19 多视角证明一道课本习题的必要性&20 集合中的新定义问题题型聚焦-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■杜海洋 题目 已知a,b,c∈R,证明a2+b2+ c2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c。 分析:本题主要考查充分必要条件的证 明。证明充分性比较简单,下面主要对必要 性的证明进行多视角探究。 证明:(充分性)由a=b=c,可得(a-b)2+ (b-c)2+(a-c)2=0,即a2+b2+c2-ab- ac-bc=0,所以a2+b2+c2=ab+ac+bc。 (必要性)如果a2+b2+c2=ab+ac+ bc,则a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,所以 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,即a-b= 0,b-c=0,c-a=0,所以a=b=c。 故a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件 是a=b=c。 思考1:将已知a,b,c∈R,a2+b2+c2= ab+bc+ac改为已知x,b,c∈R,x2+b2+c2 =xb+bc+xc,求证x=b=c。那么从方程 的角度又会想到什么呢? 方法1:(利用判别式法)根据题意知一 元二次方程x2-(b+c)x+b2+c2-bc=0 有实数根,所以Δ=(b+c)2-4(b2+c2-bc) =-3(b-c)2≥0,所以(b-c)2=0,所以b= c。所以此方程可化为x2-2bx+b2=0,解 得x=b,所以x=b=c。再将x 换为a,则 a=b=c。 思考2:进入高一,同学们遇到求一元二 次方程的根,喜欢用求根公式,接下来我们顺 水推舟,利用求根公式证明x=b=c。 方法2:(求根公式法)由方程x2-(b+ c)x +b2 +c2 -bc = 0,可 得 x = (b+c)± -3(b-c)2 2 。因为此方程有解, 所以-3(b-c)2≥0,所以b=c,所以x=b= c。再将x 换为a,则a=b=c。 思考3:除求根公式法外,还有其他方法 证明吗? 既然有了方法2的解法,自然会想 到利用配方法进行证明。 方法3:(配方法)由a2-(b+c)a+b2+ c2 -bc=0,移 项 配 方 得 a- b+c 2 2 = b+c 2 2 -b2-c2+bc= -3(b-c)2 4 ,所以 -3(b-c)2≥0,即b=c,所以a=b=c。 思考4:既然想到一元二次方程,自然会 联想到二次函数,你能说出二次函数y= x2-(b+c)x+b2+c2-bc与x 轴交点的个 数吗? 你能用函数观点证明吗? 方法4:(利用函数观点)令y=a2-(b+ c)a+b2+c2-bc,即y=0成立,则关于a的 二次函数图像与x 轴有交点,所以Δ=(b+ c)2-4(b2+c2-bc)=-3(b-c)2≥0,所以 b=c。所以当a2-(b+c)a+b2+c2-bc=0 时,则a=b=c。 思考5:涉及多元问题,可以通过增设 “新元”,建立多元变量将它们有机地联系在 一起,利用这种大小关系进行证明。 方法5:(设元代换法)不妨设a≥b≥c, 令a=m+c,b=n+c(m≥0,n≥0),则a2+ b2+c2-(ab+bc+ac)=(m+c)2+(n+ c)2+c2-(m+c)(n+c)-(n+c)c-(m+ c)c=m2+n2-mn= m- 1 2n 2 + 3 4n 2=0, 所以m= 1 2n ,3 4n 2=0,则 m=n=0,所以 a=b=c。 思考6:由(a-b)2≥0,可得a2+b2≥ 2ab,当且仅当a=b时等号成立。原命题是 否可以利用不等式来证明? 方法6:(利用不等式)由(a-b)2≥0,可 得a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。 所以a2+b2+c2=ab+bc+ac≤ a2+b2 2 + b2+c2 2 + a2+c2 2 =a 2+b2+c2,当且仅当同时 取等号时等式才成立,即a=b=c。 作者单位:四川省成都经济技术开发区 实验中学校 (责任编辑 郭正华) 83 创新题追根溯源 高一数学 2024年9月 ■庾用剑 集合中的新定义问题通常将“问题”作为 探究的核心,通过“发现”的过程深化理解,并 以“探究”活动促进知识的掌握。这类问题以 集合的基本概念为依托,主要考查同学们对 问题的分析与处理能力,考查内容主要是对 新概念、新法则和新运算的理解与应用。 聚焦1:集合中的“新定义”,抓住代表元 素的属性进行推理与判断 例1 (1)设P,Q 是两个非空集合,定 义P×Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},若P={3, 4,5},Q={4,5,6,7},则P×Q 中元素的个 数是 。 (2)对于集合 M,N,定义 M-N={x| x∈M 且x∉N},M􀱇N=(M-N)∪(N- M),设集合 A= x x>- 9 4 ,x∈R ,B= {x|x≤0,x∈R},则A􀱇B=( )。 A.x - 9 4≤x<0 ,x∈R B.x - 9 4≤x≤0 ,x∈R C.x x<- 9 4 或x≥0,x∈R D.x x≤- 9 4 或x>0,x∈R 解:(1)因为定义 P×Q={(a,b)|a∈ P,b∈Q},且P={3,4,5},Q={4,5,6,7}, 所以P×Q={(3,4),(3,5),(3,6),(3,7), (4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,4),(5,5), (5,6),(5,7)},所以P×Q 中元素的个数是 12。 (2)对于集合 M,N,定义 M-N={x| x∈M 且x∉N},M􀱇N=(M-N)∪(N- M),由集合 A= x x>- 9 4 ,x∈R ,B= {x|x≤0,x∈R},可得A-B={x|x>0},B -A= x x≤- 9 4 。所以A􀱇B={x|x> 0}∪ x x≤- 9 4 = x x≤-94或x>0, x∈R 。应选D。 反思:在处理与集合有关的新定义问题 时,要注意集合中元素的确定性与互异性的应 用。解题时,要深刻理解集合新定义所揭示的 问题本质,并将其恰当地运用到解题实践中, 这是解决新定义集合问题的核心策略。 聚焦2:集合中的“新运算”,依据运算法 则进行推理或赋值 例2 (1)定义集合 M,N 的新运算如 下:M☉N={x|x∈M 或x∈N,且x∉M∩ N},若集合 M={0,2,4,6,8,10},N={0,3, 6,9,12,15},则(M☉N)☉M 等于( )。 A.M B.N C.{2,3,4,8,9,10,15} D.{0,6,12} (2)定 义 集 合 的 商 集 运 算 为 A B = x x= m n ,m∈A,n∈B ,已知集合A={2, 4,6},B= x x= k 2-1 ,k∈A ,则集合BA∪ B 中的元素的个数为( )。 A.6 B.7 C.8 D.9 解:(1)由 M☉N={x|x∈M 或x∈N, 且x∉M∩N},M={0,2,4,6,8,10},N= {0,3,6,9,12,15},M ∩N={0,6},可得 M☉N={2,3,4,8,9,10,12,15},(M☉N) ∩M={2,4,8,10},所以(M☉N)☉M={0, 3,6,9,12,15}。应选B。 (2)依据给定的集合新运算,先求集合 B,再求 B A ,最后利用集合的并集运算求解。 已知 集 合 A = {2,4,6},因 为 集 合 B= x x= k 2-1 ,k∈A ,所以B={0,1,2},所 93 创新题追根溯源 高一数学 2024年9月 以 B A = 0 ,1 2 ,1 4 ,1 6 ,1, 1 3 ,所以BA ∪B= 0, 1 2 ,1 4 ,1 6 ,1, 1 3 ,2 ,所以集合BA∪B 中共 有7个元素。应选B。 反思:涉及集合的新运算问题,要遵循特 定的数学运算规则,通过分析其代表元素的 特性进行逻辑推理和数学运算,以实现问题 的解决。 聚焦3:集合的新性质问题,利用集合的 属性进行推理与判断 例3 (1)(多选题)在整数集Z中,被6 除余数为k的所有整数组成一个“类”,记为 [k],即[k]={6n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4, 5。则下列结论中正确的是( )。 A.2024∈[2] B.-1∈[3] C.Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5] D.整数a,b 属于同一“类”的充要条件 是“a-b∈[0]” (2)(多选题)给定数集 M,若对于任意 a,b∈M,有a+b∈M,且a-b∈M,则称 集合 M 为闭集合,下列说法中不正确的是 ( )。 A.集合 M={-2,-1,0,1,2}为闭集合 B.整数集是闭集合 C.集合 M={n|n=2k,k∈Z}为闭集合 D.若集合A1,A2 为闭集合,则A1∪A2 为闭集合 解:(1)2024÷6=337余2,A正确。因 为-1=-1×6+5,所以-1∈[5],B错误。 任意整数被6除必余0,1,2,3,4,5其中之 一,所以Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪ [5],C正确。若整数a,b属于同一“类”,则 a=6n+k,b=6m+k,所以a-b=6n- 6m=6(n-m),故a-b∈[0],反之也成立, D正确。应选ACD。 (2)对于 A,-2,-1∈M,但(-2)+ (-1)=-3∉M,即集合M={-2,-1,0,1, 2}不是闭集合,A错误。对于B,因为整数加 上整数或减去整数,所得结果仍是整数,所以 整数集是闭集合,B正确。对于C,任取n1, n2∈M,则n1=2k1,n2=2k2,k1,k2∈Z,则 (k1+k2)∈Z,(k1-k2)∈Z,(k2-k1)∈Z,所 以n1+n2=2(k1+k2)∈M,n1-n2=2(k1- k2)∈M,n2-n1=2(k2-k1)∈M,所以集合 M={n|n=2k,k∈Z}为闭集合,C正确。对 于D,由选项C得A1={n|n=2k,k∈Z}为 闭集合,同理A2={n|n=3k,k∈Z}为闭集 合,所以A1∪A2={n|n=3k 或n=2k,k∈ Z},则2,3∈A1∪A2,但2+3=5∉A1∪A2, 所以 A1∪A2 不是闭集合,D 错误。应选 AD。 反思:解决集合中的新性质问题,关键是 利用这些性质及相关的数学知识进行逻辑推 理和验证。 聚焦4:集合新定义中用类似反证法进 行逻辑推理 例4 已知两个正整数集合A={a1,a2, a3,a4},B={a21,a22,a23,a24},其中a1<a2< a3<a4,若A∩B={a1,a4},且a1+a4=10, A∪B 中所有元素之和为124。求集合 A, B。 解:依据元素的大小关系和交集及并集 的意义,类似反证法推理确定集合A,B。由 题意得1≤a1<a2<a3<a4,所以a21<a22< a23<a24。 由A∩B={a1,a4},只可能得a1=a21, 解得a1=1。由a1+a4=10,可得a4=9。 若a22=9,则a2=3,这时(1+3+a3+9) +(a23+81)=124,解得a3=5或a3=-6(舍 去),所以A={1,3,5,9},B={1,9,25,81}。 若a23=9,则a3=3,此时只能有a2=2, 则A∪B 中所有元素之和为1+2+3+9+ 4+81≠124,不符合题意。 综上可得,集合A={1,3,5,9},B={1, 9,25,81}。 反思:在处理集合的新定义问题时,关键 是认真阅读题目,准确捕捉有效信息。要透 过新概念的表象,把未知转化为已知,通过合 理假设和类似于反证法的逻辑推理进行分析 与判断。 作者单位:东莞市长安中学 (责任编辑 郭正华) 04 创新题追根溯源 高一数学 2024年9月