18 注重三个条件轻松解决问题——谈基本不等式应用中的错解剖析-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

———谈基本不等式应用中的错解剖析 ■彭剑平 应用基本不等式解决一些相关的数学问 题时,一定要注意其三个基本条件:一正、二 定、三相等。在解决实际问题时,容易因忽略 相应的条件而导致错误,下面结合实例加以 剖析。 一、忽略“一正”的前提条件而致错 例1 求y= 1+x2 x 的最大值和最小值。 错 解:因 为 y = 1+x2 x =x + 1 x ≥ 2 x· 1 x =2 ,当且仅当x= 1 x ,即x=±1 时等号成立,所以ymin=2。 错解点拨:上述解法在使用基本不等式 a+b≥2 ab时,忽视了条件a>0,b>0,从 而造成错解。 正解:当x>0时,y= 1+x2 x =x+ 1 x≥ 2 x· 1 x =2 ,当且仅当x= 1 x ,即x=1时 等号成立,所以ymin=2。当x<0时,-x> 0,且 - 1 x >0 ,因 为 (-x)+ 1 -x ≥ 2 (-x)· 1 -x=2 ,当且仅当-x= 1 -x ,即 x=-1时等号成立,所以y= 1+x2 x =x+ 1 x=- (-x)+ 1 -x ≤-2,当且仅当x= -1时等号成立,所以ymax=-2。综上可得, 当x>0时,ymin=2,当x<0时,ymax=-2。 在 基 本 不 等 式 a+b 2 ≥ ab中,a,b 均为非负数。在应用基本不等 式时,一定要符合这一前提条件,即先将各项 化为正值,再运用基本不等式求最值。 二、忽略“二定”的前提条件而致错 例2 设0<x< 1 2 ,则y=x2(1-2x)2 的最大值为 。 错解:由x2>0,(1-2x)2>0,可得y= x2(1-2x)2≤ x 2+(1-2x)2 2 2 ,当且仅当 x2=(1-2x)2,即x= 1 3 时等号成立。把 x= 1 3 代 入 x 2+(1-2x)2 2 2 ,可 得 ymax= 1 81 。 错解点拨:在使用基本不等式a+b≥ 2 ab时,除了满足条件a>0,b>0,当且仅 当a=b时取等号,还要注意a+b或ab为定 值的条件。上述解法忽视了关系式的和是定 值这一必要条件,从而导致错解。 正解:因为0<x< 1 2 ,所以x>0,1- 2x>0。又因为2x+(1-2x)=1(定值),所 以 x (1-2x)= 1 2 [2x (1-2x)]≤ 1 2 2x+(1-2x) 2 2 = 1 8 ,即y=x2(1-2x)2 ≤ 1 64 ,当且仅当2x=(1-2x),即x= 1 4 时取 等号。故ymax= 1 64 。 运用基本不等式时,要注 意相应的项或因式的和或积 为定值,要注意对应项或因式中隐含条件的 挖掘,要特别注意相关参数的条件,否则容易 出错。 三、忽略“等号”成立的前提条件而致错 例3 已知ab>0,a2+ab+2b2=1,则 a2+2b2 的最小值为 。 错解:由ab>0,a2+ab+2b2=1,结合基 本不等式得1=a2+ab+2b2≥2 a2·2b2+ ab=22ab+ab,即ab≤ 1 22+1 = 22-1 7 , 63 易错题归类剖析 高一数学 2024年9月 所以 a2+2b2≥2 a2·2b2 =2 2ab= 22× 22-1 7 = 8-22 7 ,即a2+2b2 的最小 值为 8-22 7 。 错解点拨:上述解法在利用基本不等式 放缩时,忽视了等号成立的条件,同时最后不 等式的性质应用也出错了。 正解:由ab>0,a2+ab+2b2=1,结合基本 不等式得1=a2+ab+2b2=a2+2b2+ 1 2 a· 2b≤a2+2b2+ 1 2 ·a 2+2b2 2 = 22+1 22 · (a2 +2b2),所 以 a2 +2b2 ≥ 22 22+1 = 8-22 7 ,当且仅当a= 2b,即b2= 4- 2 14 , a2= 4- 2 7 时等号成立,所以a2+2b2 的最小 值为 8-22 7 。 利用基本不等式的放缩 来解决代数式的最值或取值 范围问题时,要特别注意等号成立的条件,如 果等号成立的条件不具备,利用基本不等式 放缩处理得到的结果往往是不正确的,这时 需要合理改变技巧与方法进行处理。 四、两次利用基本不等式而致错 例4 已知x>0,y>0,且x+2y=1, 则 1 x+ 1 y 的最小值为 。 错解:因为x>0,y>0,且x+2y=1,所 以 1 x+ 1 y = 1x+ 1 y (x+2y)≥2 1x·1y · 2 2xy=42,所以 1 x+ 1 y 的最小值为42。 错解点拨:上述解法在同时利用基本不 等式进行两次放缩变换时,各自等号成立时 对应的变量间的关系是矛盾的,且是不一致 的。 正解:利用基本不等式,借助常数“1”的 代换 x+2y=1,可得 1 x + 1 y = x+2y x + x+2y y =3+ 2y x + x y ≥3+2 2y x ·x y =3+ 22,当且仅当 2y x = x y ,即x= 2-1,y=1- 2 2 时等号成立,所以1 x+ 1 y 的最小值为3+ 22。 在利用基本不等式进行 放缩变换时,要特别注意多次 (两次及以上)使用基本不等式,要同时保证 多次(两次及以上)使用中等号成立的条件是 一致的,不能出现矛盾。 五、忽略题设条件而致错 例5 设 x>0,y>0,x+2y=5,则 (x+1)(2y+1) xy 的最小值为 。 错 解: 因 为 (x+1)(2y+1) xy ≥ 2 x·1·2 2y·1 xy =42,当且仅当x= 1,2y=1时等号成立,所以 (x+1)(2y+1) xy 的最小值为42。 错解点拨:上述解法在得到x=1,2y=1 时,不满足x+2y=5,所以得到的最值是错 误的。 正 解:因 为 x + 2y = 5,所 以 (x+1)(2y+1) xy = 2xy+(x+2y)+1 xy = 2xy+6 xy =2 xy+ 6 xy ≥2 2 xy· 6 xy =43,当且仅当2 xy= 6 xy ,即x=3, y=1或 x=2,y= 3 2 时 等 号 成 立,所 以 (x+1)(2y+1) xy 的最小值为43。 在利用基本不等式求最 值时,一定要注意参数的限制 条件,不能忽视题设条件而盲目求解。 作者单位:江苏省启东中学 (责任编辑 郭正华) 73 易错题归类剖析 高一数学 2024年9月