21 集合与常用逻辑用语常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■欧阳亮1 张文伟2 题型1:判断元素与集合的关系 判断元素与集合关系的两种常用方法: 直接法,如果集合中的元素是直接给出的,那 么只要判断该元素在已知集合中是否出现即 可;推理法,对于一些没有直接表示的集合, 只要判断该元素是否满足集合中元素所具有 的特征即可。 例1 下 列 四 个 关 系 中 正 确 的 个 数 是( )。 ① 1 2∈Q ;② 2∉R;③0∈N*;④π∈Z。 A.1 B.2 C.3 D.4 解:① 1 2∈Q ,正确。② 2∉R,不正确。 ③0∈N*,不正确。④π∈Z,不正确。应选A。 跟踪训练1:设集合 A={2,3,5},B= {2,3,6},若 x∈A,且 x∉B,则 x 的 值 为 。 提示:因为x∈{2,3,5},所以x=2或 x=3或x=5。因为x∉{2,3,6},所以x≠2 且x≠3且x≠6。故x=5。 题型2:利用集合中元素的互异性求参数 集合问题的核心是研究集合中的元素, 在解决集合问题时,要明确集合中的元素是 什么。构成集合的元素必须是确定的(确定 性),且是互不相同的(互异性),集合中的元 素排列没有先后顺序(无序性)。利用集合元 素的互异性求参数问题时,先利用确定性求 出参数所有的可能值,再利用互异性对集合 中的元素进行检验,同时注意分类讨论思想 的应用。 例2 设集合A={2,1-a,a2-a+2}, 若4∈A,则a= 。 解:若1-a=4,则a=-3,所以a2- a+2=14,这时A={2,4,14}。若a2-a+ 2=4,则a=2或a=-1,当a=2时,由1- a=-1,可得a=2,这时A={2,-1,4};当 a=-1时,由1-a=2,可得a=-1(舍去)。 综上得a=2或a=-3。 跟踪训练2:已知 A 是由0,m,m2- 3m+2这三个元素组成的集合,且2∈A,则 实数m 的值为 。 提示:因为2∈A,所以 m=2或 m2- 3m+2=2。当m=2时,可得m2-3m+2= 4-6+2=0,这时不符合题意,舍去;当m2- 3m+2=2时,可得m=0或m=3,其中m= 0不符合题意,舍去。综上可知,m=3。 题型3:集合中的新定义问题 对于这类问题,可根据题中所给集合的新 定义,结合集合的相关知识,进行转化求解。 例3 设集合P={3,4,5},Q={6,7}, 定义P⊗Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P⊗ Q 中元素的个数为( )。 A.3 B.4 C.5 D.6 解:由题意知 P⊗Q={(a,b)|a∈P, b∈Q}={(3,6),(3,7),(4,6),(4,7),(5, 6),(5,7)},所以P⊗Q 中共有6个元素。应 选D。 跟踪训练3:设集合 A={-2,1},B= {-1,2},定义集合 A⊗B={x|x=x1x2, x1∈A,x2∈B},则 A⊗B 中所有元素之积 为 。 提示:已知集合A={-2,1},B={-1, 2},因为定义集合 A⊗B={x|x=x1x2, x1∈A,x2∈B},所以A⊗B={2,-4,-1}, 所以A⊗B 中所有元素之积为2×(-4)× (-1)=8。 题型4:子集与真子集的概念 集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素,即由x∈A 能推出x∈B,这是判 断A⊆B 的常用方法。不能简单地把“A⊆ B”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”, 若A=⌀,则A 中不含任何元素;若A=B, 则A 中含有B 中的所有元素。对于A⫋B, 首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B, 14 经典题突破方法 高一数学 2024年9月 但x∉A。 例4 已知集合 A={x|-1<x<3, x∈N},则A 的子集的个数为( )。 A.3 B.4 C.8 D.16 解:因为A={x|-1<x<3,x∈N}= {0,1,2},所以A 的子集的个数为23=8。应 选C。 跟踪训练4:已知集合 A={x|x2<3, x∈N},则A 的真子集的个数为 。 提示:因为A={x|x2<3,x∈N}={0, 1},所以A 有22-1个真子集,即A 的真子 集的个数为3。 题型5:集合的相等与空集 解答这类问题的关键是理解集合相等的 定义和空集的含义。 例5 下列集合与集合A={2022,1}相 等的是( )。 A.(1,2022) B.{(x,y)|x=2022,y=1} C.{x|x2-2023x+2022=0} D.{(2022,1)} 解:对于A,(1,2022)≠{2022,1},A错 误。对于 B,{(x,y)|x=2022,y=1}≠ {2022,1},B错误。对于C,{x|x2-2023x +2022=0}={2022,1},C正确。对于D, {(2022,1)}≠{2022,1},D错误。应选C。 跟踪训练5:下列四个集合中,是空集的 是( )。 A.{0} B.{x|x>8,且x<5} C.{x∈N|x2-1=0} D.{x|x>4} 提示:空集是不含任何元素的集合,选项 B是空集。应选B。 题型6:集合间关系的判断 判断集合间关系的三种方法:列举法,将 两个集合表示出来,通过比较两个集合中的 元素来判断两集合之间的关系;元素特征法, 根据集合中元素满足的性质特征之间的关 系,判断集合之间的关系;图示法,利用数轴 或Venn图判断两集合之间的关系。 例 6 已 知 集 合 M = x x= kπ 4+ π 2 ,k∈Z ,集 合 N = x x=kπ2+π4, k∈Z ,则( )。 A.N⊆M B.M⊆N C.M=N D.M∩N=⌀ 解:集合 M= x x= kπ 4+ π 2 ,k∈Z = x x= (k+2)π 4 ,k∈Z ,集 合 N = x x= (2k+1)π 4 ,k∈Z ,当k∈Z 时,2k+1是奇 数,k+2是整数,所以N⊆M。应选A。 跟踪训练6:下面五个式子:①a⊆{a}, ②⌀⊆{a},③{a}∈{a,b},④{a}⊆{a}, ⑤a∈{b,c,a},其中正确的序号是 。 提示:a是集合{a}中的元素,应表示为 a∈{a},①错误。⌀是不含任何元素的集合 且是任意集合的子集,所以⌀⊆{a},②正确。 “∈”用于元素与集合的关系,③错误。任意 非空集合是其本身的子集,所以{a}⊆{a}, ④正确。a 是集合{b,c,a}中的元素,⑤正 确。答案为②④⑤。 题型7:利用集合间的关系求参数 当集合为连续数集时,可借助数轴建立 不等关系求解,此时应注意端点处是实点还 是虚点;当集合为不连续数集时,可根据集合 包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意 分类讨论思想的应用。 例7 已知集合 A={-2,3,1},集合 B={3,m2},若B⊆A,则实数m 的取值集合 为( )。 A.{1} B.{3} C.{1,-1} D.{3,- 3} 解:已知A={-2,3,1},B={3,m2},若 B⊆A,则 m2=1或 m2=-2(舍去),所以 m=1或 m=-1,故实数 m 的取值集合为 {1,-1}。应选C。 跟踪训练7:设集合 A={x|0<x< 2019},B={x|x<a},若 A⊆B,则实数a 的取值范围是 。 24 经典题突破方法 高一数学 2024年9月 提示:已知集合A={x|0<x<2019}, B={x|x<a},因为A⊆B,所以a≥2019。 故a∈[2019,+∞)。 题型8:集合的运算 集合运算应关注三点:集合是由元素组 成的,从研究集合中元素的构成入手是解决 集合运算问题的前提;有些集合是可以化简 的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问 题简单明了,易于解决;注意数形结合思想的 应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn图。 例8 (多选题)设集合A={x|a-1<x <a+1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},则满 足A∩B=⌀的实数a的取值范围是( )。 A.{a|0≤a≤6} B.{a|a≤2或a≥4} C.{a|a≤0} D.{a|a≥8} 解:因为A={x|a-1<x<a+1,x∈ R},B={x|1<x<5,x∈R},满足A∩B= ⌀,所以a-1≥5或a+1≤1,解得a≥6或 a≤0,所以实数a的取值范围是{a|a≤0}或 {a|a≥6}。应选CD。 跟踪训练8:(多选题)设全集U={0,1, 2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则 ( )。 A.A∩B={0,1} B.∁UB={4} C.A∪B={0,1,3,4} D.集合A 的真子集个数为8 提示:因为集合A={0,1,4},B={0,1, 3},所以A∩B={0,1},A正确。∁UB={2, 4},B错误。A∪B={0,1,3,4},C正确。集 合A 的真子集个数为23-1=7,D错误。应 选AC。 题型9:充分条件、必要条件及充要条件 的判断 先分清条件和结论,然后判断p⇒q、q⇒ p 和p⇔q是否成立,最后得出结论。若p⇒ q,则称p 是q的充分条件,q 是p 的必要条 件;若p⇔q,则p 是q的充要条件;若p⇒q, 且q⇒/ p,则称p 是q的充分不必要条件;若 p⇒/ q,且q⇒p,则称p 是q的必要不充分条 件;若p⇒/ q,且q⇒/ p,则称p 是q 的既不充 分也不必要条件。 例9 已知p:0<x<2,那么p 的一个 充分不必要条件是( )。 A.1<x<3 B.-1<x<1 C.0<x<1 D.1<x<3 解:因为(0,1)⫋(0,2),所以p 的一个充 分不必要条件是0<x<1。应选C。 跟踪训练9:已知a,b∈R,则“ab≠0”的 一个必要条件是( )。 A.a+b≠0 B.a2+b2≠0 C.a3+b3≠0 D. 1 a+ 1 b≠0 提示:对于 A,令a=1,b=-1,推不出 a+b≠0,A错误。对于B,由“ab≠0”,可得 a≠0且b≠0,则a2+b2≠0,反之,由a2+ b2≠0,推不出ab≠0,如a=1,b=0,所以 a2+b2≠0是ab≠0的必要不充分条件,B正 确。对于C,令a=1,b=-1,推不出a3+ b3≠0,C错误。对于D,令a=1,b=-1,推 不出 1 a+ 1 b≠0 ,D错误。应选B。 题型10:由充分条件、必要条件求参数 的取值范围 根据充分、必要条件求参数的取值范围 时,先将p,q等价转化,再根据充分、必要条 件与集合间的关系,将问题转化为两个集合 之间的包含关系,最后建立关于参数的不等 式(组)求解。 例10 若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4” 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 。 解:因为“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的 充分不必要条件,所以 a≤1, a+4≥4, 可得0≤ a≤1,即实数a∈[0,1]。 跟踪训练10:已知条件p:-1<x<1, q:x>m,若p 是q 的充分不必要条件,则实 数m 的取值范围是( )。 A.[-1,+∞) B.(-∞,-1) C.(-1,0) D.(-∞,-1] 提示:已知p:-1<x<1,q:x>m,若p 34 经典题突破方法 高一数学 2024年9月 是q的充分不必要条件,则{x|-1<x<1} ⫋{x|x>m},所以m≤-1。应选D。 题型11:全称量词命题与存在量词命题 的真假 要判断一个全称量词命题为真命题,需 要进行推理证明,或用已经学过的定义、定理 进行证明,而要判断其为假命题,只需举出一 个反例即可。判断存在量词命题“∃x∈M, p(x)”的真假的关键是探究集合 M 中x 的 存在性,若找到一个元素x∈M,使p(x)成 立,则该命题是真命题;若不存在x∈M,使 p(x)成立,则该命题是假命题。 例11 下列结论中正确的是( )。 A.∀n∈N*,2n2+5n+2能被2整除是 真命题 B.∀n∈N*,2n2+5n+2不能被2整除 是真命题 C.∃n∈N*,2n2+5n+2不能被2整除 是真命题 D.∃n∈N*,2n2+5n+2能被2整除是 假命题 解:当n=1时,2n2+5n+2不能被2整 除,当n=2时,2n2+5n+2能被2整除, ABD错误,C正确。应选C。 跟踪训练11:下列四个命题中的真命题 为( )。 A.∃x0∈Z,1<4x0<3 B.∃x0∈Z,4x0+1=0 C.∀x∈R,x2-1=0 D.∀x∈R,x2-2x+2≥0 提示:由1<4x0<3,可得 1 4<x0< 3 4 , 所以x0∉Z,A 错误。由4x0+1=0,可得 x0=- 1 4 ,所以x0∉Z,B错误。由x2-1= 0,可得x=±1,C错误。x2-2x+2=(x- 1)2+1≥0恒成立,D正确。应选D。 题型12:根据命题的真假求参数 全称量词命题的常见题型是“恒成立”问 题,全称量词命题为真时,意味着命题对应的 集合中的每个元素都具有某种性质,所以利 用代入可以体现集合中相应元素的具体性 质,也可根据函数知识来解决。存在量词命 题的常见题型是以适合某种条件的结论“存 在”“不存在”“是否存在”等语句表述。解答 这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的 假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件 进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性 随之解决;若导致矛盾,则否定了假设。 例12 (1)若命题p:∃x0>0,x0+a-1= 0为假命题,则实数a的取值范围是 。 (2)已知命题p:∀a∈R,一元二次方程 x2-ax+1=0有实根。若􀱑p 是真命题,则 实数a的取值范围是 。 解:(1)因为p 为假命题,所以􀱑p 为真 命题,即∀x>0,x+a-1≠0。由x≠1-a 在x>0上恒成立,可得1-a≤0,则a≥1。 故实数a的取值范围是[1,+∞)。 (2)命题p:∀a∈R,一元二次方程x2- ax+1=0有实根,若􀱑p 是真命题,则命题 p 是假命题,所以一元二次方程x2-ax+ 1=0没有实根,即Δ=a2-4<0,解得-2< a<2,所以实数a的取值范围是(-2,2)。 跟踪训练12:(1)若“∃x∈[-1,m] (m>-1),|x|-1>0”是假命题,则实数m 的取值范围是( )。 A.(-1,1) B.(-1,1] C.[1,+∞) D.[0,1] (2)若命题“∃x0∈R,x20+(a-1)x0+ 1≤0”的否定是真命题,则实数a的取值范围 是 。 提示:(1)因为“∃x∈[-1,m](m> -1),|x|-1>0”是假命题,所以“∀x∈ [-1,m](m>-1),|x|-1≤0”是真命题。 由|x|-1≤0得-1≤x≤1,所以-1<m≤ 1。应选B。 (2)命题“∃x0∈R,x20+(a-1)x0+1≤ 0”的否定是真命题,所以“∀x∈R,x2+(a- 1)x+1>0”是真命题,所以Δ=(a-1)2- 4<0,解得-1<a<3,则实数a 的取值范围 是(-1,3)。 作者单位:1.河南大学附属中学 2.河南省开封高中 (责任编辑 郭正华) 44 经典题突破方法 高一数学 2024年9月