09 对课本中一道立体几何典型习题的探究-《中学生数理化》高二数学2024年9月刊

对课本中一道立体几何典型习题的探究 ■河南省滑县教师进修学校 申治国(正高级教师) 课本习题是教材专家精心挑选的,具有 一定的典型性,特别是具有多解性的问题,值 得大家深入探究。下面以人教 A版《选择性 必修第一册》第一章习题1.1第9题为例,说 明对课本典型习题探究的重要性。 图1 题目:如图1,在 四 面 体 OABC 中, OA⊥BC,OB⊥AC, 求证:OC⊥AB。 分析:四面体在 立体几何中的地位 类似于三角形在平 面几何中的地位,十 分重要。四面体有 6条棱,任意1条棱与另外4条棱相交,与1 条棱相对,共有3组对棱。本题用文字可以 叙述为:若四面体的两组对棱互相垂直,则第 三组对棱也一定互相垂直。 探究1 有哪些不同的证法呢? 从向量法和综合法两个不同的角度入 手,会得到以下不同的证法。 证法1(基向量法):把 OA→,OB→,OC→ 作 为空间的一个基底,则BC→=OC→-OB→,AC→= OC→-OA→。 由已知得 OA→⊥BC→,所以 OA→·BC→= OA→· OC→-OB→ =OA→·OC→-OA→·OB→= 0,可得OA→·OC→=OA→·OB→。 同理可得OB→·OC→=OA→·OB→。 故OB→·OC→=OA→·OB→=OA→·OC→。 从而 OC→·AB→=OC→· OB→-OA→ = OC→·OB→-OC→·OA→=0,故OC⊥AB。 证法2(棱长平方和法):易知 AB2+ OC2-AC2-OB2= OB→-OA→ 2+OC→2- OC→-OA→ 2-OB→2=OB→2+OA→2-2OB→· OA→+OC→2-OC→2-OA→2+2OC→·OA→-OB→2= 2OC→·OA→-2OB→·OA→=2OA→·BC→。 因为 OA⊥BC,所以 OA→·BC→=0,即 AB2+OC2=AC2+OB2。 同理,OB⊥AC⇔AB2+OC2=BC2+OA2。 从而 AC2+OB2=BC2+OA2,所 以 OC⊥AB。 图2 证 法 3(垂 心 法):如 图 2,取 △ABC 的垂心 H, 连 接 OH。 连 接 AH,BH,CH,并分 别延长交△ABC 的 各边于D,E,F。连 接OD,OE,OF。 因 OA ⊥BC, AD⊥BC,OA ∩AD =A,故 BC⊥ 平 面 OAD。 OH⊂平面OAD,故OH⊥BC。 同理,由OB⊥AC,可得OH⊥AC。 BC∩AC=C,可得OH⊥平面ABC,则 OH⊥AB。 又AB⊥CF,OH∩CF=H,故AB⊥平 面OCF。 又OC⊂平面OCF,故OC⊥AB。 图3 证法4(中位线 法):如图3,取四面 体OABC 的6条棱 的 中 点,A1A2 是 △OAB 的 中 位 线, 故 A1A2∥OA,且 A1A2= 1 2OA 。 同 理,A3A4 ∥ OA,且A3A4= 1 2OA 。 所以 A1A2􀰿A3A4,四边形 A1A2A3A4 是平行四边形。 又OA⊥BC,所以四边形A1A2A3A4 是 矩形,并且A1A3=A2A4。 同 理,由 OB ⊥ AC,可 得 四 边 形 A1A5A3A6 是矩形,并且A1A3=A5A6。 可得 A2A4=A5A6,故▱A2A5A4A6 是 矩形,则A2A5⊥A2A6,所以OC⊥AB。 以上4种证法揭示了解决已知问题的不 82 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年9月 同思路。实际上,任意四面体可以嵌入到平 行六面体中,四面体的对棱为平行六面体对 面的对角线,此时平行六面体称为四面体的 外接平行六面体,四面体称为平行六面体的 内接四面体。 图4 如图4,将 四面 体 OABC 嵌入到平行 六 面体中,由于对 角线互相垂 直 的平行四边 形 是菱形,可知左 右两个侧面和前后两个侧面均为菱形,易知 该平行六面体的所有棱长均相等,可得OC⊥ AB。 探究2 可以拓展得出哪些结论? 由探究1中不同证法的推导过程,不难 拓展出以下结论。 (1)OA⊥BC,OB⊥AC,OC⊥AB⇔ OA→·OB→=OB→·OC→=OC→·OA→,即等价于 四面体的任意顶点出发的三条棱对应的三个 以该顶点为起点的向量两两之间的数量积相 等。 (2)OA⊥BC,OB⊥AC,OC⊥AB⇔ OA2+BC2=OB2+AC2=OC2+AB2,即等 价于四面体的三组对棱的长的平方和相等。 (3)四面体的三组对棱互相垂直,等价于 四面体的任意顶点在所对面内的射影是该面 三角形的垂心。 (4)四面体的三组对棱互相垂直,等价于 四面体的外接平行六面体的棱长均相等。 化归与转化思想是数学的重要思想,通 过探究可以发现,四面体对棱之间的垂直关 系与涉及棱的相关运算之间可以进行不同形 式的转化,从而对“对棱垂直的四面体”的不 同性质有更加深刻的认识。 (责任编辑 徐利杰) 􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕 92 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年9月