02 一题三类通法，透彻理解二面角问题-《中学生数理化》高二数学2024年9月刊

一题三类通法,透彻理解二面角问题 ■河南省南召县第一高级中学 崔丽力 ■河南省南阳市教育科学研究中心 崔 乐 二面角是从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形。有关二面角大小的考查是当 前新高考的重点也是难点,其综合性较强、方 法灵活,它能有效地培养同学们的空间想象、 逻辑推理、运算求解等能力。下面以2024年 新高考全国Ⅰ卷第17题为例,引入三类通 法,详细叙述具体步骤,希望对同学们解题的 探索性、灵活性、独创性带来启示。 图1 例 (2024年新高考 全国Ⅰ卷第17题)如图1, 在 四 棱 锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD,PA= AC=2,BC=1,AB= 3。 (1)若 AD⊥PB,证 明:AD∥平面PBC; (2)若AD⊥DC,且二 面角A-CP-D 的正弦值为 42 7 ,求AD 的值。 解析:(1)因为PA⊥平面ABCD,AD⊂ 平面ABCD,所以PA⊥AD。 AD⊥PB,PB∩PA=P,PB⊂平 面 PAB,PA⊂平面PAB,故AD⊥平面PAB。 又AB⊂平面PAB,故AD⊥AB。 由题中数据知,BC2+AB2=AC2,所以 BC⊥AB。故在底面ABCD 中,AD∥BC。 因为AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC, 所以AD∥平面PBC。 注:第一问是中规中矩地证明线面平行。 下面重点阐述第二问与二面角有关的命题, 并以三类通法去解决。 (2)空间向量法 向量法解立体几何问题是一种十分简捷 的办法,充斥着“暴力”美学。它只需要建好坐 标系,找准点的坐标,然后将图中对应线段写 成用 坐 标 表 示 的 向 量,利 用cos <a,b>= a·b a b 计算出法向量夹角,同时解决了二面 角问题。但有时运算量过大,不少题还要求两 次平面的法向量,这就要求同学们在面对问题 时应灵活对待。 图2 以 D 为 坐 标 原 点, DA,DC 所在直线分别为 x 轴,y 轴,过点 D 作与 平面ABCD 垂直的直线 为z 轴,建立如图2所示 的空间直角坐标系。注: 建空间直角坐标系一般 以水平面上已有的相互 垂直的线段为x 轴,y 轴为最佳。 设DA=m,DC=n,其中m2+n2=4,则 A(m,0,0),C(0,n,0),P(m,0,2),所以AP→= (0,0,2),CP→=(m,-n,2),DC→=(0,n,0)。 设平面 APC 的一个法向量为u=(x1, y1,z1),则 2z1=0, mx1-ny1+2z1=0。 令x1=n,则 y1=m,所以u=(n,m,0)。 设平面DPC 的一个法向量为v=(x2, y2,z2),同理得v=(2,0,-m)。 由二面角A-CP-D 为锐二面角,且正弦 值 为 42 7 ,得 余 弦 值 为 7 7 ,所 以 7 7 = cos <u,v> = 2n m2+n2 4+m2 ,解 得 m= 3,即AD= 3。 注:转化为余弦的目的是更好地利用向 量去解决问题。立体几何问题用空间向量求 解的过程思考量小,容易套用模型,但也丧失 了立体几何求解的乐趣, 无形中也削弱了同 学们的空间想象能力。这是空间向量求解的 巨大优点, 也是缺点。若用二面角所定义的 几何法,则能较多地锻炼同学们的空间想象 能力, 方法上也更灵活一些。 定义几何法 根据定义,二面角的平面角是建立在两 个半平面的基础上,是一个张角概念。衡量 张角的角度,无论是所谓的三垂线法还是垂 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年9月 面法,其本质都是定义法,都能在辅助线的基 础上找到该二面角的平面角,这是利用几何 法解决问题的基础。 根据题意,二面角A-CP-D 的正弦值已 给定,这样就约束了几何图形的相对位置关 系,而如何利用这个正弦值是解题的关键。 事实上,由于平面ACD 与平面PAD 分别与 二面角A-CP-D 的两个半平面垂直(即三棱 锥P-ACD 构成了一个“鳖臑”模型),则过垂 直平面内一点向半平面引垂线,自然与二面 角的几何定义产生了充分的联系,于是有如 下两种辅助线的做法。 图3 (方法一) 如图3所 示,过点 D 作DE⊥AC 于 E,过点 E 作EF⊥CP 于 F,连接DF。 因为 PA⊥平面 AB- CD,所以平面PAC⊥平面 ABCD。而平面 PAC∩平 面 ABCD = AC,所 以 DE⊥平面PAC。 又EF⊥CP,故CP⊥平面DEF。 根据二面角的定义可知,∠DFE 即为二面 角A-CP-D 的平面角,即sin ∠DFE= 42 7 ,故 tan ∠DFE=6。(给出了∠DFE 的正弦值,就 相当于给出了∠DFE 的大小,虽然不是特殊角, 但是该角的余弦、正切均可以选择性使用了。) 不妨设EF=x,则 DE= 6x。在等腰 △EFC 中,易 得 EC = 2x。 于 是 在 Rt△DEC 中,可 得 ∠DCE = 60°。 在 Rt△ADC 中,sin ∠ACD= AD AC=sin 60°= 3 2 ,所以AD= 3。 (方 法 二) 易 证 平 面 PAD ⊥ 平 面 PCD。过点A 作AM⊥PD 于M,取PC 的 中点N,连接 MN,AN,如图4所示。 在等腰△PAC 中,AN⊥PC,AN 在平面 PCD 内 的 射 影 为 MN,所 以 PC⊥MN,即 ∠ANM 为二面角A-CP-D 的平面角。 设AD=t,在Rt△PAD 中,可得AM= 图4 2t 4+t2 。在Rt△PAC 中, AN = 1 2 PC = 2 。 故 sin ∠ANM= AM AN = 2t 4+t2 2 = 42 7 ,解 得t= AD= 3。 注:以上两种方法本质是一样的,都是先 在其中一个半平面的垂面内引垂线,进而找到 平面角,再利用相应的等量关系去解三角形。 这是传统方法“一作、二证、三计算”在高考题 中的再体现,实践中哪个方法更便利需要具体 问题具体分析。该例的两种方法都比较简便。 射影面积法 图5 射影面积法在求 某些无棱的二面角问 题时更凸显优势。用θ 表示二面角的大小,其 结论是cos θ= S射影 S原 ,如 图6 图5、图6所示的两种情况 都非常适用。由于其原理 的通用性,该例亦可使用, 过程如下。 如图3所示,设∠ACD =θ(0<θ<π)。则 在 Rt△ADC中,AD=2sin θ, CD=2cos θ。 在Rt△CED 中,CE=2cos2 θ。 在Rt△PAD 中,PD= 4+4sin2 θ= 2 1+sin2 θ。 二面角A-CP-D 的正弦值为 42 7 ,则余 弦 值 为 7 7 ,从 而 S△PCE S△PCD = CE·PA PD·CD = 2cos2 θ×2 2 1+sin2 θ×2cos θ = cos θ 1+sin2 θ = 7 7 ,解 得sin θ= 3 2 ,故AD=2sin θ= 3。 (下转第12页) 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年9月 图7 图8 􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕 (上接第6页) 注:凡二面角问题中含有可求原图形面 积和该图形在另一个半平面上射影图形面积 的,都可利用射影面积公式求出二面角的大 小,具体数量关系复杂的时候可以引入三角 函数来简化计算过程。 巩 固 练 习:(2021 年新高考全国Ⅰ卷第20 题)如图7,在三棱锥A- BCD 中,平面 ABD⊥ 平面BCD,AB=AD,O 为BD 的中点。 (1)证明:OA⊥CD; (2)若△OCD 是边长为1的等边三角形,点 E 在棱AD 上,DE=2EA,且二面角E-BC-D 的大小为45°,求三棱锥A-BCD 的体积。 提示:(1)略。 (2)如图8所示,过点E 作EN∥AO 交 BD 于N,过点 N 作NM∥CD 交BC 于M, 连接 ME,则可得EN⊥平面BCD。 由OB=OD=OC 可得,△BCD 为 直 角 三 角 形。从 而 可 得 ∠EMN 为所求的二面 角E-BC-D 的平面角, 即∠EMN=45°,可得 MN=EN。再结合平 行关系和△OCD 是边长为1的等边三角形, 可求出三棱锥的体积。 总结:高中数学重点在培养同学们的思维 能力、数学核心素养,这是高考评价体系中所 述的“多停下来想一想,多些思考,少些计算” 的鲜明要求,也是新高考试题的明显导向。而 一题多解能激发同学们自主思考,并逐步提升 分析问题、解决问题的能力,进而提升创新思 维,最终促进创新能力的发展。 (责任编辑 赵 倩) 21 演练篇 名校名师创新卷 高二数学 2024年9月