17 集合与常用逻辑用语典型易错题剖析-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■蔡嘉俊 易错点1:忽视空集的存在性 例1 已知集合 A={x|-1≤x≤1}, B={x|a-1≤x≤2a-1},若B⊆A,则实数 a的取值范围是( )。 A.a≤1 B.a<1 C.0≤a≤1 D.0<a<1 错 解: 要 使 B ⊆ A, 需 满 足 a-1≥-1, 2a-1≤1, 解得0≤a≤1。应选C。 剖析:上述解法忽视了B=⌀的情况,从 而导致漏解。⌀是任何集合的子集,解题时 不能忽视⌀的存在性。 正解:若B=⌀,则2a-1<a-1,即当 a<0时,满足B⊆A;若B≠⌀,则a-1≤ 2a-1,可 得 a≥0,要 使 B⊆A,需 满 足 a-1≥-1, 2a-1≤1, 解得0≤a≤1。 综上所述,a≤1。应选A。 易错点2:忽视未知数系数为0的情况 例2 已知集合 M={x|x2+x-6= 0},N={x|mx-1=0},若 N⊆M,则实数 m 的取值构成的集合为 。 错解:因为集合 M={x|x2+x-6=0}, 所以 M={2,-3}。因为 N={x|mx-1= 0},所以N= x x= 1 m 。又N⊆M,所以当 x= 1 m=2 时,可得 m= 1 2 ;当x= 1 m=-3 时,可得m=- 1 3 。综上所述,m= 1 2 或m= - 1 3 。 剖析:上述解法忽视了 N=⌀的情况。 当m=0时,N=⌀,此时N⊆M,符合题意。 正解:因为集合 M={x|x2+x-6=0}, 所以集合 M={2,-3}。因为 N⊆M,又 N={x|mx-1=0},所以 N=⌀或 N={2} 或N={-3}。 当N=⌀时,则m=0;当 N={2}时,由 N={x|mx-1=0},可得x= 1 m=2 ,即m= 1 2 ;当 N={-3}时,由x= 1 m=-3 ,可得 m=- 1 3 。 综上可得,实数m 的取值构成的集合为 0, 1 2 ,- 1 3 。 易错点3:忽视集合元素的互异性 例3 已知集合 A={a+2,(a+1)2, a2+3a+3},若1∈A,则实数a 的取值集合 为( )。 A.{-1,0,-2} B.{0,-2} C.{-1} D.{0} 错解:由1∈A,下面分三种情况讨论求 解。①当a+2=1时,可得a=-1。②当 (a+1)2=1时,可得a=0或a=-2。③当 a2+3a+3=1时,可得a=-1或a=-2。 综上可得,a=-1或a=0或a=-2, 即a的取值集合为{-1,0,-2}。应选A。 剖析:集合元素的互异性是集合的特征 之一,上述解法忽视了集合元素的互异性。 正解:由1∈A,下面分三种情况讨论求 解。①当a+2=1时,可得a=-1,这时 (a+1)2=0,a2+3a+3=1,可得a+2= a2+3a+3,不符合集合元素的互异性,所以 a=-1舍去。②当(a+1)2=1时,可得a= 0或a=-2,当a=0时,a+2=2,a2+3a+ 3=3,可得 A={2,1,3},满足题意;当a= -2时,a+2=0,a2+3a+3=1,可得(a+ 1)2=a2+3a+3,不符合集合元素的互异性, 则a=-2舍去。③当a2+3a+3=1时,可 得a=-1或a=-2,由①知a=-1不满足 题意,由②知a=-2不满足题意。 综上所述,实数a的取值集合为{0}。应 选D。 43 易错题归类剖析 高一数学 2024年9月 易错点4:判断充分性与必要性的顺序 颠倒 例4 设a,b为实数,则“a>b>0”的一 个充分非必要条件是( )。 A.a-1> b-1 B.a2>b2 C. 1 b> 1 a D.a-b>b-a 错解:应选B或C或D。 剖析:造成错解的原因是充分性与必要 性颠倒了顺序。 正解:对于 A,由 a-1> b-1,可得 a-1>b-1, b-1≥0, 即a>b≥1,这时可推出a> b>0,反向推不出,A满足题意。对于B,由 a2>b2,可得|a|>|b|,这时推不出a>b> 0,反向可推出,B不满足题意。对于 C,由 1 b> 1 a ,可得a>b>0或b>0>a或0>a> b,这时推不出a>b>0,反向可推出,C不满 足题意。对于D,由a-b>b-a,可得a>b, 这时推不出a>b>0,反向可推出,D不满足 题意。应选A。 易错点5:分式不等式求补集忽视不等 号的方向 例 5 已 知 集 合 A= x 2x-1 x+1<1 , x∈R ,集合B={x|-1≤x-a≤1,x∈R}。 若B∩(∁RA)=B,求实数a的取值范围。 错 解:由 集 合 A = x 2x-1 x+1<1 , x∈R ,可得∁RA= x 2x-1x+1≥1,x∈R 。 由 2x-1 x+1 ≥1 ,可 得x-2 x+1≥0 ,所 以 (x-2)(x+1)≥0, x≠-1, 所以∁RA=(-∞,-1) ∪[2,+∞)。 由集合B={x|-1≤x-a≤1,x∈R}, 可得-1≤x-a≤1,所以a-1≤x≤a+1, 即集合B=[a-1,a+1]。因为B∩(∁RA) =B,所以B⊆∁RA,所以a+1<-1或a- 1≥2,即a<-2或a≥3,所以实数a的取值 范围为(-∞,-2)∪[3,+∞)。 剖析:对于分式不等式解集∁RA 不能直 接改变不等号方向,否则会造成漏解。正确 的解法应该是先求集合 A=(-1,2),再求 ∁RA。 正解:由2x-1 x+1<1 ,可得x-2 x+1<0 ,解得 -1<x<2,所以 A=(-1,2),所以∁RA= (-∞,-1]∪[2,+∞)。 由B={x|-1≤x-a≤1,x∈R},可得 -1≤x-a≤1,所以a-1≤x≤a+1,即集 合B=[a-1,a+1]。因为B∩(∁RA)=B, 所以B⊆∁RA,所以a+1≤-1或a-1≥2, 即a≤-2或a≥3,所以实数a 的取值范围 为(-∞,-2]∪[3,+∞)。 1.已知集合 A={x|-2≤x≤5},B= {x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,则实 数m 的取值范围是 。 提示:由A∪B=A,可得B⊆A,下面对 集合B 分两种情况讨论求解。①当B=⌀ 时,满足B⊆A,则m+1>2m-1,可得m< 2;② 当 B ≠ ⌀ 时,由 B ⊆ A,可 得 m+1≤2m-1, m+1≥-2, 2m-1≤5, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得2≤m≤3。综上可得, m∈(-∞,3]。 2.设x∈R,则x+ 3 x>23 的一个必要 不充分条件是( )。 A.x>0 B.x>0且x≠ 3 C.x> 3 D.0<x< 3 提示:由x+ 3 x>23 ,解得x>0且x≠ 3。由x>0且x≠ 3,可得x>0,A正确。 x>0且x≠ 3⇔x>0且x≠ 3,B错误。 由x>0且x≠ 3得不到x> 3,C错误。由 x>0且x≠ 3得不到0<x< 3,D错误。 应选A。 作者单位:浙江省诸暨市海亮外语中学 (责任编辑 郭正华) 53 易错题归类剖析 高一数学 2024年9月