06 例谈空间直角坐标系的构建-《中学生数理化》高二数学2024年9月刊

■山东省枣庄市第二中学 李 琳 引入空间向量坐标运算,使立体几何问 题避免了传统方法中烦琐的分析运算过程, 只需建立空间直角坐标系便可轻松求解。要 建立恰当的坐标系是利用向量解题的第一 步,也是关键步骤之一。下面谈谈建系的原 则及常见模型,供同学们参考。 一、建立直角坐标系的原则 1.z轴的选取往往是比较容易的,依据 线面垂直的判定定理,即z 轴要与坐标平面 xOy 垂直,在几何体中也很直观,坐标原点即 为z轴与底面的交点。 2.x 轴,y 轴的选取对坐标是否易于写 出非常关键,下面几个原则值得参考。 (1)尽可能地让底面上更多的点位于x 轴,y 轴上; (2)因为x 轴,y 轴要相互垂直,所以要 利用好底面中的垂直条件; (3)要利用好对称关系,寻找底面上的点 是否存在轴对称。 3.同一个几何体可以有不同的建系方 法,其坐标也会对应不同,但是通过坐标运算 所得到的结论(位置关系,角)是一致的。 二、常见模型 1.墙角模型:已知条件中有过一点且两 两相互垂直的三条直线,就是墙角模型。 以该点为原点,分别以两两垂直的三条 直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标 系;当条件不明显时,要先证明过一点的三条 直线两两垂直(即一个线面垂直+底面内两 条直线垂直),然后建系。 2.垂面模型:已知条件中有一条直线垂 直于一个平面,此情形包括垂足在平面图形 的顶点处、垂足在平面图形的边上(多为中 点)和垂足在平面图形内部三种情况。 第一种建系方法以垂足为坐标原点,垂线 的向上方向为z轴的正方向,平面图形的一边 图1 为x轴或y轴,在平面图 形中,过原点作x 轴或y 轴的垂线,对应为y 轴或 x轴(其中很多题目是连 接垂足与平面图形的另 一顶点),建立空间直角 坐标系,如图1。 图2 第二种建系方法以 垂足为坐标原点,垂线的 向上方向为z 轴的正方 向,垂足所在的一边为x 轴或y 轴,在 平 面 图 形 中,过原点作x 轴或y 轴 的垂线,对应为y 轴或x 轴(其中很多题目是 连接垂足与平面图形的另一顶点),建立空间 直角坐标系,如图2。 图3 第三种建系方法以垂 足为坐标原点,垂线的向上 方向为z轴的正方向,连接 垂足与平面图形的一顶点 所在直线为x轴或y轴,在 平面图形中,过原点作x 轴 或y轴的垂线,对应为y轴或x 轴(其中很多 题目是连接垂足与平面图形的另一顶点),建 立空间直角坐标系,如图3。 图4 三、常考题型 例 1 (2023年全国 高考新课标Ⅰ卷)如图4,在 正 四 棱 柱 ABCD- A1B1C1D1 中,AB = 2, AA1=4。点A2,B2,C2,D2 分别在棱 AA1,BB1,CC1, DD1 上,AA2=1,BB2= DD2=2,CC2=3。 (1)证明:B2C2∥A2D2; (2)点 P 在 棱 BB1 上,当 二 面 角 P- 61 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年9月 A2C2-D2 为150°时,求B2P 的值。 分析:(1)建立空间直角坐标系,利用向 量坐标相等证明两条直线相互平行; (2)设P(0,2,λ)(0≤λ≤4),利用向量法 求二面角,建立方程求出λ即可得解。 图5 解:(1)以C 为坐标 原点,CD,CB,CC1 所在 直线为x,y,z 轴,建立 空间直角坐标 系,如 图 5。则C(0,0,0),C2(0, 0,3),B2(0,2,2),D2(2, 0,2),A2(2,2,1)。 故B2C2→=(0,-2, 1),A2D2→=(0,-2,1), 即B2C2→=A2D2→。 又因为B2C2,A2D2 不在同一条直线上, 所以B2C2∥A2D2。 (2)设P(0,2,λ)(0≤λ≤4),则A2C2→= (-2,-2,2),PC2→=(0,-2,3-λ),D2C2→= (-2,0,1)。 设n=(x,y,z)为平面PA2C2 的一个法 向量,则 n·A2C2→=-2x-2y+2z=0, n·PC2→=-2y+(3-λ)z=0。 令z=2,得y=3-λ,x=λ-1,则n= (λ-1,3-λ,2)。 设平面 A2C2D2 的一个法向量为 m= (a,b,c),则 m·A2C2→=-2a-2b+2c=0, m·D2C2→=-2a+c=0。 令a=1,得b=1,c=2,则m=(1,1,2)。 故 |cos <n,m >| = |n·m| |n||m| = 6 6× 4+(λ-1)2+(3-λ)2 =|cos 150°|= 3 2 。 化简可得λ2-4λ+3=0,解得λ=1或 λ=3。 故P(0,2,1)或P(0,2,3),B2P=1。 点评:本题考查了立体几何中的线线关系 和二面角的求解问题,意在考查同学们的空间 想象能力和逻辑推理能力。立体几何中角的 计算问题,往往可以利用空间向量法,先求出 平面的法向量,再利用向量的夹角公式求解。 图6 例 2 (2023 年全国 高 考 新 课 标Ⅱ卷)如图6,在 三 棱 锥 A-BCD 中,DA =DB = DC,BD ⊥ CD, ∠ADB=∠ADC =60°,E 为BC 的中点。 (1)证明:BC⊥DA; (2)点 F 满足EF→=DA→,求二面角 D- AB-F 的正弦值。 分析:(1)根 据 题 意 易 证 BC⊥ 平 面 ADE,从而证得BC⊥DA; (2)由题意可证AE⊥平面BCD,以点E 为原点,ED,EB,EA 所在直线分别为x,y, z轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面 ABD,平面ABF 的一个法向量,根据二面角 的向量公式及同角三角函数关系即可解出。 解:(1)如图6,连接AE,DE。因为E 为 BC 的中点,且DB=DC,所以DE⊥BC。① 因为DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC= 60°,所以△ACD 与△ABD 均为等边三角形。 故AC=AB,从而AE⊥BC。② 由①②知,AE∩DE=E,AE⊂平面 ADE,DE⊂平面ADE,故BC⊥平面ADE。 因为AD⊂平面ADE,所以BC⊥DA。 (2)不妨设 DA=DB=DC=2。因为 BD⊥CD,所以BC=22,DE=AE= 2。 而AE2+DE2=4=AD2,故AE⊥DE。 又AE⊥BC,DE∩BC=E,DE⊂平面 BCD,BC⊂平面BCD,故AE⊥平面BCD。 图7 以点E 为原点, ED,EB,EA 所在直线 分别为x,y,z轴,建立 空间直角坐标系,如图 7所示。 则D(2,0,0), A(0,0,2),B(0,2,0),E(0,0,0)。 易知AB→=(0,2,- 2)。 设平面DAB 的一个法向量为n1=(x1, y1,z1),平面ABF 的一个法向量为n2=(x2, 71 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年9月 y2,z2),二面角D-AB-F 的平面角为θ。 因为 EF→=DA→=(- 2,0,2),所以 F(- 2,0,2),即AF→=(- 2,0,0)。 故 - 2x1+ 2z1=0, 2y1- 2z1=0。 取x1=1,则n1=(1,1,1)。 同理, 2y2- 2z2=0, - 2x2=0。 取y2=1,则n2=(0,1,1)。 因此,|cos θ|= |n1·n2| |n1||n2| = 2 3× 2 = 6 3 ,从而sin θ= 1- 6 9= 3 3 。 所以二面角D-AB-F 的正弦值为 3 3 。 点评:立体几何是高考解答题的必考题 型之一,第一问一般可通过传统法解决,常考 平行或垂直关系,以及体积、表面积问题;第 二问一般通过建系解决,常涉及线面角、二面 角的求解,或者已知线面角、二面角求参数, 其中法向量是考查的重点。 图形中没有互相垂直且交于一点的三条 直线,但有两个互相垂直的平面,可以利用面 面垂直的性质定理,作出互相垂直且交于一 点的三条直线,从而建立直角坐标系。 图8 例 3 (2021年 全国高考新课标Ⅱ卷) 如图8,在四棱锥 Q- ABCD 中,底 面 AB- CD 是正方形,且 AD =2,QD=QA= 5, QC=3。 (1)证 明:平 面 QAD⊥平面ABCD; (2)求二面角B-QD-A 的余弦值。 分析:(1)设AD 的中点为O,连接QO, CO,可证 QO⊥平面 ABCD,从而得到平面 QAD⊥平面ABCD。 (2)在平面ABCD 内,过O 作OT∥CD, 交BC 于T,则OT⊥AD,建立如图9所示的 空间直角坐标系,先求出平面 QAD、平面 BQD 的法向量,再求二面角的余弦值。 解:(1)设AD 的中点为O,连接QO,CO。 因为QA=QD,OA=OD,所以QO⊥AD。 而AD=2,QA=5,故QO= 5-1=2。 在正方形ABCD 中,AD=2,故DO=1,则 CO=5。 因为 QC=3,QC2=QO2+OC2,所以 △QOC 为直角三角形,且QO⊥OC。 因为 OC∩AD=O,所 以 QO⊥平 面 ABCD。 因为QO⊂平面QAD,所以平面QAD⊥ 平面ABCD。 (2)在平面ABCD 内,过O 作OT∥CD, 交BC 于T,则OT⊥AD。 图9 结 合 (1)中 的 QO⊥ 平 面 ABCD, 故可建立如图9所示 的空间直角坐标系。 则 D(0,1,0), Q(0,0,2),B(2,-1, 0),故BQ→=(-2,1, 2),BD→=(-2,2,0)。 设平面 QBD 的 一个法向量为n=(x,y,z)。 则 n·BQ→=0, n·BD→=0, 即 -2x+y+2z=0,-2x+2y=0。 取 x=1,则y=1,z= 1 2 ,故n= 1,1, 1 2 。 易知平面 QAD 的一个法向量为 m= (1,0,0),故cos<m,n>= 1 1× 3 2 = 2 3 。 二面角B-QD-A 的平面角为锐角,其余 弦值为 2 3 。 点评:本题考查线面位置关系的证明及 二面角的计算,也考查了直观想象及逻辑推 理等核心素养。 立体几何解答题在高考中的 难度一般低于解析几何题,属于得分题,第一 问一般为线面位置关系的证明,书写时要注 意步骤的规范,第二问一般用空间向量求空 间角,计算失误是失分的主要原因。 (责任编辑 徐利杰) 81 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年9月