11 利用空间向量求立体几何中的空间角-《中学生数理化》高二数学2024年9月刊

利用空间向量求立体几何中的空间角 ■河南省郑州龙湖一中 彭明辉 空间向量与立体几何是高中数学中一个 较为重要且具有一定难度的知识模块。空间 向量为解决立体几何问题提供了一种新的工 具和方法,通过引入空间向量,将几何问题转 化为代数运算,降低了思维和推理的难度,尤 其在求空间角(异面直线所成角、线面角、二 面角)方面具有显著优势。 一、求异面直线所成角 图1 例 1 如图1,已 知棱长为2的正方体 ABCD-A1B1C1D1, E,F,G 分别为 AB, CD1,AD 的 中 点,则 异面直线 A1G 与EF 所 成 角 的 余 弦 值 为 ( )。 A.0 B. 10 10 C. 2 2 D.1 图2 解析:如图2,分别 以DA,DC,DD1 所在 直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标 系。则 A1(2,0,2), G(1,0,0),E(2,1,0), F(0,1,1),所 以 A1G→=(-1,0,-2), EF→=(-2,0,1)。 设异面直线A1G 与EF 所成角为θ。 则cos θ= |A1G·EF→| |A1G→||EF→| = |-1×(-2)+(-2)×1| 5× 5 =0。 故选A。 点评:解异面直线的夹角问题一般都是 通过平移法,作辅助线,将异面直线夹角问题 转化为两条相交直线求夹角;当作辅助线较 为困难或易于建系时,可以选择向量法,把两 条异面直线的夹角问题转化为两条直线的方 向向量夹角问题,要特别注意的是方向向量 的夹角不一定是异面直线的夹角! 二、求线面角 图3 例 2 如 图3,AB 是☉O 的直径,动点 P 在 ☉O 所 在 平 面 上 的 射 影 恰 是 ☉O 上 的 动 点C,PC=AB =2,D 是 PA 的中 点,PO 与 BD 交于点E,F 是PC 上的一个动点。 (1)若CO∥平面BEF,求 PC FC 的值; (2)若F 为PC 的中点,BC=AC,求直 线CD 与平面BEF 所成角的余弦值。 解析:(1)因为 CO∥平 面 BEF,平 面 POC∩平面BEF=EF,CO⊂平面POC,所 以EF∥OC,故 PC FC= PO EO 。 因为D,O 分别为PA,BA 的中点,所以 点E 为△PAB 的重心,故 PO EO=3 ,PC FC=3 。 图4 (2)如图4所 示,建立空间直角 坐标系。 则 C (1,0, 0),P (1,0,2), A(0,1,0),O(0, 0,0),B(0,-1, 0)。 易知F(1,0, 1),E 13 ,0, 2 3 ,D 12,12,1 。 故 CD→ = -12, 1 2 ,1 , EF→ = 2 3 ,0, 1 3 ,BE→= 13,1,23 设平面BEF 的一个法向量为n=(x,y, z),则: 33 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年9月 EF→·n=0, BE→·n=0。 即 2 3x+ 1 3z=0 , 1 3x+y+ 2 3z=0 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 令x=1,则n=(1,1,-2)。 |cos <CD→,n>| = |CD →·n| |CD→||n| = - 1 2 ×1+12×1+1×(-2) 1+1+4× 1 4+ 1 4+1 = 2 3 。 设直线CD 与平面BEF 所成角为θ,则 sin θ= 2 3 ,cos θ= 5 3 。 所以直线CD 与平面BEF 所成角的余 弦值为 5 3 。 点评:通过建立空间直角坐标系,利用向 量法求角,降低了求解的难度。 需要特别注意的是直线(方向向量u)与 平面(其法向量为n)所成角θ,满足关系式 sin θ=|cos<u,n>|= |u·n| |u||n| 。 三、求二面角 图5 例 3 如图5,四 棱锥P-ABCD 的底面 是 矩 形,PD ⊥ 底 面 ABCD,PD=DC=1, M 为 BC 的 中 点,且 PB⊥AM。 (1)求BC 的值; (2)求二面角 A- PM-B 的余弦值。 解析:(1)因 为 PD⊥平 面 ABCD,且 AD⊂平面 ABCD,DC⊂平面 ABCD,所以 PD⊥AD,PD⊥DC。 图6 在矩形ABCD 中, AD⊥DC,故以点D 为 坐标原点建立空间直角 坐标系,如图6所示。 设 BC =t,则 A(t,0,0),B(t,1,0), M t2 ,1,0 ,P(0,0,1)。 所以 PB→ = (t,1,- 1),AM→ = - t 2 ,1,0 。 因为 PB ⊥AM,所 以 PB→ ·AM→ = - t2 2+1=0 。解得t= 2,故BC= 2。 (2)易知C(0,1,0),由(1)可得 AP→= (- 2,0,1),AM→ = - 22,1,0 ,MB→ = 2 2 ,0,0 ,PB→=(2,1,-1)。 设平面APM 的一个法向量为n1=(x1, y1,z1),则: n1·AP→=0, n1·AM→=0, 即 - 2x1+z1=0, - 2 2x1+y1=0 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 令x1= 2,则z1=2,y1=1。所以平面 APM 的一个法向量为n1=(2,1,2)。 设平面PMB 的一个法向量为n2=(x2, y2,z2),则: n2·MB→=0, n2·PB→=0, 即 2 2x2=0 , 2x2+y2-z2=0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 令y2=1,则x2=0,z2=1。所以平面 PMB 的一个法向量为n2=(0,1,1)。 设二面角A-PM-B 的平面角为θ,则: |cos θ|=|cos<n1,n2>|= |n1·n2| |n1||n2| = 3 7× 2 = 3 14 14 。 因为二面角A-PM-B 的平面角为锐角, 所以二面角A-PM-B 的余弦值为 3 14 14 。 点评:我们可以通过两个法向量的方向 判断二面角是锐角还是钝角。若法向量的方 向都是由二面角的内部指向外部,或者都是 由外部指向内部,则二面角的大小与法向量 夹角互补,此时cos θ=-cos<n1,n2>。若两 个法向量一个由二面角内部指向外部,另一 个由外部指向内部,则二面角的大小与法向 量夹角相等,此时cos θ=cos<n1,n2>。 (责任编辑 徐利杰) 43 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年9月