07 2024年新高考1卷第17题解法剖析及学习建议-《中学生数理化》高二数学2024年9月刊

■河北省南宫中学 霍忠林 立体几何中空间角的计算是高考中的热 点内容之一。2024年新高考Ⅰ卷将立体几 何题放在第17题的位置,难度不小,有同学 采用坐标法求解,计算量较大,在考场上没算 出最终结果,还有同学即使算出正确结果,但 耗时过长。鉴于此,下面通过4种视角、6种 解法对2024年全国新高考Ⅰ卷第17题的第 二问进行剖析,并提供了一些学习建议,供同 学们参考。 图1 (2024年全国新高考 Ⅰ卷第17题)如图1,在 四 棱 锥 P-ABCD 中, PA⊥底面ABCD,PA= AC=2,BC=1,AB = 3。 (1)若 AD⊥PB,证 明:AD∥平面PBC; (2)若 AD⊥DC,且二面角 A-CP-D 的 正弦值为 42 7 ,求AD 的值。 解析:(1)因为PA⊥底面ABCD,AD⊂ 平面 ABCD,所以 AD⊥PA。因为 AD⊥ PB,PA∩PB=P,所以AD⊥平面PAB。 而AB⊂平面PAB,故AD⊥AB。 因为AC2=AB2+BC2,所以BC⊥AB。 因为AD⊂平面ABCD,BC⊂平面AB- CD,所以AD∥BC。 又因 为 AD ⊄ 平 面 PBC,BC⊂ 平 面 PBC,所以AD∥平面PBC。 (2)视角一:传统法 该视角是通过识别几何图形中的点、线、 面的位置关系,通过添加辅助线将空间角转 化为平面角,进而求得所要的结果。该视角 对同学们的逻辑推理能力要求较高。传统法 常与三垂线定理(或三垂线定理的逆定理、二 面角的定义)结合使用。 三垂线定理:平面内的一条直线,如果它 和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它 也和这条斜线垂直。 利用三垂线定理来找二面角的通常步骤 是:过一个半平面内的任意一点P(该点不在 两个半平面的交线l上,一般优先考虑特殊 点)向另一个半平面作垂线,不妨设垂足为 O,再过 O 点作 OH ⊥l,垂足 为 H,连 接 PH,则容易证明直线l⊥平面PHO,从而直 线l⊥PH,于是∠PHO 就是二面角的一个 平面角。 图2 解法1:如图2,在平 面 ABCD 内,作 DM ⊥ AC 于 M,在 平 面 PAC 中,作 MN⊥PC 于N,连 接DN。 因为PA⊥平面AB- CD,PA⊂平面 PAC,所 以平面PAC⊥平面 AB- CD。 平面 PAC∩平 面 ABCD=AC,所 以 DM⊥平面PAC。 而PC⊂平面PAC,故PC⊥DM。 因为 MN⊥PC,DM∩MN=M,所以 PC⊥平面DMN。 因为DN⊂平面DMN,所以PC⊥DN。 而PC⊥MN,故∠DNM 即为二面角A-CP- D 的一个平面角。 由 题 意 知 sin ∠DNM = 42 7 ,故 tan ∠DNM= 6,即 MD= 6MN。 设AM=a(0<a<2),因为 AD⊥DC, 91 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年9月 所以△AMD∽△DMC,△AMD∽△ADC。 故 AM DM = MD MC ,AD AC = AM AD ,即 MD = AM·MC = a(2-a), AD = AM·AC= 2a。 易知∠MCN=45°,PC⊥MN,故 MN= 2 2MC= 2 2 (2-a)。 由 MD= 6MN,得 a(2-a)= 6× 2 2 (2-a),解得a= 3 2 ,故AD= 2a= 3。 评注:本 解 法 利 用 三 垂 线 定 理,分 别 作 DM⊥AC,MN⊥PC,从 而 找 到 二 面 角 A- CP-D 的一个平面角∠DNM,最后通过三角 形相似求出最终结果。 三垂线定理的逆定理:平面内的一条直 线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么 它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。 利用三垂线定理的逆定理来找二面角的 步骤:过一个半平面内的任意一点P(该点不 在两个半平面的交线l上,一般优先考虑特殊 点)向另一个半平面作垂线,不妨设垂足为O, 再过P 点作PH⊥l,垂足为 H,连接OH,则 容易证明l⊥平面PHO,从而l⊥OH,于是 ∠PHO 就是二面角的一个平面角。 图3 解法2:如图3,在平 面PAD 内,作 AE⊥PD 于E。取 PC 的中点F, 连接 AF,EF,则 PC⊥ AF。 因为PA⊥底面AB- CD,CD⊂平面ABCD,所 以CD⊥PA。 而AD⊥DC,AD∩AP=A,故CD⊥平 面PAD。 AE ⊂ 平 面 PAD,故 AE ⊥CD。而 AE⊥PD,CD ∩PD =D,故 AE⊥ 平 面 PCD。 因为PC⊂平面PCD,所以PC⊥AE。 因为 PC⊥AF,AE∩AF=A,所 以 PC⊥平面AEF。 而 EF ⊂ 平 面 AEF,故 PC ⊥EF, ∠AFE 为二面角A-CP-D 的一个平面角。 又sin ∠AFE= 42 7 ,即AE= 42 7 AF = 42 7 × 2= 2 21 7 。设AD=t(0<t<2), 因为PA⊥AD,AE⊥PD,所以PA·AD= AE·PD,故AE= PA·AD PD = 2t t2+4 。 由 2t t2+4 = 2 21 7 ,得t=3,故AD=3。 评注:本解法利用三垂线定理的逆定理, 分别作 AE⊥PD,PC⊥AF,从而找到二面 角A-CP-D 的一个平面角∠AFE,最后通过 三角形面积相等求出最终结果。 图4 定义法就是在二面 角的棱上任取一点,过 该点分别在二面角的半 平面内作垂直于棱的两 条射 线,如 图 4 所 示, OA ⊥l,OB ⊥l,则 ∠AOB 就是二面角α-l-β的一个平面角。 图5 解法3:如图5,过F 在平面PCD 内作JF⊥ PC,交 CD 的 延 长 线 于 J,连接 AJ。因为 AF⊥ PC,所以∠AFJ 即为二 面角 A-CP-D 的一个平 面 角,则 sin∠AFJ = 42 7 ,从而tan ∠AFJ= 6。 因为PC⊥平面AFJ,AJ⊂平面AFJ, 所以AJ⊥PC。又因为PA⊥平面 ABCD, AJ⊂平面ABCD,所以AJ⊥PA。 而PA∩PC=A,故AJ⊥平面PAC。 因为AF⊂平面PAC,AC⊂平面PAC, 所以AJ⊥AF,AJ⊥AC,从而tan ∠AFJ= 6= AJ AF ,即AJ=23。 由△ADJ∽ △CAJ,得 AJ CJ = DJ AJ ,故 AJ2=CJ·DJ= AJ2+AC2·DJ=4DJ。 02 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年9月 而AJ=23,故DJ=3。 在Rt△ADJ中,AD= AJ2-DJ2=3。 评注:上述三种解法均是利用传统法来 处理二面角问题,不难发现解法3的计算量 最小,是最佳的处理方法。 视角二:射影面积法 已知平面α内一个多边形的面积为S1, 该多边形在平面β内射影图形的面积为S2, 若平面α 与平面β 所成的二面角为θ,则 cos θ= S2 S1 。 图6 解法4:如图6,设二 面 角 A-CP-D 为 θ,则 sin θ= 42 7 。由 解 法 1 知 DM ⊥平 面 PAC,故 cos θ= S△PMC S△PCD = 7 7 。 设AD=t(0<t< 2),由解法1知 AM= AD2 AC = t2 2 ,故 MC= 2-AM= 4-t2 2 。 从而S△PMC= 1 2MC ·PA= 1 2 ·4-t 2 2 · 2= 4-t2 2 。 由解 法1知 CD⊥PD,所 以 S△PCD = 1 2CD ·PD= 1 2 4-t 2· 4+t2。 故 S△PMC S△PCD = 1 2 (4-t2) 1 2 4-t 2· 4+t2 = 4-t2 4+t2 = 7 7 ,解得t= 3,即AD= 3。 评 注:因 为 DM ⊥ 平 面 PAC,所 以 △PCD 在平面PAC 上的射影组成的图形为 △PCM,从而cos θ= S△PMC S△PCD = 7 7 。另外,射 影面积法也是处理无棱二面角的一把利器。 视角三:等体积转化法 当其中一个半平面上的点(不是二面角 棱上的点)到二面角的棱的距离已知时,只需 求出该点到另一半平面的距离,就可以求出 二面角的正弦值,因此本视角不需要作出二 面角的平面角,只需求出该点到另一个半平 面的距离即可,求点到平面的距离常采用等 体积转化法来处理。 图7 解法5:如图7,由解 法 2 知,AF ⊥PC,且 AF= 2。设AD=t(0< t<2),A 到平面PCD 的 距离为h,二面角 A-CP- D 的大小为θ,则sin θ= 42 7 = h AF 。由 解 法 2 知,CD⊥平面 PAD,故VC-PAD = 1 3S△PAD · CD。 而VC-PAD =VP-ACD = 1 3S△ACD ·PA,故 S△PAD·CD =S△ACD ·PA,即 1 2t ·2· 4-t2= 1 2 4-t 2· 4+t2·h,也即h= 2t 4+t2 。 从而 42 7 = 2t 4+t2 2 ,解 得t= 3,故 AD= 3。 评注:因AF⊥PC,故只需求出点A 到平 面PCD 的距离h就可得到sin θ= h AF ,而h的 大小可以通过三棱锥的等体积转化来实现。 视角四:空间向量坐标法 该视角是通过建立空间直角坐标系,写 出点的坐标,进而求直线的方向向量或平面 的法向量来处理空间角问题,这种处理手段 不用作辅助线就能使问题得到解决,且解答 过程具有可操作性、可模仿性、机械化的特 点,因此受到同学们的偏爱。 但要注意:空间向量法并不是处理一切 立体几何问题的最优方法,空间坐标系建立 得是否合适,往往决定着计算是否烦琐,因此 在建立空间直角坐标系前,要思考“如何建系 12 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年9月 才能避开烦琐的计算”。 解法6:如图8,以 D 为坐标原点,建立 空间直角坐标系D-xyz,设DA=a(0<a< 2),DC=b(0<b<2)。 图8 因为AC=2,AD⊥CD,所以a2+b2= 4。故 D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,b,0), P(a,0,2)。 从而AP→=(0,0,2),CP→=(a,-b,2), DP→=(a,0,2)。 设平面APC 的一个法向量为m1=(x1, y1,z1),则: m1·AP→=0, m1·CP→=0, 即 2z1=0 , ax1-by1+2z1=0。 令x1=b,则m1=(b,a,0)。 设平面DPC 的一个法向量为m2=(x2, y2,z2),则: m2·DP→=0, m2·CP→=0, 即 ax2+2z2=0 , ax2-by2+2z2=0。 令x2=2,则m2=(2,0,-a)。 所以|cos<m1,m2>|= |m1·m2| |m1||m2| = 2b a2+b2 a2+4 = 1- 42 7 2 = 7 7 。 而a2+b2=4,b>0,故b= 4-a2。从 而 4-a2 a2+4 = 7 7 ,解得a= 3,故AD= 3。 评注:以 D 为坐标原点建系,还可以设 ∠DAC=θ(0<θ<90°),此时 AD=2cos θ, DC=2sin θ,再借助坐标法处理。此题还可 以A 或C 或AC 的中点为坐标原点建系,计 算过程也不复杂,有兴趣的同学可自行尝试。 但是以B 点为坐标原点建系来处理,计算过 程就比较复杂,很多同学考场上就是以B 点 为坐标原点建系来处理的,结果半途而 废。 实际上,在建系之前可以先观察各点的位置, 不难发现二面角 A-CP-D 本身与 B 是无关 的,因此可以避开以B 点为坐标原点建系。 学习建议 (1)传统法与坐标法,“两手都要抓,两手 都要硬”。传统法重在考查同学们的逻辑推 理能力和直观想象能力,对同学们的数学运 算要求不是太高,充分体现了“多一点想法, 少一点算法”。比如在处理空间角问题时,需 要先通过线面间的关系找出空间角,再将空 间角转化为平面角,最后借助平面图形的几 何关系(比如相似、全等)解决问题。坐标法 则重在考查同学们的数学运算能力,通过直 线的方向向量或平面的法向量来处理空间的 线面关系及空间角问题,尤其在处理空间角 问题时,可以不用找出空间角,直接利用向量 的坐标来处理,因此备受同学们的青睐。平 时练习中,多数试题都是以坐标法来处理的, 这可能导致很多同学误认为坐标法是处理立 体几何问题的最佳方法,甚至部分同学认为 处理立体几何问题只能用坐标法,这显然是 片面的。比如上述高考试题,虽然坐标法可 以处理,但是传统法明显占优,因此,在平时 学习中两种方法要齐头并进,不可偏重其一。 另外,利用坐标法处理时,以哪个点为坐标原 点需要综合考虑,不能盲目建系,从而导致计 算的烦琐。 (2)规范的符号语言和严谨的解题过程是 减少立体几何解答题失分的重要手段。很多 同学做立体几何解答题,感觉自己会做,结果 也算对了,但是最后得分却不是满分,一个重 要原因就是数学符号语言表述不规范。因此, 同学们在日常的学习中,符号的使用必须规 范,推导的过程必须有理有据,不能主观臆断, 尤其不能跳步。比如上述高考题的第一问中, 由AD⊥AB 和BC⊥AB,并不能得到 AD∥ BC,必须加上 AD⊂平面 ABCD,BC⊂平面 ABCD 才可以。现在新高考中,解答题的分值 增加,对解答题的步骤要求就更严格了,所以 同学们在平时学习时要格外重视。 (责任编辑 徐利杰) 22 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年9月