22 一元二次函数、方程和不等式常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■陶 晖 题型1:不等关系的建立 利用不等式表示实际问题中的不等关系 时,先通过审题,设出未知量,找出其中的不 等关系,再将不等关系用不等式表示即可。 例1 铁路乘车行李规定如下:乘动车 组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超 过 Mcm。设携带品外部尺寸长、宽、高分别 为a、b、c(单位:cm),这个规定用数学关系式 可表示为( )。 A.a+b+c≤M B.a+b+c>M C.a+b+c≥M D.a+b+c<M 解:因为长、宽、高之和不超过 Mcm,又 长、宽、高分别为a、b、c,所以a+b+c≤M。 应选A。 跟踪训练1:下列四个结论,其中不正确 的是( )。 ①用不等式表示某厂最低月生活费a元 不低于300元,为a≥300;②完成一项装修 工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需 付工资每人400元,现有工资预算20000元, 设木工x 人,瓦工y 人,则满足的关系式是 5x+4y<200;③设 M=x2+3,N=3x,则 M 与N 的大小关系为M>N;④若x≠-2 且y≠1,则M=x2+y2+4x-2y 的值与-5 的大小关系是 M>-5。 A.① B.② C.③ D.④ 提示:对于①,最低月生活费a元不低于 300元,即a≥300,①正确。对于②,由500x +400y≤20000,可得5x+4y≤200,②错 误。对 于 ③,由 M -N =x2+3-3x= x- 3 2 2 + 3 4>0 ,可得 M>N,③正确。对 于④,因为x≠-2且y≠1,所以 M-(-5) =x2+y2+4x-2y+5=(x+2)2+(y-1)2 >0,即 M>-5,④正确。应选B。 题型2:利用作差法比较大小 作差法比较大小的一般步骤:作差→变 形→定号→结论。其中变形的五种方法:因 式分解,配方,通分,分母或分子有理化,分类 讨论。 例2 已知a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,则a,b,c的大小关系为( )。 A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 解:已知a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,由a-b= 2+ 3- 7,且(2+ 3)2= 5+26>7,可得a>b。由a-c=2 2- 6,且(22)2=8>6,可得a>c。由b-c= (7+ 2)-(6+ 3),且(6+ 3)2=9+ 2 18>9+2 14=(7+ 2)2,可得c>b。 所以a>c>b。应选B。 跟踪训练2:已知a<b,x=a3-b,y= a2b-a,则x,y 的大小关系为( )。 A.x>y B.x<y C.x=y D.无法确定 提示:因为x-y=a3-b-a2b+a=a2· (a-b)+(a-b)=(a-b)(a2+1),且a<b, 所以a-b<0。又a2+1>0,所以x-y= (a-b)(a2+1)<0,所以x<y。应选B。 题型3:不等式的证明问题 证明不等式的关键是不等式性质的灵活 应用。应用不等式的性质证明不等式,应注 意不等式的性质成立的条件,注意不可省略 条件,不能随意构造性质与法则。利用基本 不等式证明不等式,关键是所证不等式中必 须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为 “积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩 的效果。 例3 (1)证明: a b + b a ≥ a+ b。 (2)已知a>0,b>0,且a+b=1,求证: 1+ 1 a 1+1b ≥9。 54 经典题突破方法 高一数学 2024年9月 证明:(1)欲证 a b + b a ≥ a+ b,只需证 明a a+bb≥ ab(a+ b),即(a+b- ab)(a+ b)≥ ab(a+ b),所以a+ b- ab≥ ab,可 得 a+b≥2 ab,即 (a- b)2≥0显然成立,所以 a b + b a ≥ a+ b。 (2)因为a>0,b>0,且a+b=1,所以 1+ 1 a 1+1b = 1+a+ba 1+a+bb = 2+ b a 2+ab =4+2ab +2ba +ba ·ab = 5+ 2b a+ 2a b ≥5+2 2b a ·2a b =5+4=9 ,当 且仅当 2b a= 2a b ,即a=b= 1 2 时取等号。故原 题得证。 跟踪训练3:(1)已知a>1,求证:a+1 + a-1<2a。 (2)已知a,b∈R+,设 x= ab,y= a2+b2 2 。求证:xy≥ab,x+y≤a+b。 提示:(1)要 证 明 a+1+ a-1< 22,只需证明a+1+a-1+2 a2-1< 4a,即 a2-1<a,也即a2-1<a2,所以-1 <0显然成立,所以 a+1+ a-1<2a。 (2)因 为 a,b∈R+,x= ab,y= a2+b2 2 ,所 以 xy= ab · a2+b2 2 ≥ ab· ab=ab,当且仅当a=b时取等号, 所以xy≥ab。 由a,b∈R+,结合题设得x+y= ab + a2+b2 2 ,所以(a+b)2-(x+y)2=(a+ b)2 - ab+ a2+b2 2 +2 ab · a 2+b2 2 = (a+b)2 2 - 2 2ab(a2+b2) 2 。而(a+b)4- (a-b)4=8ab(a2+b2),所以(a+b)4- 8ab(a2+b2)=(a-b)4≥0,所以(a+b)2≥ 2 2ab(a2+b2),所以(a+b)2-(x+y)2≥ 0,所以a+b≥x+y。 题型4:利用不等式的性质求取值范围 问题 同向不等式具有可加性与可乘性,但是 不能相减或相除。解答这类问题,可利用所 给条件进行适当变形求取值范围,但要注意 变形的等价性。 例4 已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2, 求4a-2b的取值范围。 解:令4a-2b=x(a+b)+y(a-b),则 4a-2b= (x+y)a+ (x-y)b,所 以 x+y=4, x-y=-2, 解得 x=1 , y=3。 因为1≤a+b≤4, -3≤3(a-b)≤6,所以-2≤4a-2b≤10。 跟踪训练4:已知12<a<60,15<b< 36,求a-b及 a b 的取值范围。 提示:因为15<b<36,所以-36<-b <-15,所以12-36<a-b<60-15,所以 -24<a-b<45。 因为 1 36< 1 b< 1 15 ,所以12 36< a b< 60 15 ,所 以 1 3< a b<4 。 题型5:利用基本不等式求最值 求和式的最小值,通常化(或利用)积为 定值,求积式的最大值,通常化(或利用)和为 定值,其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或 配凑因式。多次使用基本不等式,要注意等 号成立的条件应相同。 例5 已知a>1,则a+ 4 a-1 的最小值 是( )。 A.5 B.6 C.32 D.22 解:因为a>1,所以a+ 4 a-1=a-1+ 4 a-1+1≥2 (a-1)· 4 a-1+1=5 ,当且仅 当a-1= 4 a-1 ,即a=3时取等号。应选A。 跟踪训练5:若正实数y 满足2x+y= 64 经典题突破方法 高一数学 2024年9月 9,则- 1 x- 4 y 的最大值是 。 提示:正实数y 满足2x+y=9,所以 - 1 x- 4 y = - 1 9 1 x+ 4 y (2x +y)= - 1 9 6+ 8x y+ y x ≤-19 6+2 8xy·yx = - 6+42 9 ,当且仅当8x y =yx 时取等号,所以 - 1 x- 4 y 的最大值是- 6+42 9 。 题型6:含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式需要注意三 点:若二次项系数含有参数,则需对二次项系 数大于0、等于0与小于0进行讨论;若求对 应一元二次方程的根需用公式,则应对判别 式Δ 进行讨论;若求出的根中含有参数,则应 对两根的大小进行讨论。 例6 当a≤0时,解关于x 的不等式 ax2+(1-2a)x-2≥0。 解:由ax2+(1-2a)x-2≥0,可得 (ax+1)(x-2)≥0。因为二次项系数含参 数,所以进行如下讨论: ①当a=0时,原不等式可化为x-2≥ 0,解得x≥2。 ②当a<0时,不等式为(ax+1)(x-2) ≥0,可得对应方程(ax+1)(x-2)=0的两 根分别为x1=- 1 a ,x2=2。当a=- 1 2 时, 可得x=2;当- 1 2<a<0 时,由- 1 a>2 ,可 得2≤x≤- 1 a ;当a<- 1 2 时,由- 1 a<2 ,可 得- 1 a≤x≤2 。 综上所述,当a=0时,解集为{x|x≥ 2};当a=- 1 2 时,解集为{x|x=2};当 - 1 2<a<0 时,解集为 x 2≤x≤- 1 a ;当 a<- 1 2 时,解集为 x - 1 a≤x≤2 。 跟踪训练6:解关于x 的不等式6x2+ ax-a2<0。 提示:原不等式可化为(2x+a)(3x- a)<0。当a>0时,由- a 2< a 3 ,可得- a 2< x< a 3 ;当a<0时,由 a 3<- a 2 ,可得a 3<x <- a 2 ;当a=0时,无解。综上所述,当a> 0时,原不等式的解集为 x - a 2<x< a 3 ; 当a=0时,原不等式的解集为⌀;当a<0 时,原不等式的解集为 x a 3<x<- a 2 。 题型7:三个“二次”关系的应用 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0) 的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+ c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c的图像 与x 轴交点的横坐标。二次函数y=ax2+ bx+c的图像在x 轴上方的部分,是由满足 不等式ax2+bx+c>0的x 的值构成的,图 像在 x 轴 下 方 的 部 分,是 由 满 足 不 等 式 ax2+bx+c<0的x 的值构成的。三者之间 相互依存、相互转化。 例7 已知不等式ax2+bx-2<0的解 集为{x|-1<x<2},则不等式ax2+(b- 1)x-3>0的解集为( )。 A.R B.⌀ C.{x|-1<x<3} D.{x|x<-1或x>3} 解:因为不等式ax2+bx-2<0的解集 为{x|-1<x<2},所以x=-1或x=2是 方程 ax2 +bx-2=0 的 两 个 根,所 以 -1+2=- b a , -1×2= -2 a , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a=1,b=-1,所以不 等式ax2+(b-1)x-3=x2-2x-3>0的 解集为{x|x>3或x<-1}。应选D。 跟踪训练7:若不等式ax2+bx+2>0 的解集是 x - 1 2<x< 1 3 ,则ax+b>0的 解集为 。 提示:不等式ax2+bx+2>0的解集是 x - 1 2<x< 1 3 。由对应方程,再结合韦 74 经典题突破方法 高一数学 2024年9月 达 定 理 得 - 1 2+ 1 3=- b a , - 1 2 ×13=2a, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解 得 a=-12, b=-2, 所以ax+b=-12x-2>0的解 集为 -∞,- 1 6 。 题型8:一元二次不等式恒成立和存在 性问题 不等式对任意实数x 恒成立,就是不等 式的解集为R。对于一元二次不等式ax2+ bx+c>0,若 解 集 为 R,则 满 足 条 件 a>0, Δ=b2-4ac<0; 一 元 二 次 不 等 式 ax2 + bx+c≥0,若 解 集 为 R,则 满 足 条 件 a>0, Δ=b2-4ac≤0; 一 元 二 次 不 等 式 ax2 + bx+c>0,若解集为⌀,则满足条件 a<0, Δ≤0。 例8 已知关于x 的不等式kx2-6kx+ k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范 围是 。 解:当k=0时,由kx2-6kx+k+8≥0, 可得8≥0恒成立;当k<0时,kx2-6kx+ k+8≥0不能恒成立;当k>0时,要使不等 式kx2-6kx+k+8≥0恒成立,需满足Δ= 36k2-4(k2+8k)≤0,解得0≤k≤1。综上 可得,0≤k≤1。 跟踪训练8:关于x 的不等式x2+ax- 2<0在区间[1,4]上有解,则实数a 的取值 范围为 。 提示:关于x 的不等式x2+ax-2<0 在区间[1,4]上有解,等价于a< 2x-x max, x∈[1,4]。设函数f(x)= 2 x-x ,x∈[1, 4],则f(x)在x∈[1,4]上单调递减,且当 x=1时,函数f(x)取得最大值f(1)=1,所 以a<1,即实数a的取值范围是(-∞,1)。 题型9:一元二次不等式的实际应用 一元二次不等式的应用问题常以二次函 数为模型,解题时要弄清题意,准确找出其中 的不等关系,再利用一元二次不等式求解,最 后要注意变量具有的“实际含义”。 例9 汽车在行驶过程中,由于惯性作 用,刹车后还要继续滑行一段距离才能停住, 我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是 分析事故的一个主要因素。在一个限速为 40km/h的弯道上,甲、乙两车相向而行,发 现情况不对同时刹车,但还是相撞了。事后 现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车 的刹车距离略超过10m。已知甲、乙两种车 型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分 别有如 下 关 系s甲 =0.1x+0.01x2,s乙 = 0.05x+0.005x2,则交通事故的主要责任方 是 (填“甲”或“乙”)。 解:由题意得0.1x+0.01x2>12,解得 x<-40或x>30。因为x>0,所以x甲> 30。同理0.05x+0.005x2>10,解得x< -50或x>40。因为x>0,所以x乙>40。 因为x甲>30,x乙>40,所以乙车超过限速, 应负主要责任。 跟踪训练9:某辆汽车以xkm/h的速度 在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行 车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗 (所需要的汽油量)为1 5 x-k+ 4500 x L,其 中k 为常数。若汽车以120km/h的速度行 驶时,每小时的油耗为11.5L,则k= , 欲使每小时的油耗不超过9L,则速度x 的取 值范围为 。 提示:记每小时的油耗为y。根据题意 得y= 1 5 x-k+ 4500 x 。当 x=120时, y=11.5,所 以 y= 1 5 120-k+ 4500 120 = 11.5,解得k=100。 由k=100,可得y= 1 5 x-100+ 4500 x 。 当y≤9时,可得 1 5 x-100+ 4500 x ≤9,解 得45≤x≤100。因为60≤x≤120,所以x 的取值范围为[60,100]。 作者单位:江苏省天一中学 (责任编辑 郭正华) 84 经典题突破方法 高一数学 2024年9月