|DP→|= (32-a)2+b2 =3 2,解 得b= 22 2 ,a= 2 2 。 所以PA= 0+ 22 2 2 + 2 2 2 = 6。 当PA= 6时,AC 与平面PCD 所成的 角为30°。 (解法2)同解法1,得CD⊥平面PAD, 所以平面PAD⊥平面ABCD。 图8 以点 D 为原点, DA,DC 所在直线分 别为x 轴,y 轴,建立 如图8所示的空间直 角坐标系。 则点D(0,0,0), A(3 2,0,0),C(0, 2,0)。 不妨设∠PDA=θ,则点 P(3 2cos θ, 0,32sin θ)。 故DC→=(0,2,0),DP→=(3 2cos θ,0, 32sin θ)。 设n=(x,y,z)是平面PCD 的一个法 向量,则: n·DC→=2y=0, n·DP→=32xcos θ+32zsin θ=0。 令x=sin θ,则n=(sin θ,0,-cos θ)。 易知 AC→= (-32,2,0),由 题 意 得 sin 30°=|cos<AC→,n>|=|AC →·n| |AC→||n| = 32sin θ 22 = 1 2 。 解得sin θ= 11 6 ,所以cos θ= 5 6 ,点 P 52 2 ,0, 22 2 。 故PA= 32- 52 2 2 +0+ 22 2 2 =6。 所以当PA= 6时,AC 与平面PCD 所 成的角为30°。 (责任编辑 徐利杰) 73 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年9月