第07讲 抛物线及其性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线核心考点，涵盖定义、标准方程、几何性质、直线与抛物线位置关系等11类题型，按知识解构-题型破译-方法归纳的逻辑架构系统梳理，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节帮助学生构建知识网络，突破焦点准线、焦半径、最值问题等难点。 资料采用分层教学策略，基础题型配变式训练，综合题型结合方法技巧（如焦半径公式、轨迹方程定义法），融入数学思维与数学语言培养，如实际应用题（抛物线拱桥）引导学生用数学眼光抽象模型，真题溯源环节助力教师精准把握考向，高效提升学生解题能力与应考素养。

画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第07讲抛物线及其性质 内容导航 命题透视考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 思维建模•脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 知迟解构 知识精讲•靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识，点1抛物线的定义 知识点2抛物线的标准方程与几何性质 题型破译（含超链接） 题型1抛物线的定义及应用重 题型2抛物线的标准方程重 题型3抛物线的焦点坐标及准线方程 题型4抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型5抛物线的轨迹方程 【方法技巧】求抛物线轨迹方程的方法 题型6抛物线的焦半径问题 【方法技巧】 抛物线焦半径问题的解题技巧 题型7抛物线的几何性质重 题型8抛物线中三角形、四边形的面积问题 题型9直线与地物线的位置关系重 题型10抛物线中的最值与范围问题难 【方法技巧】最值、范围问题的求解策略 题型11抛物线的实际应用难 真题溯源考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 课本典例高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 1/67 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 命题透视考情前瞻 一一对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 抛物线的方程与性质 全国I卷T5(5分) 全国Ⅱ卷T6(5分) 直线与抛物线的位置 全国Ⅱ卷T11(6分) 全国I卷T10(6分) 全国Ⅱ卷T10(6分) 关系 抛物线命题聚焦于抛物线的定义、焦点与准线的求解、焦半径公式、直线与 考情分析 抛物线相交的弦长及轨迹方程等考点，题型涵盖选择题、填空题、解答题。 近三年考情显示，考查形式上，既存在对抛物线定义、焦点准线等单一知识 点的直接考查，也常与双曲线离心率、圆的方程、导数、基本不等式等知识综 合，且“根据抛物线方程求焦点或准线”为高频考查点，体现出对抛物线核心概 念、运算能力及知识综合应用能力的重视。 复习目标 1.理解、掌握抛物线的概念，能够求解抛物线的标准方程； 2.能掌握抛物线的几何性质： 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与抛物线的位置关系问 题； 4.会解抛物线的弦长，与面积等问题 思维建模•脉络梳理 一一搭建知识框架，构建系统思维 2/67 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义 抛物线的定义 抛物线集合语言表示 抛物线及其性质 标准方程 图形 顶点 抛物线的标准方程与几何性质 焦点 准线 焦半径 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1抛物线的定义 (I)定义：平面内与一个定点F和一条定直线不经过点)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫 作抛物线的焦点，直线1叫作抛物线的准线 (2)集合语言表示 设点Mx,)是抛物线上任意一点，点M到直线I的距离为d,则抛物线就是点的集合P={MMF=d. 自主检测(2026北京丰台三模)若点P(x,2)为抛物线y2=4x上一点，则点P到其焦点的距离为 A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】A 【分析】先将点P代入抛物线方程，求出横坐标，再利用抛物线定义或两点间距离公式计算点P到焦点的 距离即可 【详解】点P(x,2)在抛物线y2=4x上，.2=4x,.=1,即P(1,2), 由y2=4x得：2p=4,即p=2,、焦点F(1,0),准线方程x=-1, 3/67 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :抛物线上任一点到焦点的距离=该点到准线的距离，∴·点P到准线x=-1的距离为 d=x。-(-1)=1+1=2,即点P到焦点的距离为2 故选：A ◆知识点2抛物线的标准方程与几何性质 标准 y2=2px(p>0) y2=2pxp>0) x2=2py(0p>0) x2=2y(0p>0) 方程 )4 图象 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y0 对称轴x=0 焦点 r(唱 ( o,引 ro,-引 准线 =-号 x=号 y=-号 v=号 离心率 e=1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 IMF-o+ 2 MF=-+号 焦半径 MP=h+号 IMF]=-yo+ 范围 x20 x≤0 y20 0 自主检测 (2026湖南怀化二模)已知抛物线C:2=2pr>0)的焦点为F,过点F的直线与C交于 FA A,B两点（点A在第一象限），若直线AB的斜率为5， 则阳() A.3 B. 3-2 c.4 D.3 【答案】D E M 【分析】根据抛物线的几何意义表示线段长度求解 【详解】记C的准线为I,过点A,B作I的垂线，垂足分别为M,N,过点B作直线 AM的垂线，垂足为E.设AE=a,FB=m,因为直线AB的斜率为V5,所以 B 4/67 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 |BE=15a,AB=4a,则BN=|FB=m,AM=E+EA=m+a,FEA=4a-m.因为AM=FA, FA 5 所以 m+a=4a-m 即m=受，144a-m=受，所以四号 故选：D ◆必记结论 1、焦半径 抛物线上的点P(,%)与焦点F的距离称为焦半径，若y=2p(p>0),则焦半径 PF=x+ 2 PFl=号 2 2、与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1,h),B(x2,y2),a为弦AB的倾斜角，则： (1)x=4,h=-P: (2)1AF1=-cosg:BFI=1tcoso 2p (3)弦长|AB|=x1十x3十p= sina 1 1 2 (4)AFT+BFT-p (5)以弦AB为直径的圆与准线相切： (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切： (7)过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p(通径) 题●型●破●译剩 题型1 抛物线的定义及应用重 例1回坐标平面内到定点F(-1,0)的距离和到定直线1：x=1的距离相等的点的轨迹方程是() A.y2=2x B.y2=-2x C.y2=4x D.y2=-4x 【答案】D 【详解】，平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦 点，定直线为抛物线的准线 ∴由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为F(一，0)，准线为：x=1. 5/67 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.所求轨迹方程为y2=-4x 故选：D 例12(2026湖南邵阳模拟)已知抛物线C:y=2x(p>0)C上一点M(2,m)到焦点的距离为4，则 p=() A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【详解】点M2m)到抛物线焦点的距离为4,2+号=4，六p=4 2 故选：C 【变式训练1-1已知动点M(x,)到定点F(L,0)的距离比它到y轴的距离大1，则动点M的轨迹为() A.抛物线 B.射线 C.抛物线和射线D.抛物线和直线 【答案】C 【分析】由题意得出(x-1)+y2=+1,分x≥0、x<0两种情况讨论，化简轨迹方程，可得结论 【详解】由题意可得V(x-1)2+y2=+1, 当x≥0时，则有V(x-1)+y2=x+1,化简得y2=4x,此时点M的轨迹为抛物线， 当x<0时，则有V(x-1)+y2=1-x,化简得y=0(x<0),此时点M的轨迹为射线， 故点M的轨迹为抛物线或射线 故选：C 【变式训练1-2】己知抛物线x=6y上的点M到焦点F的距离为4，则点M到y轴的距离为() A.2V2 B.4V2 C.25 D.V15 【答案】D 【分析】确定专线方程，结合抛物线的定义确定点M的纵坐标，带入x=6y即可求解 【详解】由题可知抛物线上=6y的准线方程为y=弓 2 3 设点M(x,,),根据抛物线的定义可知MF=%+24,即=2 由抛物线方程可得号=6%=15，即=V5所以点M到y轴的距离为√5 故选：D 【变式训练1-3·变考法】已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y=2x的焦点，另外两个顶点在抛物线上， 6/67 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则这个等边三角形的边长为() A.2-V5 B.2±V5 C.4-2W5 D.4±25 【答案】D 【分析】假设边长，然后利用抛物线定义计算即可 【详解】由题可知： 准线方程为x=弓，假设等边三角形的边长为。所以ac0s30+1=a 或1-acos30°=a,则a=4±23 故选：D 【变式训练1-4变载体】如图，设抛物线y=8x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B, AB C,其中点A,B在该抛物线上，点C在y轴上，若FA9'1FBF4'则BC =() B.3 C.2 D.4 【答案】A 【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三 角形求出边长的比值即可 【详解】 如图所示，设A(x4yA,B(x8,ya),由FA=9,1FB上4，由y=8x可知准线方程为x=-2, 根据抛物线定义可得x4+2=9,xB+2=4,故x4=7,xB=2, 7/67 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过A,B分别作y轴的垂线AG,BM垂足为G,M,过B作AG的垂线，垂足为B, |AB1=4-xa=7-2=5 明显 ABE-ABCM:所以BCxg-c=22, 故选：A 【变式训练1-5变考法】(2025北京模拟预测)已知抛物线C:y=8x的顶点为0，焦点为F,点P在C 上，点Q与点P关于y轴对称若QF平分∠PFO,则点P的横坐标为 【答案】2 【分析】根据条件推得PO=PF,利用抛物线的定义可得点Q在准线上，求得点Q的横坐标，再利用对 称性即得答案 【详解】 VA 如图，因为P0/1P0:∠QF0=∠0FP所以∠PQF=∠QPP,故IPg=|PA于是点O在准线上，=-号 由p0关于)轴对称，得，=号=2 故答案为：2 题型2 抛物线的标准方程重 例2-](2026北京海淀阶段检测)点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方 程是() 2y或x2= 1 B.x2= 1 A.x2=12y y 36 C.x2=- 36 D.x2=12y或x2=-36y 【答案】D 【分析】将y=ar转化为r=。,分类讨论a>0和a<0两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方 程求解即可。 8/67 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】将y=ax2转化为x=y, a 当a>0时，抛物线开口向上，准线方程y=- 4a1 点M(5,3)到准线的距离为3+ 1 +4a=6,解得a=i2 所以抛物线方程为y= 8，即2=2y 当。<0时，抛物线开口向下，准线方程y= 4a' 1 点M6,3)到准线的距离为3+4a6,解得a= 36或a≤ 2（舍去)， 所以抛物线方程为y=一 6,023 所以抛物线的方程为x=12y或x2=-36y 故选：D 例22(2026山西晋中：三模)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与C交于A,B两点， 过点人B分响C的准线作套线，垂足为不B,若4个+|B叫-兰4B中点的纵坐标为2，则C的方程为 () 4 3 A.y=3x或少= B.y=4x或广=x 4 8 C.y=6x或y=x D2=8x或少2= 2 【答案】C 【详解】如下图： A (B 由题可知F(公0，设4，)，Bk,)且男+为=4， 9167 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则=2px:两式相减得如与-名+以乞，则直线 =2px2, 2 AB 的方程为y=引- 因为B中点的@每为3，科言+号-兰。出我物线的定义可东+85+月多 3 26 即+2p ,解得p=3或3，故c的方程为y=6r或y2-x 4 3 故选：C 【变式训练2-1·变考法】(2026河南南阳阶段检测)以坐标原点为焦点，直线y=2为准线的抛物线的方 程为() A.x2=-4y-4 B.x2=-4y+4 C.x2=4y+4 D.x2=-2y+2 【答案】B 【分析】不妨设点P(x,y)为抛物线上一点，由抛物线的定义可得出Vx2+y2=y-2斗，化简可得出抛物线 的方程 【详解】不妨设点P(x,y)为抛物线上一点， 由题意可知，点P到原点的距离等于点P到直线y=2的距离，所以Vx2+y=少-2引， 化简得出x2=4-4y,即抛物线的方程为x=-4y+4. 故选：B, 【变式训练2-2变考法】(2026北京二模)己知点(-2，-)在抛物线C:x2=my上，则抛物线C的准线方 程为() A.x=2 B.x=1 C.y=2 D.y=1 【答案】D 【分析】根据已知求出抛物线方程，即可求解抛物线C的准线方程， 【详解】因为点（-2，)在抛物线C:x2=my上， 所以4=-m→m=-4,即抛物线方程x2=-4y, 所以抛物线C的准线方程为y=1 【变式训练2-3·变考法】已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,C上一点M(xo),≠0)满足 1MF=5,则抛物线C的方程为() A.y2=2x B.y=x C.y2=8x D.y2=4x 10/67 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【分析】根据点M(x,)(。≠0)为抛物线上一点，代入抛物线方程，由MF上5，利用抛物线的定义求解 【详解】依盟意得右=2，因为+0，所以6，=2p又M上+号=5，解得p=2: 所以抛物线C的方程为y=4x 故选：D 【变式训练24~变考法】(2026山东济南模拟预测)已知0为坐标原点，F为抛物线C:y=2px(p>0) 的焦点，点M(x,4)在C上，且MF=2OF,则C的方程为(). A.y2=4x B.y2=8x C.y2=2x D.y2=x 【答案】B 【分折】根据抛物线的定义得M=。+号，结合M-2OF得，=号，将M号4代入抛物线的方程 即可解得P的值，进而得C的方程， 【详解】 由抛物线的定义，得MF=,+ 2, 又210=pMr=210F,则+号=p,即-号， 因此，由点M号4在C上，得16=2px号，结合p>0解得p=4: 所以C的方程为y2=8x 故选：B >题型3抛物线的焦点坐标及准线方程 例3-1(2026河南二模)抛物线2x+y=0的焦点坐标为() 11/67 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B. e 【答案】B 【详解】把抛物线2x2+y=0化为标准方程2=) 因为抛物线，：-2p>0开口向下，且焦点坐标是0-号。 则-2p=-2即P=可得兮=令：所以焦点坐标是0》 1 故选：B 例3-2(2026山东聊城三模)已知点P(-2p,1)在抛物线C:x2-2p(p>0)上，则C的准线方程为 () A.x=- B x=- 2 C.y=- 4 【答案】C 【分析】先将点的坐标代入标准方程，求出P,再求出准线y=一？即可 【详解】由点P(-2p,1)在抛物线x2=2py上，则(-2p)}=2p×1, 即4p2-2p=0:解得P=2或p=0(舍)， 因为抛物线 2=2py(p>0) o准线方程为y=-卫，即y= 2二一 1 2 2 4 1 因此，抛物线C的准线方程为y=一4 故选：C 【变式训练3-1】抛物线方程为y=x之， 4 则此抛物线的准线为() 1 1 A.x=- 16 B.y=16 C.x=-1 D.y=-1 【答案】D 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得 【详解】，抛物线方程为-子，则×=4，可得号子1，兆物线的准线为，三一十 故选：D 12167 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式训练3-2】抛物线y=-2x的焦点坐标为() A.0- c.o-g) 【答案】B 【详解】由抛物线性质得y=-2x是一个抛物线开口向左的抛物线， 且2p=2所以-号 2, 所以焦点坐标为 -.0 2 故选：B 【变式训练3-3变角度】(2026山东泰安模拟预测)已知抛物线x2=-2p(p>0)的准线平分圆 x2+(0y-2)2=1,则p=() A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【分析】求出抛物线的准线方程，利用准线过圆心求出P值. 【详解】抛物线r-2>0的准线方程为)y=号，：思意，直线y=号 2经过圆x2+0y-22=1的圆心 0,2》,则2=2，所以p=4 故选：B 【变式训练3-4变载体】(2026贵州遵义·模拟预测)已知等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线)y2=-8x的准线交于A,B两点，4B=2,则C的实轴长为() A.4v3 B.6 C.25 D.5 【答案】C 【分析】设出双曲线方程（引入参数），将抛物线准线方程代入可表示出4B,由此即可列方程求解参数， 进而得解 【北解1白题点，设等销双自发c的方程为：。若-Q>0).而愁物线y-8的准线的准线为，-2” 人之_上=1(a>0)得，y=4-a由题意y=4-a>0: 将x=2代入。a 所以4B=2V4-a=2,解得a=3,所以C的实轴长为2Va=2V5 故选：C 【变式训练3-5·变考法】（多选）已知抛物线x=4y的焦点为F,A,B是抛物线上两动点，下列说法正 13167 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 确的有() A.抛物线的焦点坐标为F(0,-) B.若AF+|BF上8，则线段AB的中点到x轴的距离为3 C.以线段AF为直径的圆与x轴相切 D.以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切 【答案】BCD 【分析】由抛物线的标准方程可判断A,由抛物线的焦点弦公式可判断B,由抛物线的定义计算圆心到直 线的距离等于半径可判断C和D, 【详解】对于A,抛物线x=4y的准线方程为y=-1,焦点为F(0,),故A错误. 对于B,设点A(飞，)，B(x,),由抛物线的定义可得AF+BF=片++2=8， ,+业=3，故B正确。 可得y+为，=6，所以线段4B的中点到x轴的距离为2 +1 对于C,因AF=y+1,4F的中点为2,2 该点到，销的面离为h日。 故以线段AF为直径的圆与x轴相切，故C正确. 对于D,因AF卡片+1，故以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切，即D正确 故选：BCD 题型4抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 例4](2026陕西咸阳模拟预测)己知点M(山，-2)，点P在抛物线y2=8x上运动，点Q在圆 (x-2)+y2=1上运动，则PM+P的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【分析】过P作PH⊥I于H,I为抛物线的准线，利用抛物线的定义及圆的性质，得到 PM+Pg≥PM+PH-1,即可求解 【详解】易知抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),准线为1：x=-2,圆(x-2+y2=1的圆心为(2,0)，与抛 物线焦点重合，半径为r=1,过P作PH⊥1于H,则PM+PO≥PM+PF-r=PM+PH-r, 又易知，当M,P,H三点在一条直线上时，PM+PH最小，又M(L,-2),所以PM+Pg≥1+2-1=2 14167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：A 例42【新思维】【多选】(2026甘肃甘南模拟预测)已知抛物线C:y=4x的焦点为F,点A(1,3),P 为C上的动点，则() 3 A.满足PA=PF的点p恰有两个 B.满足△PAF面积为2的点p恰有三个 C.PA+PF的最小值为3 D.PA-PF的最小值为-2 【答案】BCD 【分析】对于选项A:依据线段垂直平分线上的性质得到PAHPF的点P在AF垂直平分线上，得到满足 条件的P只有一个 对于选顶B,由三角形面积公式5引F口弓得出-黠合阁形特点。判断p有三个这样的点 对于选项C:根据三角形两边之和大于第三边，|PF+PAR AFI.算出FA仁3，得到PA+PF1最小值 判断 对于选项D:过A作x轴平行线，利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，PBHPF1L算出|AB=2, 得到PA-PF最小值判断 3 【详解】满足PA=PF的点p位于线段F的垂直平分线上，其直线方程为y=2,与c仅有一个交点， 故A错误； 设p到直线的距离为：S心方4d,则，-1所以p在直线x-2或y轴上，这样的点p有三 个，故B正确： 如图1，点A在抛物线外，PF+PA2AF,故PA+PF的最小值为FA=3,故C正确； 如图2，过A作x轴平行线，与准线交于点B,与抛物线交于点P,根据抛物线定义，PB=PF刊，此时 PA-PF有最小值AB=-2,故D正确. 15167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：BCD A(1,3) y A(1,3) 图1 图2 【变式训练4-1变考法】(2026云南模拟预测)已知直线：4x-3y+11=0和直线2：x=1,抛物线 y2=4x上一动点P到直线4和2的距离之和的最小值是() 16 A.2 B.3 C.5 D 57 16 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义以及点到直线的距离公式求得正确答案 【详解】抛物线y2=4x的焦点F(L,0),准线x=-1, P到2的距离，等于P到F的距离 所以P到直线和2的距离之和的最小值等于F到直线马的距离， 4-0+11 所以最小值为 =3 V16+9 故选：B 【变式训练4-2变考法】(2026福建莆田模拟预测)（已知直线1：x=-5,点P3,0),点A(4,),动点0 到点P的距离比到直线I的距离小2，则A+QP1的最小值为() A.4 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【分析】利用定义法可求抛物线方程，也可以利用几何关系代入坐标公式求出抛物线方程，再利用抛物线 的几何性质转化线段可求和的最小值： 【详解】方法一：设Q(x,y)“点P(3,0),直线1：x=-5, 动点Q到点P的距离比到直线1的距离小2 .V(x-3)2+y-0)2+2=x-(-5)儿，化简得y2=12x, 即点Q的轨迹是以P(3,0)为焦点，以直线x=-3为准线的抛物线， 方法二：设Q(x,y)·点P3,0),直线1：x=-5, 16167 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 动点Q到点P的距离比到直线的距离小2， :动点Q到点P的距离等于到直线x=-3的距离， ∴点Q的轨迹是以P(3,0)为焦点，以直线x=-3为准线的抛物线， 即抛物线方程为y2=12x】 如图，过点Q作准线的垂线，垂足为B,由抛物线的定义，得QP曰QBL, 则|OA+|OPH2A+|OBL,当A,O,B三点共线时， 11+P取得最小值，最小值为ABF4+3=7 故选：C 【变式训练43·变考法】 (2026贵州贵阳模拟)己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,M为C上的动点，N 为直线I:x+V3y+3=0上的动点，设点M到y轴的距离为d,则MN|+d的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当M,八，F三点共线时，可 求得最小值。 【详解】 M H 因为抛物线C:y=4x,∴FL,O),过F点作FF垂直直线I于点F,过M作准线的垂线交准线于点H,如图 所示，则MF日MHI,dMH-1, 则MN+d=MN+MHl-1=MN+|FM-1≥lFF-1= 1+0+3引 V12+32 -1=1 17167 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当点N与点F重合，点M为线段FF与抛物线的交点时，等号成立. 故选：A 【变式训练44原创题】已知点P是抛物线少=8x上一动点，点在圆(x-5)}'+y=1上运动，则P与2 两点间最短距离为 【答案】2V6-1 【分析】因为点P在圆外，P与Q两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点P坐 标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解 【详解】设抛物线y2=8x上的点。坐标为 8少 圆(x-5)2+y2=1的圆心为C(5,0),半径r=1 y41 点到圆心的距离d y2+25 P 21 令=y≥0则d=44+25= -8+24,对其求最小值 根据二次函数性质，当1=8时，d最小为2V6 则p与Q两点间最短距离为dmm-r=2V6-1。 VA 故答案为：2V6-1. >题型5抛物线的轨迹方程 例5-1【新思维】如图，点E为矩形ABCD边AB的中点，以动直线I为折痕将矩形在其下方的部分向上翻 折，每次翻折后点E都落在边CD上，记该落点为F,过点F作FP垂直CD交直线I于点P,则点P的轨迹 为()的一部分 18167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【答案】D 【详解】由题意知翻折后点E与落点F重合，因此折痕I是线段EF的垂直平分线， 点P在I上，根据垂直平分线性质可得PE=PE, 结合抛物线定义判断：已知FP⊥CD,因此PF就是点P到定直线CD的距离， 即点P满足：到定点E的距离等于到定直线CD的距离，符合抛物线的定义， 因此点P的轨迹是抛物线的一部分 另解： 如下图所示，以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为轴，建立平面直角坐标系， E B 设AB=2a,BC=h,则A(0,0),B(2a,0),C(2a,h),D(0,h), 因为E是4AB的中点，所以E(a,0), 因为翻折后E落在CD上，落点为F,所以设F的坐标为(，h)(t∈[0,2a]), a+t h 折痕，是E和F连线的垂直平分线，EF的中点坐标为2,2： -1_a-t EF的斜率为h-0=h,因此的斜率为hh, t-a t-a t-a 所以，的点式方程为合片气空） P在I上，且PF⊥CD,设P的坐标为(t,y), 代入可得y孔空 化简可得y=-亿-ah 2h+2 因为点P的坐标为化小把，替换成，可得点P的轨迹方程为y=任+么 2h 2 是一个二次函数，所以点P的轨迹为抛物线的一部分 19/67 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 例52)已知动点P到定点4,0)和定直线x=3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为() A.y2=4x B.y2=-12(x-4) C.若x≥3，则y=4x；若x<3,则y2=-12(x-4) D.若x≤3，则y2=4x;若x>3,则y2=-12(x-4) 【答案】D 【详解】设p(x,),由题意可得V(x-1)2+y2+x-3=4, 即V(x-12+y2=4-x-3, 当x>3时，则有Vc-2+y2=4-(x-3)=7-x,化简得y2=-12(x-4): 当x<3时，则有Vc-12+y2=4+(x-3)=x+1,化简得y2=4x: 综上，当x>3时，点P的轨迹方程为y2=-12(x-4): 当x≤3时，点p的轨迹方程为y2=4x 故选：D 【变式训练5-1】已知点M(2,2),直线：x-y-1=0,若动点P到1的距离等于PM,则点P的轨迹是 () A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 【答案】C 【分析】由抛物线的定义求解即可 【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点P的轨 迹是抛物线 故选：C 【变式训练52变我体】设点A.2.B-2.P为动点，记pp的斜率分别为k,k,且入无，则 点P的轨迹方程为() A.y2=8x B.y2=8x(x≠1) C.y2=4x(x≠1) D.y2=4x 20167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【分析】设P(x,y),由题意列出点P的坐标满足的方程，化简可得其轨迹方程 11 x-1x-1 【详解1设P(k小因为店店1，所以)22 1(x≠1，y≠2)， 化简得y=4x(x≠)，即点P的轨迹方程为y=4x(x≠1) 故选：C 【变式训练5-3变载体】已知点P(x,y)满足V(x-1)+y2=x+1,(4,0),则P9的最小值为() A.2 B.2√2 C.25 D.4 【答案】C 【分行根据条作，利拥数物战的定义知点。的抗迹为抛物线，进酒可得其方程为，一女：设P行】 再利用两点间的距离公式，即可求解。 【详解】因为V(x-I)+y2表示点P(x,y)到点(，0)的距离：x+1表示点P(x,y)到直线x=-1的距离， 又V(x-+y2=x+,所以点P(x,y)到点(，0)的距离等于点P(x,y)到直线x=-1的距离， 由抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线，抛物线方程为y=4x, 设P小，则P- -2+12225, 当且仅当t=±2W2时，等号成立， 故选：C 【变式训练5-4变考法】在平面直角坐标系Oy中，点P到点1,0)的距离比点P到直线x=-3的距离小2， 记动点P的轨迹为曲线E。 (1)求曲线E的方程： (2)已知直线I过点C(2,0)且与曲线E交于A,B两点，求OAOB的值， 【答案】1)y2=4x (2)-4 【分析】()根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程： (2)设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得解 【详解】(1)由点P到点(，0)的距离比点P到直线x=-3的距离小2， 得点P到点，O)的距离等于点P到直线x=-1的距离， 21167 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此点P的轨迹是以点（山，0）为焦点、直线x=-1为准线的抛物线， 所以点P的轨迹E的方程为y2=4x (2)显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为×=ty+2,A(x,),B(x2,2), x=y+2 由y=4x消去，得y-4-8=0’A>0恒成立，=-8 所以O10丽=x5+=其，2+为-- -8=-4 4 4 16 方法技巧 求抛物线轨迹方程的方法 (1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程； (2)定义法：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线， 题型6抛物线的焦半径问题 例6-1(2026安徽安庆模拟)已知抛物线C:y=2x(p>0)的焦点为F,过点F且垂直于x轴的直 线与C交于A,B两点，AB=8,点D(3,)在C上，则DF=() A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【分析】由已知先求出点A,B的坐标，由4B=8即可求得P,利用抛物线的定义即可求解 【详解1由逻意有：当x-号时.广=2p兮=r→y=p,所以4经P小经)， 所以1B=2p=8,解得p=4,又因为DB,):所以DF=3+号=5 故选：B 例62(2026江西模拟预测)己知抛物线y=2r(p>0)的顶点为0，焦点为F,过点F的直线交抛物线 于A,B两点，若AF=2BF,则sin∠OAF=一 【答案】 66 99 【分析】通过设点、设直线联立方程求解坐标，再利用向量夹角公式求三角函数值. 【详解】 22167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ，设 {50 A()B(xz:y2) 由抛物线的焦半径公式得4=+号.B=名+号， 因为4=2B所以+号=25+号，即5=2x+号 由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=m心y+ 2 x=my+ 由 2,得 y2=2px -2pm-p2=0’4=(-2pm-4x(p)小0根据韦达定理有 y=-p2 y2=-p2 又因为 ,所以 ,=-2y,得 AF=2BF 月=-2y2 y=2px x=p 因为抛物线y=2px(p>0)关于x轴对称，所以不妨设点A在第一象限， 则4A2p小，所以a0=(p,p)F-（号-5p P+2p 所以Cos∠OAF AO.AF 5v3 AO AF 9 p2+2p P+2p2 所以sin ZOAF=V1-cos2∠OAF 55 6 9 【变式训练6-1·变考法】(2025陕西延安·模拟预测)已知点P(2,%)在曲线C:y2=2x(p>0)上， P=3其中6点的坐标为号0，则=) A.2 B.5 C.22 D.3 【答案】C 【分析】根据题意可知F为范物线的焦点，再由焦半径等于+号：列等式即可得到的值，进而确定曲 线方程，再讲点P的横坐标代入，即可得到纵坐标的绝对值. 23167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解1因为e?,0 ,所以F为抛物线的焦点，且到PF-3则PF川=2+号=3，得p=2 则抛物线方程为y=4x点P(2,%)在曲线上，所以乃=4×2=8，则=22 故选：C 【变式训练6-2变考法】己知0为坐标原点，F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点M(4)在C上， 且MF=2OF,则p=() A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【分析】白抛物线定义及M=2OF得无=号，进而将点M(化，4)代入抛物线方程即可得 【详解】由抛物线的定义，知MF=x+号，又21oF=p,MF例=2l0F1, 所以6+号p,即5=号， 由点M(,4)在C上，得16=2px=p2, 结合P>0,解得卫=4。 故选：C 【变式训练6-3变考法】(2026江西宜春模拟预测)已知抛物线C:y=8x的焦点为F,若点P为C在第 象限内的一点，且PF=6,则直线PF的斜率为 【答案】2V2 【分析】设P(m,n)(m>0,n>0),根据焦半径公式得m=4,进而求得n=4V2,再计算斜率即可 【详解】由已知得F(2,0),设P(m,n)(m>0,n>0), 所以，根据焦半径公式得PF=m+2=6,解得m=4, 代入C:y=8x得n2=32,解得n=42, 所以直线p的斜率为n”2=22 24167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式训练6-4变考法】设F为抛物线C:y=8x的焦点，点P为C上一点，过P作y轴的垂线，垂足为 A,若PFF3引PAL,则cos∠FPA= 1 【答案】 【分折】根据抛物线的标准方程求得焦点F的坐标(2,0)：进而求得PF6+2名+2，再根据 PF=3引PA解得x=1,|PF=3.法一：根据两角互补和余弦公式解得结果；法二：计算得到 PA=1,y=2V2,|AF=V8+4=23,在△APF中，由余弦定理计算得到结果. 【详解】因为抛物线C:y=8x,所以P=4,所以抛物线的焦点F的坐标为(2,0). 设P(6小，如图，由抛物线的定义可知PFF+号=%+2，又PFF3PM 所以X+2=3x,解得，=1，故PF=3. A 方法一： IOF-PA-2-1=-1 设O为原点，则cos∠FPA=-cos∠PF0=PF1 33 方法二：PA=1Wl=2V2,所以AF乍V8+4=25, 在 中，由余弦定理得cos∠FPA=P+1PFP-AFP-1+9-12.1 △AP 2 APPF 2×1×33 故答案为：3 【变式训练6-5·变考法】(2026湖北模拟预测)过抛物线y'=4x的焦点F作倾斜角为3的直线L,1与抛 25167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF 物线交于A,B两点(1在x轴上方)，则BF 【答案】3 【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标，进而得到直线的方程，联立抛物线的方程，可求得A,B两点 AF (4在x轴上方)的横坐标，根据抛物线定义求得4F,BF,即可得BF 【详解】易知抛物线y2=4x的焦点F1,0),准线x=-1. 所以直线，的方程为y-0=am(x-),即y=V5(x-: -4r-t90e--=0m以-422作-2） 4F_3+1=3 以厨利 方法技巧抛物线焦半径问题的解题技巧 若AB为抛物线y=2pp>0)的焦点弦，A,),B:,),则有以下结论： XX2= (1) 4 (2)3=-p2 (3)焦点弦长公式1：AB=++P,+x≥2书=P,当=时，焦点弦取最小值2P,即所 有焦点弦中通径最短，其长度为2p。 AB=2p 焦点弦长公式2： sin2a(a为直线AB与对称轴的夹角). (4)△4OB的面积公式： SoF2sima(a为直线4B与对称轴的夹角) 26167 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型7 抛物线的几何性质重 例7-]【多选】【新思维】(2025·山西模拟预测)已知抛物线M:y=4x,焦点为F,过F的直线交M 于点A,B,其中A(:,乃)在第一象限，B(x,)在第四象限，O为坐标原点，连接BO交抛物线的准线 于点C,则下列说法正确的是() 1 1 A,4B的最小值是4 B.M丽8丽2 163 C.直线AC平行于x轴 D.△ABC的面积的最大值为9 【答案】AC 【分析】设过F(1,0)的直线为x=my+1,联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，利用焦点弦公式判断 A,利用焦半径公式判断B,设C点坐标为(1，乃)，推导出为=片，即可判断C,由面积公式，再构造函 数，利用导数求出面积最小值，即可判断D, 【详解】抛物线M:y2=4x的焦点为F(,0),准线方程为x=-1, 设过F(1,0)的直线为x=my+1, y2=4x 将其与抛物线联立可得x=my+1?消去x整理得y'-4my-4=0' 所以y+y2=4m,yy2=-4. 对于A:AB=++2=m(+)+4=4m2+4≥4，当且仅当m=0时取等号，即AB到的最小值是4， 故A正确； 11111m(以+2)+4 FB55w2,2m+2m+)上4物十争，放B精澳 当=2→上=4→%=4， 对于C:设c点坐标为(-1，)则右今-乃 因为y2=-4,故y=,故直线AC平行于x轴，故C正确： 对TD,及4C+- 设酒题0-行儿到0 则r-生8) 所以当x>店时f()>0:当0<x<店时f)<0: 27167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以f(x)在万+0 上单调递增， f在05 上单调递减， 16v3 故f(x)的最小值为/ 9,即 ABC 的面积的最小值为 包N3,故D错误， (B 故选：AC 例7-2【多选】【新思维】(2026陕西咸阳阶段检测)设0为坐标原点，直线V5x+y-V5=0过抛物线 C:y=2p(p>0)的焦点，且与C交于M,N两点(M在第四象限)，I为C的准线，则() A.,的方程为x=-1 B. C.以MW为直径的圆与I相交 D.△OMN为钝角三角形 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标，进而求得抛物线方程，再与直线方程联立求出点M,V的坐标， 结合抛物线定义及数量积的坐标表示逐项判断得解 【详解】由直线V3x+y-V5=0过点L,0),得抛物线C的焦点F1,0),方程为y2=4x, 对于A,抛物线C的准线I的方程为x=-1，A正确： 1 x=3 由∫W3x+y-√3=0消去并整理得 ，解得 y=-25 25, y2=4x y 3x2-10x+3=0 2= 3 对于B,点M3,-2W3),NC,3,JMF卡x+1=4,B错误 对FC,1wNF1+6+1-5.线段中点写2)到准线-的距离-号-州 因此以MN为直径的圆与I相切，C错误： 对于D,0网0=5+%=3×25x2 2=-3<0,则∠MON是钝角，D正确 3 故选：AD, 28167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M y=-5x-1) 【变式训练7-1变载体】(2026新疆喀什阶段检测)己知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,点 A是C上一点，点g是其准线上一点，若A⊥BF,aF-5,BF=:则p的值为(） A. B.1 D.2 【答案】B 【分析】过A作A4垂直于C的准线，垂足为A,过A作AD⊥x轴，垂足为D.通过RtAABA≌Rt△ABF, 3 得到an∠AFD=手，进而求得DF,即可求解 【详解】如图， A 过A作AA垂直于C的准线，垂足为A, 由抛物线的定义可知，AF=AA,AB=AB,所以Rte4BA≌Rt△ABF, 所以∠BAA=∠BAF 2tana 3 设∠BA4=a,则tana=3所以tan2a= 1-tan2a4 因为A4∥x轴，所以∠AFD=2a,过A作AD1x轴，垂足为D 因为an∠AFD= 4,又sin2∠AFD+cos2∠4FD=1' 解得：m∠4D-s4D- 5, 29167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又AA=AF=5, 所以FD=4所以4+p=5,解得p=1. 故选：B 【变式训练7-2变考法】【多选】(2026河北邢台模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线1与x 轴交于点A,O为坐标原点，过F的直线与C交于B,D两点，过B,D作1的垂线，垂足分别为E,G, 则() A.若直线BD的斜率为1，则BD=8B.以BD为直径的圆与y轴相切 C.EF⊥GF D.B,O,G三点共线 【答案】ACD 【分析】对于A,联立直线BD:y=x-1方程与抛物线方程，结合焦点弦长公式以及韦达定理即可判断： 对于B,由抛物线的性质即可判断：对于C,结合内错角相等即可得证：对于D,设直线OB与准线I交于 H(xH,y),只需说明H,G重合即可 【详解】抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),准线1：x=-1,点A(-1,0),设B(,),D(x,2), y=x-1 对于A,直线BD:y=x-1?由气y2=4x? 消去y得x2-6x+1=0,所以x+x=6,所以BD=x+五+2=8，故A正确： 对于B,BD=5+5+2,线段BD中点横坐标=名=BD, 2 2 弦BD中点到准线的距离为BD,因此以BF为直径的圆与准线相切，故B错误： 对于C,由BF=|BE,BE∥AF,得∠AFE=∠BEF=∠BFE,同理∠AFG=∠DFG, 则∠EFG=∠AFE+∠AFG=)(∠AFB+∠AFD)=90°，故C正确. 30167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=y+1 对于D,设直线BD:x=+1联立y=4x，得y-4物-4=0，则=-4 直线0B:y=么，直线OB与准线1交于Hw小 联立 4 又为=- ，所以y4=为2，即H与G重合，所以B,O,G三点共线.故D正确. 故选：ACD 【变式训练7-3变考法】【多选】(2026广东广州模拟)已知抛物线C:y=2p(p>0)的焦点为F,准 线为l,过点F作斜率为k(k>O)的直线与C相交于A,B两点，D为弦AB的中点，DE⊥I于点E,G为 DE与C的交点，则() A.AE⊥BE B.AB⊥EF C.lGDl≠|GE D若=丽且得》 (43,则4的取值范围为 传a6 【答案】ABD 【分折】对A,由抛物线的定义，可得DE=48,得4E1BE:对B,证明△AE4产△A6F,可得 ∠AAE=∠AFE=90°，得解：对C,在RtEFD中，可证lGF=GD结合抛物线定义得GD=GE,得解， 对D,设直线AB交准线I于点P,直线AB的倾斜角为日，由抛物线定义结合相似三角形可得 c0s0= 1-22 +入1+入1，进而求出cos0得范国，得解 【详解】如图，作A411于点A,BB11于点B. YA 31167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于A,由抛物线的定义得41=4，BB1=BF所以DE-4;B8-A, 所以△ABE是以AB为斜边的直角三角形，即AE⊥BE,故A正确： 对于B,由lDE=2AB,ADl=|BD,得DE=AD,所以∠DAE=∠DEA 因为∠DEA=∠AAE,所以∠DAE=∠AAE,又AA=AF, 所以△AEA兰△AEF,所以∠AAE=∠AFE=90°，所以EF⊥AB,故B正确： 对于C,在RtEFD中，由lGE=|GF,可知∠GEF=∠GFE,所以∠GFD=∠GDF, 所以GF=GD,所以GD=GE,故C错误： 对于D,设直线AB交准线1于点P,直线AB的倾斜角为O, FB=BB =m(m>0), 元m P AA cos0 入m 则 ,则 可得m AF=MA im ”m由 cose P BB +2m+m cose 所以cos0= 1-九2 1+元1+ 1,因为y=1+元1是关于元的减函数， 所以owc0g》所以k=m0=0-1cc0 1 -1∈ cos20 cos20cos20 又k>0· 所以k=am0的取值范是(26。 故D正确. 故选：ABD 【变式训练7-4·变情境】【多选】(2026河北承德模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线 经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必 过抛物线的焦点已知如物线C:了=X0为坐标原点，一束平行于，精的光线从点P铝时入，经c上 的点A(:,乃)反射后，再经C上另一点B(:)反射后，沿直线l2射出，经过点Q,则() A.BP平分∠ABQ B.yy2=-1 C.直线AO,直线BQ与抛物线C的准线相交于同一点 D.点M是)上一动点，当M+a最小时，点M的些标为Q别》 【答案】ACD 32167 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】由抛物线的光学性质得PA∥x轴，直线AB过点F,BQ∥x轴，结合P点坐标可求出点A,B的坐 标，对于A,求出PA,AB,再结合抛物线的光学性质分析判断，对于B,根据A,B的坐标求解判断，对 于C,分别求出直线AO,直线B与抛物线C的准线的交点判断，对于D,求出点B关于y轴的对称点B, 则MA+MB=MA+MB例，当直线AB与y轴的并点为M时，M4+MB最小，从而可求出点M的坐标 【详解】如图，由抛物线C:y=x,得其焦点为F 准线方程为x=号 由抛物线的光学性质得PA∥x轴，直线AB过点F,BO∥x轴 所以y=1即A,)代入C:y2=x得x=1,则A1,) 14 所以直的斜幸5故直的方程为y一--3-10 AF 4 1 16 由4x-3y-1=0,解得x=1,或 ly2=x y=-1 对T丸P4-8-1亮---答女p4-所2Ag4即 又因为PA∥x轴，BO∥x轴，所以PA∥BQ,故∠APB=∠PBQ, 所以∠ABP=∠PBQ,即BP平分∠ABQ,故A正确， 对于B,因为=1为=手·所以X=子，放B错误 y=x, 对于C,因 A1,1) 所以直线的方程为，由 一一1得直线与抛物线的准线的交点为 x=- AO y=x 4 AO C 好 又0,86，所以直线0与能约线c的准线的交点为子号).同点D 11 则直线AO,直线BQ与抛物线C的准线相交于同一点，故C正确 33167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对D点可G)关于轴的对为(6 所以MA+MB=MA+|MB, 当MA+MB最小时，点M在直线AB上， 11 4 20 因为k4B= 1 1+ 17,所以直线 为 AB' -1= 20 ,即20.3 16 7x-)'y 17x-17 当x=0时，y= 3 17, 所以点M的坐标为0,7故D正确 故选：ACD 题型8 抛物线中三角形、四边形的面积问题 例8-1(2026广西河池模拟预测)已知抛物线C:y=8x的焦点为F,其准线与X轴交于点K,以F为圆 心，FK为半径的圆与抛物线C在第一象限的交点为P,则△PKF的面积为() A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】D 【分析】先根据抛物线方程求出焦点F和点K的坐标，进而得到圆的方程，然后联立圆的方程与抛物线方 程求出交点P的坐标，最后根据三角形面积公式求出△PKF的面积， 【详解】抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,O),准线与X轴交于点K(-2,0), 所以以F为圆心，FK为半径的圆的方程为(x-2)+少2=16， 圆与抛物线C在第一象限的交点为P,设P(x,y),如图，作出符合题意的图形， 34167 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x-2)2+y2=16 由 y2=8x 得 x+6x-2)=0'因为点P在第一象限， 所以x=2,y=4,即P(2,4),显然PF⊥FK,所以△PKF为直角三角形， 所以△PKF的面积为2×4×4=8 例8-2【新思维】(2026湖北武汉·模拟预测)已知点M在曲线y=4x上，过M作圆 C:(x-3)+y2=1的切线，切点分别为A,B,则四边形MACB的面积的最小值为(） A.22 B.√万 C.3 D.9 【答案】B 【详解】 如图，设点Mx,), 连接MC,四边形aCB的面积为S=2Sc=2xMAX1MM卡MCP, 而MC=V(x-3)2+y2,又点M(x,)在曲线y2=4x上，则有MC=V(x-3)2+4x=V(x-1)2+8, 依题意，x≥0，故当且仅当x=1时，|MClm=2V2，此时四边形MACB的面积取得最小值 (22)2-1=√7 故选B 【变式训练8-1·变载体】已知抛物线C:y=8x的焦点为F,准线为1，过点F的直线交C于P,Q两点， PH⊥1于A,若HF=PF,O为坐标原点，则△OFH与△OFQ的面积之比为() A.8 B.4 C.3 D.2 【答案】C 【解析】由题意得：抛物线C:-8的焦点为F(2,0),准线为1：x=-2, 设准线1与x轴的交点为K(-2,0), 由抛物线定义知PF=PH川，而PF=F,故APHF为正三角形，可得∠FPH=∠PFx=60°， 不妨令直线P:y=V5(x-2),设P(Gy),0(x,)y>0,<0, 35167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=V3(x-2) 联立方程y2=8x 、消去x得少、6=0，解行v三5或=43 3 即=4V5,5=- 4V3 3， 可得=3 1oF×M 所以S△oFe 3 zloF. y2=8x 故选：C 【变式训练8-2变考法】(2026安徽模拟预测)己知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,过点F且倾 务角为120的直线1与瑞物线C交于MN两点.0为坐标照点，若=兰。则AONN的面积为 () A 4v5 B 8V3 c25 3 D.45 【答案】A 【分析】设直线y=-(x-), 联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得p=2,进而 求出O到直线的距离，进而求解即可 【详解】由题意， 设宜线：y=5(x-) y2=2px 联立 =(-得3x-5+卫-0 4 设M(G,y)N(,为)则x+x-, 4 816 故MN=x+5+p=3P=3,则p=2: 所以直线4：y=-V5(x-1),即3x+y-V5=0, 36167 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -5 5 则O到直线1的距离为d= V3+12 0ow的面积为对号wd-宁台9- 故选：A 【变式训练8-3变设问】(2026河北保定·模拟预测)已知抛物线C:y=8x的焦点为F,其准线与x轴交 于点瓜，过点5月斜率为负的直线交C于4，B丙点（点A在点B的东。若m∠P8-斗点D8,, △DBF的面积为S,△MBF的面积为S,则S, A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 8 8 整理得乃+16y-(y+16y2)=(y2-16)(2-y)=0, k==8 所以 少=16’根据 的斜率分别为4片-2片-16， A.FB 8 g16 k== 8y2 8y% 发-2片-16 16)2 16-y2,即 8 -16 KFB=-KFA 可得tan∠AFB=k-k1=-2k424 3 1+kFakE4 1-kE2 因为FAFB的斜率相反且A在B左侧，所以，一子 84 而FD的斜率KD8-23,故有A,F,D三点共线， 将4的方程y=x-2)与抛物线方程联立 (x-2)}=8x, F 整理得22-17x+8=0:一个解即为D点横坐标8，则另一个解为x=) SS.DBEDF8-2 =4 即A点横坐标为上，所以S,S.rAF 2 2 2 37167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D F 故选：B 题型9 直线与抛物线的位置关系重 例9-1(2026甘肃酒泉·二模)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，点P(4,m)）在 抛物线C上，且P=6过焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线C于A,B两点，则AB=() A.8 B.12 C.16 D.20 【答案】C 【分析】根据题意得出抛物线方程和直线方程，联立这两个方程，然后利用韦达定理以及抛物线的定义即 可求解 【详解】 如图所示，设抛物线c方程为，-2xD>0焦点为号0， 由于点P(4,m)在抛物线c上，且 p-6则有4号+=6，代入4-号) +8p=36→p=4, 故抛物线方程为y2=8x,焦点为F(2,0),设A(:,乃)，B(:,乃)，由于直线经过焦点F且倾斜角为45°， 因此直线方程为y=x-2,与抛物线联立得少=8(y+2)→y2-8y-16=0, 由韦达定理得y十为=8，则飞+名，=X+2+为+2=12，根据抛物线的定义，有4例=名+号， B-+号，因此ABl=A+|B=+k+D=16,赦C正确 故选：C 例9-2（多选）【新思维】(2026江苏盐城模拟)己知抛物线C:y2=2x的焦点为F,直线过点F且与抛 物线C交于P,Q两点，其中M为PQ的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的为() 38/67 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PF+OF 1 A若直线的方程为y=x- B.PFlOF2 C.点M的轨迹方程为2y2=2x-1 D.IPOP=41OM2+3 【答案】ACD 【分析】先联立抛物线与直线方程，利用韦达定理得到交点坐标关系，再根据各选项要求，结合中点公式， 焦半径公式、弦长公式等进行推理判断 【详解】 已知抛物线为y=2x,其焦点为F ,0 直线l的方程为x= +少， y2=2x 联立抛物线与直线方程可得： +·化简可得： x= y2-2y-1=0 由题意可得直线！与抛物线C交于P,Q两点，所以△=41+4>0， 设P(:,乃)，(x2,2),M(xo%),则由韦达定理可得：片+2=21,2=-1， 代入直线的方程可得：+无=2+1=子所以利用中点公式可得：M?+分)】 在A遮项中，若直线的方程为：少=x分则，-”所以如[侵 A选项正确， 1.1,1 x+x2+1 2t2+2 在B选项中，PFI JOF+ T=- =2 +23+2(+)+ 1t2+1,B选项错误， 4 在C选项中，6=+分儿=1，所以2以=2%，-1，C选项正确， 在D选项中，PQ=(:++1)=41+82+4,40M+3=4(x2+y2)+3=4+82+4, D选项正确 Y M 故选：ACD, 【变式训练9-1变考法】(2026陕西西安模拟预测)已知直线1过抛物线C:y=x的焦点F,与抛物 39/67 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 线C交于A,B两点，且线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为() A.2 B.2 C D.3 【答案】B 3 【分析】先求出焦点F坐标，设A(x,y),B(:,),利用中点坐标公式得无+名=2，利用抛物线的定 义即可求出弦长 【详解】抛物线方程为C:y'=x,焦点F坐标为 0 准线方程为x=一 4 设A(G,y)B(:,),由中点坐标公式得：5 3 2 =4，因此X+名=2： 根据抛物线的定义得4=+号=x+B=名+号-与+ 。1 2 4 13=2 222 十 故选：B 【变式训练9-2变考法】(2026山西析州模拟预测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F.若直线y=x+m 与抛物线C只有一个公共点，则点F到该直线的距离为() A. 2 B.1 D.2 2 【答案】C 【分析】先求出抛物线C:y=4x的焦点，将y=4x与y=x+m联立并消去y,由题意可知判别式为0， 可求出m的值得到直线的方程，然后利用点到直线的距离公式可求得结果 【详解】抛物线y2=4x的焦点为F(L,0), 直线y=x+m与抛物线只有一个公共点，说明该直线为抛物线的切线 将y=x+m代入y2=4x,得(x+m)=4x整理得x2+(2m-4)x+m2=0, 只有一个公共点，故判别式为0，即(2m-4)-4m2=0,化简得(m-2=m2,所以m=1. 此时直线为y=x+1,即x-y+1=0 点FL,0)到该直线的距离为d= 故选：C 40167 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式训练9-3变考法】(2025·云南模拟预测)设0为坐标原点，直线：y=c+1与抛物线C:x2=4y交 于A,B两点，与C的准线交于点M.若MA=2AB,点F为C的焦点，则△OAF与AOBF的面积之比为 () 3 B 3 C.4 D.2 1 【答案】B AF PA 【分析】分别过点4.B作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P,Q,则So BF QB 由此即可得解， 【详解】 R M 如图，分别过点A,B作抛物线准线的垂线，垂足分别为P,Q, 则AP=AF,BQ=BF,△APM~aBQM,抛物线C:x2=4y的焦点F(O,1), PA AM 2 直线1：y=:+1过定点F(O,1),因为△4PM-AMB0'M=2B 所以OB MB 3 AF PA 2 所以S.oF BF OB3 故选：B 【变式训练9-4变考法】(2025四川绵阳模拟预测)如图，过点M(-1,0)的直线交抛物线C:y2=2x于 A,B两点，点A在M,B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E,记直线AN 的斜率为k,直线ME的斜率为，当k=3k,时，△ABN的面积为() M A .1 B.2 C.5 D.2 【答案】A 【分析】联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理可解 41167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设lAB:x=y-1,lE:x=y+1,A(x,), B(x,2),E(G,), y2=2x 联立 K=my-1得y2-2mw+2=0 所以△，=4m2-8>0,即m2>2,y+为=2m,yy2=2, y2=2x 联立x=心+1得y-2w-2=0'4,=4n2+8>0’与+y=2n'⅓%=-2 所以⅓=男则飞=5”故=之。 x+1x+1· 又4=，所以可3解得名号则听=241=号 =3×-y 2 救H=m1+-45=店xv9-8=⑥ 2 2 点N到直线4B的距离d= 1+1-43 M 故选：A 【变式训练9-5·变考法】(2026广东佛山模拟预测)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,直线 I:m(x-1)+y=1与抛物线E相交于点A,B,与y轴相交于点C,则() A.4B=AF+BF B.AB<AF+BF BC BF BC BF-1 C.ACAF D AC AF-1 【答案】BD 【分析】将抛物线焦点代入直线，确定直线恒不过焦点F,再根据三角形两边之和大于第三边，判断AB 选项：抛物线的定义，结合直线与抛物线相交的性质，通过设点坐标建立相关等式，判断CD选项 【详解】抛物线E:y2=4x的焦点F(1,0),将F(L,0)代入直线l的方程m(x-1)+y=1,左边为0，右边为 1,等式不成立，故直线恒不过焦点F, 42167 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据三角形两边之和大于第三边，在AAFB中，AB<AF+BF,因此A错误，B正确 由抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线x=-1的距离，故对A(:,H)、B(x,2), 有：|AF=x+1,BF=x2+1, 即x=AF-1,x3=BF-1, 直线与y轴交于C,令=0得C0片，由于4，反，C三点共线，且4，B在航物线上，线段长度比等于 IBC1_Ix2-0I_五 横坐标差的绝对值之比：ACx-0x' IBCIBF-1 代入x=AF-1,x=BF-1,得：ACAF1- 因此C错误，D正确， 故选：BD 【变式训练9-6·变考法】 (2026河北保定二模)己知抛物线「：y2=2pr(p>0)上的点P(a,a)(a≠0)到T 焦点的距离为10， (1)求T的方程： ②)若直线：2x+y+t=0与T交于A,B两点，PAPB≤64，求t的取值范围. 【答案】1)y2=8x 2②)[-40，-8] 【分析】(1)根据抛物线的定义和几何性质，结合已知条件构造方程求出P,进而求出T的方程： (2)联立直线与抛物线方程，利用韦达定理化简PA·PB,结合己知条件构造不等式，解不等式求出的 取值范围. 【详解】(l)己知点P(a,a(a≠0)在抛物线上，则a2=2pa,解得a=2p, 抛物线r:y广=2pxD>0的焦点为号0 准线方程为x=-P 2， 由抛物线定义得口+？号=10，解得p=4 22 ∴.抛物线的方程为y2=8x (2) 43167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 联立直线1：2x+y+t=0与抛物线y2=8x得4x2+(41-8)x+2=0, 直线与抛物线交于A,B两点，则△=(41-8-1612=-641+64>0，解得1<1， x+x2=2-t 设 由韦达定理得 (x,y),B(x2,y2） -号 ∴y+y2=-2(x+x2)-21=-2(2-t)-2t=-4. y=(-2x-0-2x,-）=4x+2(6+53)+2=4×+2x2-)+2=4. 4 PA·PB=(x-8)(x3-8)+(y-8)(y2-8) =xx2-8(x+x2)+64+yy2-8(y+y2)+64 82-0+64+4-84)+64=+12+1 4 PAPB≤64， 4+121+144≤64，即2+48+320≤0解得40≤15-8” 综上可得，t的取值范围为[40，-8]。 >题型10 抛物线中的最值与范围问题难 例10□(2026河北三模)在平面直角坐标系x0中，设02,0)，若抛物线y=2px(p>0)上存在点P, 使得∠OPQ=90,则p的取值范围是() A.(0, B.(0,1) C.(1,+o) D.[l,+o) 【答案】B 【分析】根据圆与抛物线有交点转化为方程有正实数根求解. 【详解】因为∠0P0=90°，Q(2,0), 所以P点在以OQ为直径的圆上， 44167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 而以OQ为直径的圆的方程为(x-)'+y2=1, 又P点在抛物线上， 所以圆(x-1)+y2=1与y2-2x(p>0)至少有一个交点，且交点横坐标大于0， 即x2+2x-2x=0至少有一个正根，即x(x+2p-2)=0至少有一个正根， 所以x=2-2p>0,解得0<p<1 故选：B 例102(2026辽宁模拟)平面直角坐标系x0y中，动点P,0为抛物线C:y=2px(p>0)上不同象限内 的两点，且直线PQ的斜率为1，已知当直线PQ过C的焦点时，PO=8, (1)求C的方程： (②)求∠PO0的取值范围， 【答案】(1)y2=4x 【分析】(1)设直线PQ方程与抛物线联立，由弦长公式代入求解即可： (2)结合(1)的韦达定理表示出©os∠PO0,换元求范围即可 【详解】(1)由题设P(x,),Q(:,y),直线PQ的方程为y=x-m.当直线PQ过C的焦点时，有 2 y2 =2px x+x2=2p+2m 联立 =x-m'有x2-(2m+2p)x+m2=0故x,=m2 由于Pg=8,故Pg=V:-x+(y-》=8,代入解得p=2(负值舍去) 故C的方程为y2=4x (2)由题，0P=(:,y),00=(x,),由于动点P,Q为抛物线C:y2=4x上不同象限内的两点，故要 求y=-4m<0,即m>0.OP.00=xx2+yy2=m2-4m 则OP.0回=V+V天+乃=mm2+8m+32 则cos∠POQ= 0p.00 m-4 om.0@Vm2+8m+32' 令m-4=1则m=1+4>0故>4代入得os∠P00= t2+16t+80 45167 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当t=0时，cos∠PO0=0: os∠POQ=- 当 时，2,1，故此时 -4<t<0t2 os∠POQ= ∈(0,1) 当时，2>0故此时 t>0 综上所述，cos∠POQ∈ 又∠P0g∈(0，r）' 【变式训练10-1变考法】(2026贵州遵义开学考试)设抛物线C:y2=8x的焦点为FP为C上任意一点， O为坐标原点，M为线段FP的中点，则直线OM斜率的最大值为() 1 A.2 B.1 C.2 D.4 【答案】B 【分析】首先设点P的坐标，再表示点M的坐标，以及直线OM的斜率，利用基本不等式求最值 12 【详解】由己知， F(2,0)设P （由能物线的对帮能及半袋大，用0：期女个石产引】 t>0 8t 8 8 16+216 -≤ =1 于是直线OM的斜率为 116 t t …ts 当1，即，=4时等号成立，所以直线OM斜率的最大值为1 【变式训练10-2变考法】(2026陕西西安·月考)已知抛物线E:x=2y的焦点为F,其准线1与坐标轴交 于点K.P为E上一点，∠PF的平分线与y轴交于点M,则点M纵坐标的最大值为 3-2W2 【答案】 2 【分析】根据抛物线的方程求得焦点F及点K的坐标，设点P(x,y),M(0,),根据角平分线定理及基本不 1-t FM 等式可得M1+2 的取值范围，从而求得的取值范围，得到点M纵坐标的最大值 【解】联物线E2,的布线方程为”=名所以P®时KQ-古当点。在题点时，号知M0 1 46167 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当点不在原点时， 设p,≥0则-2-(--居 P咽-F++-号由角分线定理，得因园设a04行1分则 PF MF y2+y+ 1 2+y+4y2+3y+ 4 2 ,1 1 1 1-2 1 t t y2+3y+ y2+3y+4 y2+3+ 4 4y+ +3 4y 1 因为y>0 所以+动2P1,当仅当，即y时，等号成立片以+石34，所以 1 (1si-1 0< 2(22 ,解 +32t 1,即 -t1+t 4v 4v +22t< 0<ts3-22 2 3-2W2 所以点M纵坐标的最大值为一2 【变式训练10-3变考法】(2026辽宁沈阳二模)已知抛物线E:x2=2p(P>0),过焦点F的直线与抛物 线后相交于4，B丙点。与物发的雀线相交于点Q.若以线段4伊为直径作周，当比网经过点子0时， = (1)求抛物线E的方程； (2)证明：|OAFB曰OBFA: ⊙)若点C,D在抛物线因上，且线段CD的中点在直线，x上，点P行. 求APCD面积的最大值. 【答案】1)x2=y (2)证明见解析 47167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】（山由题意可得：焦点P0学，准线为号，h-以号设40号台，代入抛物线 方程可得好-0即p)设M0),则际-（行号=60-可}孕由忽意可得 际-函-（子X20-D+付号=0，解得p号所求抛物线方程为r=y (②)由题意可知，过焦点(0，子的直线斜率必定存在设过焦点0，子的直线方程为y=+4,A(,), 1 B(3,)令y= ,可得(2，≠0).将直线方程y=在+ 2k4 4代入抛物线B消)可得2-c-子0，由 1 FA y+a x+ 4 韦达定理可得 1·由抛物线定义可知 4 为+书2=k书3= FB 1 4 y2+ x+ 4 4 2 l24 x-xol + |2x,+1|2k1+x2)x+1 2x2+ 2k FA 由相似三角形可知Q x2-xol 1 +2k 2c2+1 |2(6+x)x3+1 FB 所以OAFB=|OBFA (3) VA 1=X/ 设CD的中点为，)，C(,3),D(x4,4).则3+x4=2t,+y4=2t 由为=写=可得写+=2，则+护兮别=Y- 所以弦长CD=V-x4}+(-y4}=2Vf1-)V1+4te[0, 由腰意可知直线CD的斜率存在且如=名是-是三=名+书，=x 3-X4X3-x4 48167 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以直线CD的直线方程为y-t=2(x-t),即2r-y-2t2+t=0 则点P)到直线。n的距离= 2r2-2f+1 2t2-2t+1 CD V4t2+1 V4t2+1 所以所求面积S=Vt1-0(2r2-2t+1t∈[0,1) 令0=00.则g2片5.-+令5-0可得 61 所-2-0气上.在 6 6‘上单调递减 当us 6时，÷6 9所以△PCD面积的最大值为g 方法技巧 格物线上的点到点的面器化为到的离。合“点之何” 可现、巧炒地求出信 题型11 抛物线的实际应用难 例11-1随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了 重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为0米，拱形最高点 与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的 闪光灯距离水面的距离为()（结果精确到0.01） 49167 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4.96 B5.06 C.4.26 D.3.68 【答案】A 【分析】先设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点(5，-6)，把点代入抛物线方程即可求出P,根据竖直 悬挂的闪光灯距离水面的距离为2， 即可求出答案 【详解】如图， 6 10 设该抛物线的方程为x=-2p少，易知抛物线经过点(5，-6)， 25 p25 所以52=-2×(-6)，解得P=12,故该抛物线的项点到焦点的距离为224， 故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为：d-6-2 24 2≈4.96米 故选：A 例11-2如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保 证发出的光线经过反射之后平行射出.已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm.为了使反射的 光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm,并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照 灯的深度为. cm 光源 【答案】60.5 【分析】由已知条件建立平面直角坐标系，并求得方程，根据题意即可求得 50167 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开 口方向是x轴的正方向)，如下图所示： P(40,50) 则可设抛物线的方程为y=2px,由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点P(50,40), 代入抛物线方程得402=2p×50,解得p=16,所以抛物线的方程为y=32x, 88=44 当灯口圆的直径增大到88cm时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点坐标为 将y=44代入抛物线方程求得x=60.5,此时探照灯的深度为60.5cm. 故答案为：60.5 【变式训练11-1·变考法】在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举.如图所示，某抛物线 形拱桥的桥拱跨度为10，拱高为4m,以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为'轴，建立平面直角坐标系， 则桥拱所在的抛物线的标准方程为() m 10m A.x2= 25 B.x2=-25 C.x2=-25, D.x2=-25y 【答案】B 【分析】设抛物线的标准方程为x=-2p少(p>0),由题意可知，点(5，-4)在抛物线上，代入即可求得p值， 进而可求得抛物线的标准方程 【详解】根据题意，设抛物线的标准方程为x=-2py(p>0), 因为抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m,拱高为4m, 所以点(5，-4)在抛物线上， 代入可得5=-2px(4),解得P=名，所以抛物线的标准方程为=-25 25 故选：B 51167 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式训练11-2新情境】(2026湖北荆州模拟)清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有 “温润”“淡远”“清新”的特征.如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3C, 碗盖口直径为8cm,碗体口直径为l0cm,碗体深6.25cm,则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直 距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）() A.5cm B 6cm C.7cm D.8.25cm 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为x2=2py(p>0),将点(5,6.25)代入求出p, 即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h(cm),则两抛物线在第一象 限的交点为(4，h-3),代入方程计算可得 【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示 设碗体的抛物线方程为x2=2py(p>0),将点(5,6.25)代入，得52=2p×6.25, 解得p=2,则x2=4y, 设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h(cm), 则两抛物线在第一象限的交点为(4，h-3),代入到x2=4y,解得4=4(h-3),解得h=7. 故选：C 【变式训练11-3新情境】世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究 用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用.目前世界上太阳灶的利用相当广泛， 技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力 推广的太阳能利用装置.如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m,高为0.25m的抛 物面，则其轴截面所在抛物线的项点到焦点的距离为() 52167 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0.25 A.0.25 B.0.5 C.1 D.2 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得P,然 后可得 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 0.25 0.5 设抛物线的方程为x2=2py(p>0),由图可得点(0.5,0.25)在抛物线上，即0.52=2p×0.25,解得p=0.5, 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为025 故选：A 【变式训练11-4变考法】(2026·河北唐山模拟)某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验， x2.y2 如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为100十251，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线） 后返回的轨迹是以y轴为对称轴， 0 36 5 为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B),已知观测点A的坐 标为(6,0)，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令. (1)求航天器变轨时点C的坐标； (2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离. 【答案】1)(6,4) (2)3 53167 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)由4C=4和C点在椭圆上联立得方程组，解方程组得出点的坐标 (2)由抛物线的顶点和C点坐标求出抛物线的方程，再求出降落点B的坐标，从而求出降落点与观测点 之间的距离 【详解】(1)(1)设C(x,y),由题意，4C=4,即Vx-6+y2=4,得(x-6)+y2=16 又c)点上在6云-1，所以联立得方程组 x-6)2+y2=16 10025 2+4y2=100 解方程组得x=6或x=10(舍去)，当x=6时，y=4, 由图可知y>0,所以y=4, 故C的坐标为(6,4) (2)(2)由题意设抛物线的方程为y=-mx2+n, 因为懒物线经过点C64)(0)。 所以n=6,4=-36mx6 5,解得ms4 5236 ,即y=- 5· 令y=0可得x=9或x=-9(舍去)，即B(9,0), 所以AB=|OB-OA=3 故航天器降落点B与观测点A之间的距离为3. 真题溯源•考向感知 一一溯源真题逻辑，感知高考考向 1.(2026全国一卷高考真题)己知抛物线C:y=2px(P>0)和C2:x=2py(P,>0)均经过点 (4,8),则C的焦点与C2的焦点之间的距离为() V65 A.12 B.4N5 C.6 D 2 【答案】D 【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数P,P?,再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后 代入距离公式计算即可· 【详解】：抛物线C:y=2Px(p1>0)经过点(4,8)， ·将x=4,y=8代入C的方程得8=2p,4,即64=8p,解得P=8 54167 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “C的焦点坐标为5（台0 即F(4,0) :抛物线C:x=2p2y(p2>0)经过点(4,8)， “将x=4,y=8代入C2的方程得4=2P28,即16=16p2,解得P2=1. ：C的焦点坐标为0号)，即50) 根据两点间距离公式，乃与B之间的距离为： r40哥-6 故选：D 2.（多选)(2026全国二卷高考真题)已知抛物线E:y2=8x,斜率为k(k>0)的直线1经过点(-1,0) 等边三角形ABC的顶点A在E上，顶点B,C均在I上，下列结论正确的有() A.E的准线方程为x=-2 B.若I与E没有公共点，则k>V2 C.若I与E的唯一公共点为B,则E的焦点在直线AB上 5 D.若k=2,则。4BC面积的最小值为15 【答案】ABD 【分析】A选项，根据抛物线方程得P,进而得出准线方程；B选项，设直线！为y=k(x+),和抛物线方 程联立消去x,令△<0求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点B,假设AB过焦点，则得到 k4B,根据两直线的夹角的公式推出∠ABC的正切值，从而判断：D选项，可将问题转化为抛物线上一点 到直线的距离最小值来处理 【详解】A选项，)广=8x=2p,则p=4故准线x=一号-2，A选项正确 B选项，设直线I为y=k(x+),则8y=8kx+8k, 联立y2=8x得到，2-8y+8k=0, 直线和抛物线无交点，则△=64-32k2<0, 结合k>0,解得k>√2，B选项正确： C选项，由联立方程2-8y+8k=0, 若I与E相交于唯一点B,只可能是相切， 55167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则△=64-32k2=0,解得k=V2, 此时2y2-8y+82=0,解得y=22,进而得x=1,则B,22), 若AB过焦点F(如图)，由于B,2W2),F(2,0),k=-22,而kc=V2, 根据倾斜角的定义，tan/BFx=-2v2,tan∠BPF=√2， 而∠ABC=∠BF-∠BPF·比时∠ABC的正切值为22：225， 1-4 即∠ABC≠60°，这与△ABC为等边三角形矛盾，C选项错误： D选项，当k=2,此时直线方程为y=2x+2, 2 (t-2)2 设小 到的距离为d= 1+2 +1 4 5 即等边三角形的高的最小值为5，此时面积S )xdx 2dd2、5 55之15，D选项正确 C选项方法二：求得B,22),则BP=（-2,-2V2),BF=山，-22)。 则cOs∠PBF BP.BE -2+(-22)j 3,1 BP·BF -2y+(-22+(-22j 3+2, 则∠∠PBF≠60°，抛物线E的焦点不在直线AB上，故C错误 D选项方法二：A到BC的最小距离可转化为抛物线和BC平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于kc=2,设直线m为y=2x+n, 联立y2=8x,得到y2-4y+4p=0, 由△=0→n=1,此时直线m为y=2x+1, 由平行线的距离公式可推出，m直线间距离为5，其余同上 56167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA C 故选：ABD 3.(多选)(2024新课标Ⅱ卷高考真题)抛物线C:y=4x的准线为1，P为C上的动点，过P作 ⊙A:x2+0y-4)2=1的一条切线，9为切点，过P作I的垂线，垂足为B,则() A.1与⊙A相切 B.当P,A,B三点共线时，IPQ卡V5 C.当PBF2时，PA⊥AB D.满足PAHPB的点P有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为x=-L,根据圆心到准线的距离来判断：B选项，P,A,B三点共线时，先 求出P的坐标，进而得出切线长；C选项，根据PB=2先算出P的坐标，然后验证kk=-l是否成立： D选项，根据抛物线的定义，PB=PF,于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AE 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线y=4x的准线为x=-1, ⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径， 故准线！和OA相切，A选项正确： B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥1，则P的纵坐标n=4, 由2=4x,得到，=4，故P(4,4), 此时切线长Pg=VPA-r2=V4-1P=5,B选项正确： C选项，当PB=2时，p=1,此时=4xp=4,故PL,2)或PL,-2), 当P0,2)时，40,4.B-1,2）kp1=0- 22.w0号-2 不满足kp4kB=-l: 当u-时：408l2小6a得-6，仁-6 0-1 57167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不满足kkAB=-1: 于是PA⊥AB不成立，C选项错误： D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，PB=PF,这里F1,O), 于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题， 11 AF中垂线的斜率为飞4： 2x+15 于是4的中垂线方程为：y= 8二，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0, △=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个P点，使得PA=PF,D选项正确 方法二：（设点直接求解） 设P PB11可得B(-1,）又40,4'又PA=P8, 根据两点间的距离公式， +-4-子+1，整理得-16+30=0 V16 4 △=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解， 即存在两个这样的P点，D选项正确 故选：ABD Y 故选：ABD 4.(2025北京高考真题)己知抛物线y=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p= 【答案】6 【分析】根据抛物线的几何性质可求P的值 58167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为号，故号-3，故=6， 故答案为：6 5.(2024上海高考真题)己知抛物线y=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为 【答案】4V2 【分析】根据抛物线的定义知，=8，将其再代入抛物线方程即可 【详解】由y2=4x知抛物线的准线方程为x=-1,设点P(xo,),由题意得x+1=9,解得，=8， 代入抛物线方程y2=4x,得6=32，解得%=±4V2, 则点P到x轴的距离为4V2 故答案为：42， 案为：(4,0) 6.(2024天津高考真题)己知圆(c-1)+y2=25的圆心与抛物线y2=2pr的焦点F重合，且两曲线在第 象限的交点为A,则原点到直线AF的距离为 【答案】50.8 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及AF的方程，从而可求原点 到直线AF的距离 【详解】国K-+y-25的圆心为FL,0),放号=1即p=2: (x-1)2+y2=25 由 y2=4x 可得 +2x-24=0故=4或=-6含)， 故44,4，故直线4F:y-)即4r-3y-4=0 故原点到直线A 的距离为d=4、4 55 故答案为：5 课本典例高考素材 一一立足课本典例，挖掘高考素材 1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： 59167 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )x2=2y;(2)4x2+3y=0;3)2y2+x=0;(4)y2-6x=0 【答案】 0准点4华标为0，宁，准线方程为：少= 2 3 2)焦点坐标为(0， 161 准线方程为：y= 16: 3)焦点坐标为 0 1 8 准线方程为：x= P. 3 3 (4)焦点坐标为 0 准线方程为：x= 2 【详解】(1)抛物线x2=2y的焦点坐标为(0，)， 准线方程为：y=一 2 (②)抛物线4r2+3y=0的标准方程为：=-3 ，抛物线的焦点坐标为(0，- 4 ，准线方 程为：y=16 )物线2y+:=0的标准方为：广方，斯物线的点华标为令0】 准线方 程为：X=8 3 (4)抛物线y2-6x=0的标准方程为：y2=6x 抛物线的焦点坐标为 30 准线方程 3 为：x= 2 2. 已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M与焦点F的距离MF=2p,求点M的坐标 【答案】 p,±v3p 【详解】因为抛物线y2=2Px(p>0)上一点M与焦点F的距离MF=2p, P 3P 所以v+22p,所以xw=2,进而有w=±3p,所以点M的坐标为： 60167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 .+p 3 故答案为： p,p 3.在抛物线y2 =4x上求一点P,使得点P到直线y=x+3的距离最短. 【答案】当P(1,2)距离最短为√2 【详解】根据题意设P 4% 所以点到直 D y=x+3的距离为： 22 当且仅当 时等号成立，此时 所以 2 √2 y%=2 P(1,2) 当P(1,2)时，点P到直线y=x+3的距离最短，为V2 4.己知等边三角形的一个顶点位于抛物线y=2px(P>0)的焦点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个等边三角形的边长， 【答案】(4±2V3)p. 【详解】因为抛物线y=2px(p>O)关于x轴对称，设等边三角形的一个顶点C位于抛物线 y2=2px(p>0)的焦点，另外两个顶点A,B在抛物线上，所以两个顶点A,B关于x轴对称， m m2 所以设A ,m,B -m 2p 2p 由于抛物线的焦点坐标为F(号，0)，所以等边三角形的边 p m2 p m2 3 长为2m高为22p 所以 2p 2m,解方程得 m=(2±V5)p'所以等 边三角形的边长为(4±2W3)p, 5.如图，M是抛物线y2=4x上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、M为终边的角 ∠xFM=60°，求FM|. 61167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】FM=4 【详解】抛物线y=4x的准线为x=-1,过M作MB垂直于直线x=-1,垂足为B,作 FA⊥MB于A,直线x=-1与x轴交于点K,如图： 则MB//x轴，即∠FMB=∠xFM=60°，四边形ABKF是矩形，Rt△MFA中， MA作，FM,由抛物线定义知MBHFMI'FL,O,而 MA+|ABHMB ABH KF2,则2FM+2FMI,解得FM=4:所以FMI =4, 6.如图，直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点，求证：OA⊥OB. y=x-2 【详解】由=2x得y2-2y-4=0设4(x,,Ax,)则有，=4 -号茎--4,0丽0丽=+%=4+=0即105清 OA⊥OB 62167 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(P>0)上，求这 个等边三角形的边长 【答案】4v3p 【详解】设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且设点A(,y)、B(x,y2), 则y2=2p%,y3=2px2,又|OA曰OB,.x+y=号+，即 (x2-x)+2p(x-x)=0,.(x-x2x+x2+2p)=0,又x>0,x2>0,2p>0, ∴x=x2,由此可得乃2，即线段AB关于x轴对称，x轴垂直于AB,且 ∠AOx=30°' :4=tan30=5 2p'片=23p'六|AB=2y=4V5p 8.从抛物线y=2Px(p>0)上各点向x轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明 它是什么曲线 【答米】广方以：顶点在龈点，焦点为发0).开和向右的批物线 【详解】设抛物线上的点Mxo,o),过M作MQ⊥x轴于O,设线段MQ中点P(x,),于是 Xo=x 2y而店=2p心厘2=2·从而得y产-方m,当M为他物战顶点时可 有 视为过M作x轴垂线的垂足Q与点M重合，其中点P与M重合，坐标也满足上述方程，所 以手线段的中点的轨迹方程是少广-以，它是顶点在原点，焦点为兮0)，开口向右的抛 物线 9.如图，已知直线与抛物线y=2px(p>0)交于A,B两点，且OA⊥OB,OD⊥AB交AB 63167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点D,点D的坐标为(2,1)， 求p的值 y B 【答案】4 D2.,a:OD148kE-2,则直线B的方程 y-1=-2(x-2),即y=-2x+5,设AB两点的坐标分别为A(x,),B(x2,y2),联立 y2=2px =-2x+5滞得：y广+m-5p=0'y=-5p:0M108 OA.0B=xx+yy=1·2+y- 25-5p=0,p= 5 2p 2p 10.己知A,B两点的坐标分别是(-1，O),(L,O),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的 斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程， 【答案】y=1-x2,(x≠1) 【详解】设Mc),则w-kw=上- x+1x-1 ,=2,整理，得y=1-x2，(x≠±) .动点P的轨迹方程是y=1-x2,(x≠士).故答案为：y=1-x2,(x≠) 11,设抛物线的顶点为O,经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于B,C两点，经过抛 物线上一点P且垂直于轴的直线与轴交于点9.求证：|PQBC‖O01. x= p 【详解】设抛物线方程为 则焦点为 0 联立 2 解 2=2px(p>0) y2=2px(p>0) 64167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得，=士p 则8号P，小c号-P 8C-p=2p设P2m,2pm)小则 Q(2pt2,0),P9月2pt,|00=2pt2,则 BC1xO0=2p×2pt2=4p2t2=(2pt)2=PQP,所以PQI是|BC1和OQ1的比例中项， 12.如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽为7m,高为0.7m.根据图中的坐标 系，求这条抛物线的方程。 0.7 【答案】x2=35 y,y∈0,10 7 【详解】根据图形，设抛物线的方程为y=m(a>0)，则该抛物线过点B(2,0.7)，.a 7 2 该抛物线的方程为y=2x即r=35 7 =0.7,解得a= 2 35 35 10 13.设抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,从点F发出的光线经过抛物线上的点M(不同于 抛物线的顶点)反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴， 【详解】不妨假设点M在第一象限，设Ma,b)(b>0),抛物线y2=2px(p>0)在第一象限 内的解析式为y=V2px0,从而有/= 记抛物线在点M处的切线为直线I,过点 2x M且垂直于切线I的直线记为，则直线I的斜率是 直线m的斜率是 所以直 2a 线m的方程为y-b=-, （x-）,设点F关于直线m的对称点为G,,.线段N的中 \P 65167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点为O,则点O在直线m上，且直线FN⊥m,由题意可知F 卫，0 则24） 从 而有-b= 2a 2s+卫-a ①因为FN⊥m,所以直线FN的斜率 S、p a ②，由②可得s=t D 化简得 ④，因为点M(a, 在y=2px上，所以6=2pa 将b2=2pa代入④可解得t=b,所以点M的纵坐标等于点N的纵坐标，所以FNx轴，即 符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴 同理可证，当点M在第四象限时，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴 综上可知，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴 14.如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求 行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m.已知行车道总 宽度AB=6(m),那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？（精确到0.1m) 抛物线 6m 8m 【答案】3.25 【详解】取隧道截面，抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，(4,4)，设 抛物线方程x=-2Py(p>0),将点C代入抛物线方程得p=2,抛物线方程为x=-4y, 行车道总宽度AB=6m,将x=3代入抛物线方程，y=-2.25m,限度为 6-2.25-0.5=3.25m.答：车辆通过隧道的限制高度是3.25米. 66167 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y个 O 6m ↓2猫 4+ 6初 B Sin 67/67画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第07讲抛物线及其性质 内容导航 命题透视考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 思维建模•脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 知迟解构 知识精讲•靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识，点1抛物线的定义 知识点2抛物线的标准方程与几何性质 题型破译（含超链接） 题型1抛物线的定义及应用重 题型2抛物线的标准方程重 题型3抛物线的焦点坐标及准线方程 题型4抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型5抛物线的轨迹方程 【方法技巧】求抛物线轨迹方程的方法 题型6抛物线的焦半径问题 【方法技巧】 抛物线焦半径问题的解题技巧 题型7抛物线的几何性质重 题型8抛物线中三角形、四边形的面积问题 题型9直线与地物线的位置关系重 题型10抛物线中的最值与范围问题难 【方法技巧】最值、范围问题的求解策略 题型11抛物线的实际应用难 真题溯源考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 课本典例高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 1/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 命题透视考情前瞻 一一对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 抛物线的方程与性质 全国I卷T5(5分) 全国Ⅱ卷T6(5分) 直线与抛物线的位置 全国Ⅱ卷T11(6分) 全国I卷T10(6分) 全国Ⅱ卷T10(6分) 关系 抛物线命题聚焦于抛物线的定义、焦点与准线的求解、焦半径公式、直线与 考情分析 抛物线相交的弦长及轨迹方程等考点，题型涵盖选择题、填空题、解答题。 近三年考情显示，考查形式上，既存在对抛物线定义、焦点准线等单一知识 点的直接考查，也常与双曲线离心率、圆的方程、导数、基本不等式等知识综 合，且“根据抛物线方程求焦点或准线”为高频考查点，体现出对抛物线核心概 念、运算能力及知识综合应用能力的重视。 复习目标 1.理解、掌握抛物线的概念，能够求解抛物线的标准方程； 2.能掌握抛物线的几何性质： 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与抛物线的位置关系问 题； 4.会解抛物线的弦长，与面积等问题 思维建模•脉络梳理 一一搭建知识框架，构建系统思维 2/21 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义 抛物线的定义 抛物线集合语言表示 抛物线及其性质 标准方程 图形 顶点 抛物线的标准方程与几何性质 焦点 准线 焦半径 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 >知识点1抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线1不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作 点F 叫作抛物线的焦点，直线1叫作抛物线的 (2)集合语言表示 设点Mx,)是抛物线上任意一点，点M到直线I的距离为d,则抛物线就是点的集合P={MMF=d. 自主检测(2026北京丰台三模)若点P(x,2)为抛物线)y2=4x上一点，则点P到其焦点的距离为 A.2 B.4 C.6 D.8 >知识点2抛物线的标准方程与几何性质 标准 y2=2px(0D>0) x2=2y(0p>0) x2=2y0>0) 方程 y2=2px0p>0) 3/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )4 图象 FO* 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴0 对称轴x=0 焦点 r唱 (号 r0,引 r0-引 准线 =-号 =号 v=-号 =号 离心率 e=1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 MF1=+号 Mr1=-+号 MP=h+号 IMFl=-yo+ 焦半径 范围 X20 x≤0 y20 y<0 自主检测 (2026湖南怀化二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为P,过点F的直线与C交于 FA A,B两点（点A在第一象限），若直线AB的斜率为、5，则FB =() B.2 C.4 D.3 ◆必记结论◆ 1、焦半径 抛物线上的点P(%)与焦点F的距离称为焦半径，若y=2x(p>0),则焦半径 PF=x+ PF-号 2、与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 设AB是过抛物线y2=2x(p>0)焦点F的弦，若A(x1,M)，B(x,2)，Q为弦AB的倾斜角，则： p (1)= P (2)AFI-I-cosa I BFI-+cos 4/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2p (3)弦长1AB|=x十为十卫 sin2a 1 12 (4)1 FI+BFT-P (5)以弦AB为直径的圆与准线相切： (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切： (7)过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p(通径) 题●型●破●译 >题型1抛物线的定义及应用重 例1回坐标平面内到定点F(~1,0)的距离和到定直线1：x=1的距离相等的点的轨迹方程是() A.y=2x B.y2=-2x C.y2=4x D.y2=-4x 例1-2(2026湖南邵阳模拟)己知抛物线C:y=2x(p>0)C上一点M(2,m)到焦点的距离为4，则 p=() A.1 B.2 C.4 D.8 【变式训练1-1已知动点M(x,)到定点F(L,0)的距离比它到y轴的距离大1，则动点M的轨迹为() A.抛物线 B.射线 C.抛物线和射线D.抛物线和直线 【变式训练1-2】已知抛物线x2=6y上的点M到焦点F的距离为4，则点M到y轴的距离为() A.22 B.4v2 C.25 D.15 【变式训练1-3·变考法】已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y=2x的焦点，另外两个顶点在抛物线上， 则这个等边三角形的边长为() A.2-5 B.2±V3 C.4-25 D.4±2√3 【变式训练1-4变载体】如图，设抛物线y=8x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B, AB C,其中点A,B在该抛物线上，点C在y轴上，若FM仁9'1FB卡4：则BC =() 5/21 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 B.3 2 C.2 D.4 【变式训练1-5·变考法】(2025北京模拟预测)已知抛物线C:y=8x的顶点为0，焦点为F,点P在C 上，点Q与点P关于y轴对称若QF平分∠PFO,则点P的横坐标为 ●题型2 抛物线的标准方程重 例2-(2026北京海淀阶段检测)点M(5,3)到抛物线y=a2的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方 程是() 2'或2=- 1 A.x2=12y B.x2= 36y 6 D.x2=12y或x2=-36y 例22(2026山西晋中三模)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与C交于A,B两点， 过点B分别向C的准线作重线，垂足为不B,若+B例-4B中点的纵坐标为2，则C的方程为 () A.y2=3x或少 3x B.=4或2= 4 C.y=6x或= 8 3 D.y=8x或y=2 【变式训练2-1变考法】(2026河南南阳阶段检测)以坐标原点为焦点，直线y=2为准线的抛物线的方 程为() A.x2=-4y-4 B.x2=-4y+4 C.x2=4y+4 D.x2=-2y+2 【变式训练2-2变考法】(2026北京·二模)己知点（-2，-)在抛物线C:x2=y上，则抛物线C的准线方 程为() 6/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x=2 B.x=1 C.y=2 D.y=1 【变式训练2-3变考法】已知抛物线C:y=2x(p>0)的焦点为F,C上一点M(o)(≠0)满足 IMF上5，则抛物线C的方程为() A.y2=2x B.y2=x C.y2=8x D.y2=4x 【变式训练2-4变考法】(2026山东济南模拟预测)已知0为坐标原点，F为抛物线C:y=2px(p>0) 的焦点，点M(x,4)在C上，且MF=2OF,则C的方程为(). A.y2=4x B.y2=8x C.y2=2x D.y2=x 一题型3抛物线的焦点坐标及准线方程 例3-(2026河南二模)抛物线2x2+y=0的焦点坐标为() 0,8 c.(0) 例3-2(2026山东聊城三模)己知点P(-2p,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，则C的准线方程为 () A.x=- B.x=- 2 C.y=-1 4 【变式训练3-1】抛物线方程为y= 4,则此抛物线的准线为（） 1 A.x=- 16 B.y=- 16 C.x=-1 D.y=-1 【变式训练3-2】抛物线y=-2x的焦点坐标为() A.(0-2) c.( 【变式训练3-3·变角度】(2026山东泰安·模拟预测) 已知抛物线x2=-2py(p>0)的准线平分圆 x2+(y-2)2=1,，则p=() A.2 B.4 C.6 D.8 【变式训练3-4变载体】(2026·贵州遵义·模拟预测)己知等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线y2=-8x的准线交于A,B两点，4B=2,则C的实轴长为() A.43 B.6 C.23 D.3 【变式训练3-5·变考法】（多选）已知抛物线x=4y的焦点为F,A,B是抛物线上两动点，下列说法正 7/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 确的有() A.抛物线的焦点坐标为F(O,-) B.若AF+|BF上8，则线段AB的中点到x轴的距离为3 C.以线段AF为直径的圆与x轴相切 D.以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切 ●题型4抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 例41(2026陕西咸阳模拟预测)己知点M(1,-2),点P在抛物线y2=8x上运动，点Q在圆 (x-2)+y2=1上运动，则PM+P的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 例4-2【新思维】【多选】(2026甘肃甘南模拟预测)己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A(,3),P 为C上的动点，则() 3 A.满足PA=PF的点。恰有两个 B.满足△PAF面积为2的点p恰有三个 C.PA+PF的最小值为3 D.PA-PF的最小值为-2 【变式训练4-1变考法】(2026云南模拟预测)已知直线1：4x-3y+11=0和直线2：x=-1,抛物线 y=4x上一动点P到直线和2的距离之和的最小值是（) 16 A.2 B.3 C.5 【变式训练4-2变考法】(2026福建莆田·模拟预测)（已知直线1：x=-5,点P3,0),点4(4，），动点2 到点P的距离比到直线I的距离小2，则A+P的最小值为() A.4 B.6 C.7 D.8 【变式训练43变考法】(2026贵州贵阳模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,M为C上的动点，N 为直线I:x+V3y+3=0上的动点，设点M到y轴的距离为d,则MN|+d的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练44原创题】已知点P是抛物线y=8x上一动点，点Q在圆(x-5)+y=1上运动，则P与Q 两点间最短距离为 >题型5抛物线的轨迹方程 例5-1【新思维】如图，点E为矩形ABCD边AB的中点，以动直线I为折痕将矩形在其下方的部分向上翻 折，每次翻折后点E都落在边CD上，记该落点为F,过点F作FP垂直CD交直线I于点P,则点P的轨迹 8/21 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为()的一部分 D B A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 例5-2)已知动点P到定点4,0)和定直线x=3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为() A.y2=4x B.y2=-12x-4) C.若x23,则y=4x;若x<3,则y2=-12(x-4) D.若x≤3，则y2=4x;若x>3,则y2=-12(x-4) 【变式训练5-1】已知点M(2,2),直线：x-y-1=0,若动点P到1的距离等于PM,则点P的轨迹是 () A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 11=1,则 【变式训练5-2变载体】设点A山，2)，B1,-2),P为动点，记AP,BP的斜率分别为k,k,且k 点P的轨迹方程为() A.y2=8x B.y2=8x(x≠1) C.y2=4x(x≠1） D.y2=4x 【变式训练5-3变载体】已知点P(x,y)满足V(x-1)+y2=x+,Q(4,0),则Pg的最小值为() A.2 B.2√2 C.2V5 D.4 【变式训练54变考法】在平面直角坐标系xOy中，点P到点（山，0）的距离比点P到直线x=-3的距离小2， 记动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程： (2)已知直线I过点C(2,0)且与曲线E交于A,B两点，求OA.OB的值 9/21 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法技巧求抛物线轨迹方程的方法 (1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程： (2)定义法：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线 >题型6抛物线的焦半径问题 例6-1(2026安徽安庆模拟)已知抛物线C:y=2pr(p>0)的焦点为F,过点F且垂直于x轴的直 线与C交于A,B两点，AB=8,点D(3,)在C上，则DF=() A.4 B.5 C.6 D.7 例62(2026江西模拟预测)已知抛物线y=2px(p>0)的顶点为0，焦点为F,过点F的直线交抛物线 于A,B两点，若AF=2BF,则sin∠OAF= 【变式训练6-2变考法】己知0为坐标原点，F为抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点，点M(x,4)在C上， 且MF=2OF,则p=() A.1 B.2 C.4 D.8 【变式训练6-3·变考法】(2026江西宜春·模拟预测)已知抛物线C:y=8x的焦点为F,若点P为C在第 象限内的一点，且PF=6,则直线PF的斜率为： 【变式训练6-4变考法】设F为抛物线C:y=8x的焦点，点P为C上一点，过P作y轴的垂线，垂足为 A,若|PF卡3PA,则cos∠FPA=_ π 【变式训练6-5·变考法】(2026湖北模拟预测)过抛物线y'=4x的焦点F作倾斜角为3的直线↓，1与抛 AF 物线交于A,B两点(A在x轴上方)，则 BF 方法技巧 抛物线焦半径问题的解题技巧 若AB为抛物线广=2pp>0)的焦点弦， Ax,y),B(,),则有以下结论： 10/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1) 4 (2)3=-p2 (3)焦点弦长公式1：AB=++P,+为之2√书=P,当=时，焦点弦取最小值2P,即所 有焦点弦中通径最短，其长度为2p」 AB=2p 焦点弦长公式2： sina(x为直线AB与对称轴的夹角)· (4)△4OB的面积公式： SAAOB 2sina(a为直线AB与对称轴的夹角)·一一一--一 题型7 抛物线的几何性质重 例7-1【多选】【新思维】(2025·山西模拟预测)已知抛物线M:y=4x,焦点为F,过F的直线交M 于点A,B,其中A(:,出)在第一象限，B(x,)在第四象限，O为坐标原点，连接BO交抛物线的准线 于点C,则下列说法正确的是() 1 A,AB的最小值是4 B.丽+丽2 16V3 C.直线AC平行于x轴 D,△ABC的面积的最大值为) 例7-2【多选】【新思维】(2026陕西咸阳阶段检测)设0为坐标原点，直线V5x+y-V5=0过抛物线 C:y2=2x(p>O)的焦点，且与C交于M,N两点(M在第四象限)，1为C的准线，则() A.的方程为x=-1 B.M-9 C.以MN为直径的圆与相交 D.△OMN为钝角三角形 【变式训练7-1变载体】(2026新疆喀什·阶段检测)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,点 A是C上一，点点B是其准线上一点，若AF⊥ar.HFl-5,B-,则p的值为() A月 B.1 D.2 【变式训练7-2变考法】【多选】(2026河北邢台模拟)已知抛物线C:y=4x的焦点为F,其准线1与x 轴交于点A,O为坐标原点，过F的直线与C交于B,D两点，过B,D作I的垂线，垂足分别为E,G, 则() A.若直线BD的斜率为1，则BD=8 B.以BD为直径的圆与y轴相切 C.EF⊥GF D.B,O,G三点共线 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式训练7-3变考法】【多选】(2026广东广州模拟)已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,准 线为l,过点F作斜率为k(k>O)的直线与C相交于A,B两点，D为弦AB的中点，DE⊥I于点E,G为 DE与C的交点，则() A.AE⊥BE B.AB⊥EF C.GDl≠|GE D若派隔且2》 (43,则的取值范围为 626 【变式训练7-4·变情境】【多选】(2026河北承德模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线 经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出·反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必 过抛物线的焦点已知跳物线C:y=xO为坐标原点。一克半行于，抽的光线从点P)入.经c士 的点A(x,)反射后，再经C上另一点B(x)反射后，沿直线2射出，经过点9，则() A.BP平分∠ABQ B.y2=-1 C.直线AO,直线BQ与抛物线C的准线相交于同一点 D.点M是)鞋上一动点，与M4+Ms最小时，点的丝标为Q-引) 题型8抛物线中三角形、四边形的面积问题 例8-1(2026·广西河池模拟预测)己知抛物线C:y=8x的焦点为F,其准线与X轴交于点K，以F为圆 心，FK为半径的圆与抛物线C在第一象限的交点为P,则△PKF的面积为() A.1 B.2 C.4 D.8 例8-2【新思维】(2026湖北武汉·模拟预测)己知点M在曲线y2=4x上，过M作圆 C:(x-3+y2=1的切线，切点分别为A,B,则四边形MACB的面积的最小值为() A.2√2 B.√万 C.3 D.9 【变式训练8-1·变载体】已知抛物线C:=8x的焦点为F,准线为1，过点F的直线交C于P,O两点， PH⊥1于H,若HF=|PF,O为坐标原点，则△OFH与AOFO的面积之比为() A.8 B.4 C.3 D.2 【变式训练8-2变考法】(2026安徽模拟预测)己知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,过点F且倾 12/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 斜角为120的直线1与抛物线C交于M,N两点.O为坐标原点， 若MN-兰.则AOMN的面积为 () A.43 8V3 B 3 3 C36 3 D.4W5 【变式训练8-3变设问】(2026河北保定模拟预测)已知抛物线C:y=8x的焦点为F,其准线与x轴交 于点B,过点E且斜率为负的直线交C于A,B两点（点A在点B的左鲫，若an乙AFB= 7'点D8,8, S=() △DBF的面积为S,△ABF的面积为S,则S= A.5 B.4 C.3 D.2 、题型9直线与抛物线的位置关系重 例9-1(2026·甘肃酒泉·二模)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，点P(4,m)在 抛物线C上，且P=6过焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线C于A,B两点，则AB=() A.8 B.12 C.16 D.20 例9-2（多选）【新思维】(2026江苏盐城模拟)已知抛物线C:y=2x的焦点为F,直线l过点F且与抛 物线C交于P,Q两点，其中M为PQ的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的为() A若直线的方程为y=x分则M PF +OF 1 B.PFOF2 C.点M的轨迹方程为2y2=2x-1 D.IPOP=4OM+3 【变式训练9-1·变考法】(2026陕西西安模拟预测)己知直线1过抛物线C:y=x的焦点F,与抛物 线C交于A,B两点，且线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为(） 3 5 A.2 B.2 C.2 D.3 【变式训练9-2变考法】(2026山西忻州模拟预测)已知抛物线C:y=4x的焦点为F.若直线y=x+m 与抛物线C只有一个公共点，则点F到该直线的距离为() √2 A. B.1 C.2 D.2 【变式训练9-3变考法】(2025·云南模拟预测)设0为坐标原点，直线：y=x+1与抛物线C:x2=4y交 于A,B两点，与C的准线交于点M.若MA=2AB,点F为C的焦点，则△OAF与AOBF的面积之比为 13/21 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () D. 【变式训练9.4变考法】(2025四川绵阳模拟预测)如图，过点M(-1,0)的直线交抛物线C:y2=2x于 A,B两点，点A在M,B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E,记直线AN 的斜率为k,直线E的斜率为k,当k=3k时，△ABN的面积为() A.1 B.√2 C.5 D.2 【变式训练9-5变考法】(2026广东佛山模拟预测)已知抛物线E:y=4x的焦点为F,直线 :m(-1)+y=1与抛物线E相交于点A,B,与y轴相交于点C,则() A.AB=AF+BF B.AB<AF+BF BC BF BC BF-1 C.ACAF D.AC4F-1 【变式训练9-6变考法】(2026河北保定二模)已知抛物线「：y=2px(p>0)上的点P(a,a)(a≠0)到T 焦点的距离为10 (1)求T的方程： (2)若直线：2x+y+t=0与T交于A,B两点， PA·PB≤64，求t的取值范围. 题型10 抛物线中的最值与范围问题难 例10-](2026河北三模)在平面直角坐标系x0y中，设Q(2,0),若抛物线y=2px(p>0)上存在点P, 使得∠OP9=90,则P的取值范围是() A.(0,] B.(0,1) C.(1,+o) D.[L,+o) 例10(2026辽宁模拟)平面直角坐标系xOy中，动点P,Q为抛物线C:y=2px(p>0)上不同象限内 的两点，且直线PQ的斜率为1，已知当直线PQ过C的焦点时，P四=8， (1)求C的方程： 2)求∠PO0的取值范围. 14/21 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式训练10-1变考法】(2026贵州遵义开学考试)设抛物线C:y2=8x的焦点为F,P为C上任意一点， O为坐标原点，M为线段FP的中点，则直线OM斜率的最大值为() A.2 B.1 C.2 D.4 【变式训练10-2变考法】(2026陕西西安·月考)已知抛物线E:x=2y的焦点为F,其准线1与坐标轴交 于点K.P为E上一点，∠KPF的平分线与y轴交于点M,则点M纵坐标的最大值为」 【变式训练10-3变考法】(2026辽宁沈阳二模)已知抛物线E:x2=2p(D>0),过焦点F的直线与抛物 线：相交于A,B两点，与抛物线压的准线相交于点Q.若以线段4P为直轮作西，当此圆经过点学时。 4 (1)求抛物线E的方程； (2)证明：|OA|FBOB|A: 喏点C,D在抛物线：上，且线段CD的中点在直线，=x上，点P行. 求△PCD面积的最大值， 方法技巧 性 ，将物线上的点到属点前转化为到线的离，结合丽点之线接量”或“垂 题型11 抛物线的实际应用难 例11-1随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了 重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点 与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的 闪光灯距离水面的距离为()（结果精确到0.01） 15/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4.96 B.5.06 C.4.26 D.3.68 例11-2如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保 证发出的光线经过反射之后平行射出.已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm.为了使反射的 光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88m,并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照 灯的深度为 cm 光源 【变式训练11-1·变考法】在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举.如图所示，某抛物线 形拱桥的桥拱跨度为10m,拱高为4m.以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系， 则桥拱所在的抛物线的标准方程为() 4m 10m A.2-25 B.x2=-25 C.2=-2 2 D.x2=-25y 【变式训练11-2新情境】(2026湖北荆州模拟)清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有 “温润”“淡远”“清新”的特征.如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm, 碗盖口直径为8cm,碗体口直径为l0cm,碗体深6.25cm,则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直 距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）() 【 16/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5cm B.6cm C.7cm D.8.25cm 【变式训练11-3·新情境】世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究 用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用.目前世界上太阳灶的利用相当广泛， 技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力 推广的太阳能利用装置.如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m,高为0.25m的抛 物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为() 0.25 ○ A.0.25 B.0.5 C.1 D.2 【变式训练11-4变考法】(2026·河北唐山模拟)某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为10+25=1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线） 36 后返回的轨迹是以y轴为对称轴， 0,5 为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B).已知观测点A的坐 标为(6,0)，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令. y (1)求航天器变轨时点C的坐标； (2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离. 真题溯源考向感知 一一溯源真题逻辑，感知高考考向 1.(2026全国一卷高考真题)已知抛物线C:y=2px(p,>0)和C2:x2=2P2y(P2>0)均经过点 (4,8),则C的焦点与C2的焦点之间的距离为（) 17121 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.12 B.45 C.6 D.6 2 2.(多选)(2026全国二卷高考真题)已知抛物线E:y2=8x,斜率为k(k>0)的直线1经过点（1,0)， 等边三角形ABC的顶点A在E上，顶点B,C均在I上，下列结论正确的有() A.E的准线方程为x=-2 B.若与E没有公共点，则k>V2 C.若I与E的唯一公共点为B,则E的焦点在直线AB上 D.若k=2,则。4BC面积的最小值为5 3.(多选)(2024新课标Ⅱ卷高考真题)抛物线C:y=4x的准线为1，P为C上的动点，过P作 ⊙A:x2+(0y-4}=1的一条切线，Q为切点，过P作1的垂线，垂足为B,则() A.1与⊙A相切 B.当P,A,B三点共线时，IPOV C.当|PB=2时，PA⊥AB D.满足PAHPB的点P有且仅有2个 4.(2025北京·高考真题)己知抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p=_ 5.(2024上海高考真题)己知抛物线y=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为 6.(2024天津·高考真题)已知圆(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y=2px的焦点F重合，且两曲线在第 一象限的交点为A,则原点到直线AF的距离为 课本典例•高考素材 一一立足课本典例，挖掘高考素材 1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： 1)x2=2y:(2)4x2+3y=0: 6)2y2+x=0:(4)y2-6x=0. 18/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. 已知抛物线y2=2Px(p>0)上一点M与焦点F的距离MF=2P,求点M的坐标. 3.在抛物线y2=4x上求一点P,使得点P到直线y=x+3的距离最短. 4.已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y=2px(p>0)的焦点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个等边三角形的边长. 5.如图，M是抛物线y=4x上的一点，F是抛物线的焦点，以x为始边、FM为终边的角 ∠xFM=60°，求FM|. 6.如图，直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点，求证：OA⊥OB. 衣 19121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=2x(p>0)上，求这 个等边三角形的边长 8.从抛物线y=2px(p>0)上各点向x轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明 它是什么曲线 9.如图，己知直线与抛物线y=2Px(p>0)交于A,B两点，且OA⊥OB,OD⊥AB交AB 于点D,点D的坐标为(2，)，求p的值 10.已知A,B两点的坐标分别是(-l,O),(L,O),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的 斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程. 11.设抛物线的顶点为O,经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于B，C两点，经过抛 物线上一点P且垂直于轴的直线与轴交于点O.求证：|POPBC‖OQL. 12.如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽为7m,高为0.7m.根据图中的坐标 20121 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 系，求这条抛物线的方程. w B 0.7 13.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,从点F发出的光线经过抛物线上的点M(不同于 抛物线的顶点)反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴. 14.如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求 行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m,已知行车道总 宽度AB=6(m),那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？（精确到0.lm) 抛物线 6m 2m B 3m_ 3m 8m 21/21